□趙雨晴吳敏霞鞏子坤

一、引言

Tobias Dantzig在1954年首次提出“數(shù)感”（Number sense)這一概念，他認(rèn)為數(shù)感是對(duì)微小數(shù)量變化的一種直覺(jué)感受[1]。2001年，我國(guó)在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中首次明確提出要培養(yǎng)兒童的數(shù)感，隨后在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將數(shù)感列為十大核心概念之一。由此，數(shù)感的內(nèi)涵、發(fā)展規(guī)律和培養(yǎng)方法等逐漸成為研究的熱點(diǎn)[2-3]。全面考察小學(xué)生數(shù)感水平的發(fā)展特點(diǎn)及其影響因素，可以為小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)提供指導(dǎo)。

近年來(lái)，針對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感而開(kāi)展的研究數(shù)不勝數(shù)，許多數(shù)學(xué)教育學(xué)者都嘗試建立有效的測(cè)評(píng)方法以了解兒童的數(shù)感發(fā)展，并將其作為一個(gè)重要研究方向[4]。Clements[5]、Griffin等人[6]、Malofeeva等人[7]基于兒童數(shù)感發(fā)展理論設(shè)計(jì)量表，測(cè)評(píng)學(xué)前以及特定年齡兒童的數(shù)感發(fā)展?fàn)顩r。張樹(shù)東等[8]研究4～6歲兒童的數(shù)感特點(diǎn)，張麗錦等[9]對(duì)一年級(jí)兒童的數(shù)感展開(kāi)研究。

本研究基于已有文獻(xiàn)，對(duì)數(shù)感內(nèi)涵進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，確定其維度并給出操作性定義；編制問(wèn)卷對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，征求專家意見(jiàn)后修改問(wèn)卷，再次進(jìn)行大規(guī)模樣本測(cè)試，通過(guò)對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最終形成一套“小學(xué)4～6年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”。

二、問(wèn)卷編制過(guò)程與方法

（一）問(wèn)卷維度及其操作性定義

Sowder[10]認(rèn)為，有數(shù)感的人應(yīng)當(dāng)能較好地連接數(shù)與運(yùn)算的概念；能利用數(shù)的相對(duì)與絕對(duì)大小比較數(shù)的大小；能以估算的形式判斷結(jié)果的合理性；掌握心算的方法。馬云鵬、史炳星[11]認(rèn)為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)感主要是指學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示具體數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；具有選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)；能依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推論，并對(duì)數(shù)據(jù)和推論的精確性和可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)教育工作者Der-Ching Yang對(duì)數(shù)感的組成成分進(jìn)行了如下分類(lèi)：理解數(shù)的意義；辨別數(shù)的相對(duì)大?。磺‘?dāng)?shù)剡\(yùn)用基準(zhǔn)量；理解運(yùn)算對(duì)數(shù)的影響；恰當(dāng)運(yùn)用不同的解題策略得出結(jié)果，并能判斷結(jié)果的合理性。

由此可見(jiàn)，目前數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域普遍認(rèn)為“數(shù)感”是對(duì)數(shù)的概念、數(shù)與運(yùn)算、數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的理解，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。結(jié)合以往研究和課標(biāo)要求，進(jìn)行文獻(xiàn)梳理后，與數(shù)學(xué)教育專家及小學(xué)優(yōu)秀教研員多次探討小學(xué)階段數(shù)感的內(nèi)涵，歸納出以下四個(gè)重要維度：數(shù)的意義、數(shù)的大小、數(shù)與運(yùn)算、數(shù)與估計(jì)。由此，建構(gòu)了數(shù)感的維度以及各個(gè)維度的含義和操作性定義（如表1）。

