□ 蘇龍霞

數(shù)學史可以看作是人類的一部奮斗史，是數(shù)學發(fā)展的結晶。正因為有前人不斷的探索與研究，才有如今簡約的數(shù)學概念、公式、定理。因此，從“依據(jù)數(shù)學發(fā)生發(fā)展的過程學習數(shù)學”的角度看，數(shù)學史也可以看作是數(shù)學教學的指南。將數(shù)學史融入小學數(shù)學教學，不僅能夠還原數(shù)學的發(fā)生發(fā)展歷程，還能還原數(shù)學背后的人文價值。“循本以治末，由近以及遠”，更好地定位價值，更好地選取素材，在教學中有機融入數(shù)學史，能幫助學生獲得更為豐厚的數(shù)學知識，實現(xiàn)真正意義上的深度學習，促使素養(yǎng)的提升。

一、價值取向：教與學的統(tǒng)一

（一）教師的教——觸及本質(zhì)

每一個數(shù)學知識都是一部濃縮的歷史，教師了解數(shù)學史，能夠更好地了解知識點的由來，明了知識的本質(zhì)，體會每一個發(fā)現(xiàn)所經(jīng)歷的曲折歷程。熟悉數(shù)學史的教師在教學中不僅會關注到知識本身的邏輯，還能關注到數(shù)學歷史發(fā)展的邏輯；不僅能看到教材上所呈現(xiàn)的教學體系，還能透過教材看到歷史上的知識原型。比如數(shù)的產(chǎn)生，起源于計數(shù)把數(shù)數(shù)出來，發(fā)展于記數(shù)把數(shù)表示出來。最早的計數(shù)方式，無論是利用身體部位、自然物件，還是使用人工制品，其背后的原理就是“一一對應”。當各個文明的記數(shù)符號出現(xiàn)后，盡管還有一一對應的痕跡，但已開始實現(xiàn)從半抽象到抽象的過渡。當面對較大數(shù)量物品的計數(shù)問題時，人類又創(chuàng)造了各種進制，再在十進制的基礎上引入了數(shù)級。不過此時數(shù)的各種進制表示運用的是疊加法，直到十進位值制的出現(xiàn)，數(shù)的表示才趨于完善。由此可見，數(shù)基、十進制、數(shù)級、其他進制是認識自然數(shù)的核心內(nèi)容，從一一對應走向抽象數(shù)碼、從抽象數(shù)碼走向十進位值制才能體現(xiàn)知識的本質(zhì)。教師走進數(shù)學史，才有真正意義上的厚積，進而實現(xiàn)源源不斷的“薄發(fā)”，讓教學觸及知識的本質(zhì)，走向更深處。

（二）學生的學——明確方向

歷史上，每一個數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展都經(jīng)歷了較長的時間，是幾代數(shù)學家共同努力的結果，而數(shù)學家在知識的發(fā)生發(fā)展過程中遭遇到的困難往往就是學生數(shù)學學習的難點。因此，數(shù)學史為教學難點的突破提供了方向。例如在歷史上，認識平行有四個視角：一是直觀視角。比如歐幾里得在《幾何原本》中提出，平行直線是“在同一平面內(nèi)的直線向兩個方向無限延伸，不論哪個方向都不相交”。二是方向視角。比如“在同一平面內(nèi)，與同一條直線在同側成相同角度的兩條直線互相平行”。三是角度視角。借助同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等判定平行。四是距離視角。比如墨子的“平，同高也”。不同視角整體體現(xiàn)了從直觀幾何走向實驗幾何、從實驗幾何走向演繹幾何的發(fā)展過程。因此，在“平行”的教學中，教師可以采用對視錯覺圖形的判斷讓學生感受直觀定義的弊端；進而通過對學生所舉平行例子（長方形物體）的探究，引出距離的定義；再通過畫平行線的探究活動，引出角度的定義等方式[1]?？梢?，數(shù)學的發(fā)展不僅為學生提供了突破難點的方向，還為學生的探究提供了參照。

二、內(nèi)容取向：教育與歷史的融合

（一）走進教材中的數(shù)學史

教材是學習的載體和支架，教材中編排的數(shù)學史料為教師將數(shù)學史融入教學提供了素材與參照。教材中運用數(shù)學史的方式有五種：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式，運用水平依次提高。前兩種方式，數(shù)學史獨立于教材正文內(nèi)容以外，后三種方式則是將數(shù)學史融入教材正文[2]。

在小學數(shù)學教材中有數(shù)學史的顯性呈現(xiàn)，也有數(shù)學史的隱性滲透。如人教版教材中的“你知道嗎”“數(shù)學閱讀”以及一些例題與練習，就是顯性呈現(xiàn)，它們對應于數(shù)學史運用方式中的點綴式、附加式、復制式。而像北師大版教材從形的角度研究質(zhì)數(shù)、合數(shù)，“如果給定的數(shù)只有一種長方形的表征，那這個數(shù)就是質(zhì)數(shù)，否則就是合數(shù)”使用了古希臘素數(shù)定義和研究的方法，這是數(shù)學史的隱性滲透。這些滲透與數(shù)學史運用方式中的順應式、重構式相對應。類似的隱性滲透還有很多，如各個版本教材從部分與整體、測量、除法三個角度呈現(xiàn)分數(shù)，是隱性重構了分數(shù)發(fā)展的三個里程碑事件。教材是運用數(shù)學史最直接的參照，教師要走進教材中的數(shù)學史，了解每一處數(shù)學史運用的方式，特別是順應式、重構式運用數(shù)學史的隱性滲透。

（二）走進數(shù)學對象的發(fā)展脈絡

盡管各版本的小學數(shù)學教材都編入了數(shù)學史，但當運用數(shù)學史進行某些主題的教學嘗試時，教師仍舊感覺無從下手。其中一個主要原因是教師掌握的與主題相關的數(shù)學史料太少。顯然，僅僅了解教材中顯性呈現(xiàn)、隱性滲透的數(shù)學史是不夠的，要使學生的深度學習真實發(fā)生，還需要將設計的主題置于歷史的發(fā)展脈絡之中進行考察。比如將數(shù)學史融入角的認識的教學，可以將其置于角的發(fā)展脈絡之中，歷史上對角的認識有質(zhì)（形狀與特征）、量（大?。?、關系（兩邊）三個維度，從質(zhì)的角度認識角，是角的認識的基礎，也是從關系的角度認識角的起點。這時，學生需要了解角“是由一個頂點和兩條直邊組成的”“從一個頂點出發(fā)的兩條射線”等概念。進而，當學生從質(zhì)的角度對平角、周角等特殊角進行判斷時，會引發(fā)認知沖突，此時再從關系的角度引入角的定義，對角“是由一條射線繞頂點旋轉而成的圖形”的理解就變得自然而然。從量的角度認識角，一方面要引出角的分類，另一方面要回到度量的原點——單位1的確定來幫助學生理解。對數(shù)學對象發(fā)展脈絡的梳理是將數(shù)學史應用于教學的難點所在，這不僅需要教師廣泛閱讀數(shù)學史和HPM 文獻，還需要教師進行數(shù)學對象發(fā)展脈絡的梳理以及數(shù)學史與教材內(nèi)容、學生學習水平的勾連。唯有走進數(shù)學對象的發(fā)展脈絡之中，教師才能厚積薄發(fā)。