表1數(shù)感各個(gè)維度的操作性定義

（二）問(wèn)卷題目的建立

根據(jù)問(wèn)卷題目編制的注意事項(xiàng)[12-14]，分析每份問(wèn)卷的題項(xiàng)?？紤]到小學(xué)4～6年級(jí)學(xué)生相比低段學(xué)生，在思維方式方面出現(xiàn)了較大變化，形象思維開(kāi)始向抽象思維和邏輯思維過(guò)渡[15]，并且已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，因此改編現(xiàn)有問(wèn)卷題目時(shí)，以字母代替圖形符號(hào)，形成了含有44道題目的初始問(wèn)卷（記為問(wèn)卷一，見(jiàn)表2）。題型均為選擇題和填空題，每空記為1題（如第1題，該填空題有2空，記為2題），另外數(shù)與運(yùn)算和運(yùn)算結(jié)果估計(jì)的題目還需學(xué)生填寫(xiě)選擇的理由。

表2問(wèn)卷一題目編號(hào)及示例

（三）被試選取與問(wèn)卷回收

整個(gè)問(wèn)卷的編制過(guò)程一共進(jìn)行了三次測(cè)試，測(cè)試后的分析以及問(wèn)卷修訂詳見(jiàn)下文“預(yù)調(diào)查問(wèn)卷的分析與修訂”。第一次發(fā)放問(wèn)卷（問(wèn)卷一）的對(duì)象為杭州市G區(qū)某小學(xué)五年級(jí)學(xué)生4人，測(cè)試后對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談，了解學(xué)生對(duì)題目的理解情況。

第二次發(fā)放問(wèn)卷（問(wèn)卷二）用于問(wèn)卷修訂過(guò)程中的探索性因素分析。選取杭州市X區(qū)某小學(xué)的四、五、六年級(jí)學(xué)生作為樣本，總樣本量為385人，回收有效問(wèn)卷377份，有效率為97.9%。

第三次發(fā)放問(wèn)卷（問(wèn)卷三，見(jiàn)附錄）用于問(wèn)卷修訂過(guò)程中的驗(yàn)證性因素分析。選取杭州市G區(qū)某小學(xué)的四、五、六年級(jí)學(xué)生作為樣本，總樣本量為442人，回收有效問(wèn)卷434份，有效率為98.2%。

（四）數(shù)據(jù)分析

問(wèn)卷中每題正確記1分，錯(cuò)誤記0分。另外數(shù)與運(yùn)算以及運(yùn)算結(jié)果估計(jì)的題目需要填寫(xiě)選擇的理由，答案正確但理由不合理記為1分，答案正確且理由合理記為2分，其余情況記為0分。利用SPSS22.0對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行項(xiàng)目分析、相關(guān)分析、探索性因素分析，利用AMOS 24.0對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證性因素分析。

三、預(yù)調(diào)查問(wèn)卷的分析與修訂

（一）問(wèn)卷試測(cè)

第一次測(cè)試（問(wèn)卷一）的目的是避免學(xué)生因生字生詞而讀不懂題目，導(dǎo)致無(wú)法作答或作答錯(cuò)誤。測(cè)試后通過(guò)訪談了解學(xué)生對(duì)題目的理解情況，在不改變題意的情況下，為便于學(xué)生理解，修改了其中3題的提問(wèn)方式（詳見(jiàn)表3），并將問(wèn)卷中出現(xiàn)的所有圖按順序進(jìn)行編號(hào)，形成問(wèn)卷二。

表3問(wèn)卷二調(diào)整情況

續(xù)表

（二）項(xiàng)目分析

第二次測(cè)試（問(wèn)卷二）后，回收問(wèn)卷，錄入數(shù)據(jù)。

采用相關(guān)系數(shù)法，考察問(wèn)卷中每道題與總分的相關(guān)性，最終發(fā)現(xiàn)，每道題目與總分均相關(guān)。采用臨界比率法（CR）對(duì)被測(cè)學(xué)生的得分進(jìn)行差異性檢驗(yàn)[16]，即計(jì)算每份問(wèn)卷總分后，按總分從高到低排序，前27%（102人）為高分組，后27%（102人）為低分組，對(duì)兩組進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，刪除不具有高低分組顯著性差異的2道題目（第3、12題）。