三、方法取向：發(fā)生與重構的交融

（一）多元融入，重構歷史

教學中數(shù)學史在哪里用、怎樣用，取決于教學的需要。一般來說,根據(jù)小學生認知特點和教材安排，重構式多用于數(shù)學概念的教學,復制式和順應式多用于運算、命題和問題解決的教學,而附加式則可用于任何一類主題的教學[3]。重構教學要遵循學生的認知特點，與知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律相吻合。弗賴登塔爾在《數(shù)學教育的主要問題》的報告中指出：“數(shù)學史是一個圖式化不斷演進的系統(tǒng)化的學習過程，兒童無須重蹈人類的歷史,但他們也不可能從前人止步的地方開始。從某種意義上說，兒童應該重蹈歷史,盡管不是實際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史?！盵4]這就是說，數(shù)學教學不能為歷史而歷史，而需要找到數(shù)學對象發(fā)展歷程中最為關鍵和本質(zhì)的步子，多元融合，引導學生進行再創(chuàng)造。如某教師在教學“位置的表示方法”時，重構了“位置的表示從一維射線到二維平面到三維空間”的發(fā)展過程，引導學生思考：當蒼蠅飛到屋頂天花板邊界時，其位置如何表示？——可以用已經(jīng)學過的數(shù)線段的方式表示；當蒼蠅飛到天花板中間位置時，該如何表示？——這是本節(jié)課的教學重點，可以用數(shù)對表示位置，引導學生重蹈歷史，進行再創(chuàng)造；當蒼蠅飛到房內(nèi)的其他位置時，該如何表示？——學生知道可以用三個數(shù)表示，這是以后要學習的內(nèi)容，而數(shù)對和三個數(shù)可以表示空間物體的位置就成為學生再創(chuàng)造的起點。整個教學圍繞位置表示方法的發(fā)展歷史關鍵和本質(zhì)的步子展開，重構了知識的發(fā)生發(fā)展過程。同時，教學圍繞發(fā)明坐標系的數(shù)學家笛卡爾的一天展開，附加式地介紹了笛卡爾發(fā)現(xiàn)數(shù)對的過程和歷史上數(shù)對的表示方式，重構式與附加式并重，顯性呈現(xiàn)和隱性融入相結合，動機引領、探究為重，引發(fā)了學生的深度學習。

（二）單元構建，突出主線

鐘啟泉教授認為，我們要理解主題設計、單元設計的價值和作用，它是撬動課堂轉型的一個支點。[5]以史為鑒，遵循歷史的發(fā)展，可以關聯(lián)歷史的發(fā)生探究過程，在知識的歷史脈絡中探究數(shù)學的前世今生，感悟古人的探究過程。而以單元作為數(shù)學史融入的基本單位有諸多益處，不僅有持續(xù)時間的保證，連續(xù)內(nèi)容的供給，還有多元評價數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)，這都將促使現(xiàn)時的學習與歷史脈絡相吻合，從深層次感受數(shù)學的意義與價值。基于數(shù)學史的單元構建，可以以教材中現(xiàn)有的單元為基本單位，比如教材中“圓”這一章，以“以直代曲”的轉化思想為主線，并從數(shù)學文化的角度對其進行考察，進而統(tǒng)攝“圓的認識、圓的周長、圓的面積”三部分，在“圓的認識”中，滲透圓與方的關聯(lián)，在“圓的周長”中，從實驗幾何走向論證幾何，在“圓的面積”中凸顯論證幾何，最終指向幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng)；也可以重組單元，比如將長度測量與因數(shù)和倍數(shù)或者比結合在一起，將具有深刻歷史根源的單位1作為主線統(tǒng)攝整合后的單元。在長度單位的學習中，學生需要理解單位1的可變性，它可以是我們常見的1 厘米、1 米、1 分米，也可以是任意長度，它可以根據(jù)需要進行變動。當長度測量與因數(shù)和倍數(shù)進行統(tǒng)整時，可以有這樣的任務：（1）給定整數(shù)長度的線段，可以被哪些整數(shù)長度的線段（單位1）量盡，這一任務指向因數(shù)的學習。（2）它（單位1）可以量盡哪些長度的線段，這一任務指向倍數(shù)的學習。而當長度單位與比統(tǒng)整時，可以給定兩條線段，請學生思考可以用哪些長度的線段同時量盡這兩條線段，只要能量盡，給定兩條線段長度的比就等于這兩條線段被單位1度量的次數(shù)比。

每個數(shù)學知識背后都有故事，有軌跡，有文化?！皵?shù)學史在課堂中扮演的是一名額外的學生?！睘榱烁玫匕l(fā)揮數(shù)學史的這一角色，在教學時，教師需要從價值、內(nèi)容、方法三個維度，進行綜合、深度的思考。唯有如此，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，更好地發(fā)揮數(shù)學教學的育人功能，更好地促進教師的專業(yè)成長。