3.在五位數(shù)35698中，減去5個(gè)千后，得到的數(shù)是____。

12.下圖中，涂顏色的圓占了全部圓的（ ）。

（三）探索性因素分析

基于項(xiàng)目分析，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性因素分析。首先對(duì)問(wèn)卷結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)卷的KMO值為0.868，Bartlett球形度檢驗(yàn)顯著（p=0.000＜0.05），表明適合做因子分析。選擇主成分分析法和最大方差旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行分析，檢驗(yàn)問(wèn)卷維度以及相應(yīng)題目。篩選問(wèn)卷中的題目時(shí)主要遵循如下原則[17]：（1）保留因子特征值大于1的題目；（2）保留因子載荷值至少在0.4以上的題目；（3）刪除在兩個(gè)以及兩個(gè)以上的因子載荷值均大于0.4的題目。最后共計(jì)刪除21道題目（詳見(jiàn)表4），保留23道題目。

在探索性因素分析后，問(wèn)卷的7個(gè)二級(jí)維度作為主成分被保留，但是其中“1.2分?jǐn)?shù)的意義”和“2.1數(shù)的大小”只剩2題，按照問(wèn)卷編制要求，每個(gè)子維度下至少包含3題，因此在這兩個(gè)維度下各修訂1題（見(jiàn)附錄第6題，第9題），形成問(wèn)卷三，共25題（詳見(jiàn)表4與附錄）。

表4問(wèn)卷三調(diào)整情況

四、問(wèn)卷的檢驗(yàn)

（一）驗(yàn)證性因素分析

第三次測(cè)試（問(wèn)卷三）后，回收問(wèn)卷，錄入數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證性因素分析，檢驗(yàn)實(shí)際數(shù)據(jù)模型與理論模型的擬合程度，如表5所示[18]。

第一步，進(jìn)行一階兩兩相關(guān)模型驗(yàn)證因素分析。根據(jù)分析結(jié)果，通過(guò)殘差進(jìn)行修正，綜合考慮各項(xiàng)指標(biāo)，一階因子的模型擬合程度較好，一階因子概念之間存在高度相關(guān)性，可進(jìn)行下一步[19]。

第二步，進(jìn)行二階兩兩相關(guān)模型驗(yàn)證因素分析。評(píng)價(jià)指標(biāo)同第一步，綜合考慮各項(xiàng)指標(biāo)，模型擬合程度較好。最終的維度路徑系數(shù)見(jiàn)圖1。

表5模型擬合指數(shù)

續(xù)表

圖1數(shù)感維度的路徑系數(shù)

（二）問(wèn)卷的信度和效度分析

1.信度分析

為了評(píng)估問(wèn)卷的一致性、可靠性和有效性，采用Cronbach’sα系數(shù)計(jì)算問(wèn)卷的內(nèi)部一致性，對(duì)問(wèn)卷進(jìn)行信度檢驗(yàn)。分別計(jì)算數(shù)的意義、數(shù)的大小、數(shù)與運(yùn)算、數(shù)與估計(jì)4個(gè)維度以及總問(wèn)卷的內(nèi)部一致性信度（α系數(shù)），各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)（見(jiàn)表6），表明問(wèn)卷的信度良好。

表6問(wèn)卷的信度檢驗(yàn)

2.效度分析

（1）內(nèi)容效度：檢驗(yàn)問(wèn)卷實(shí)際測(cè)試的內(nèi)容與所要測(cè)試內(nèi)容之間的吻合程度[20]。目前，應(yīng)用最廣泛的指標(biāo)是內(nèi)容效度指數(shù)(CVI)[21]。在問(wèn)卷形成后，邀請(qǐng)4位專家（2位高校教師，2位教研員）對(duì)問(wèn)卷題目與相應(yīng)維度的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行打分。采用4等級(jí)評(píng)分：1=不相關(guān)，2=弱相關(guān)，3=較強(qiáng)相關(guān)，4=非常相關(guān)。打分完成后計(jì)算Kappa值（K*，0.60～0.74為良好，大于0.74為優(yōu)秀），結(jié)果如表7所示。

進(jìn)一步計(jì)算問(wèn)卷的內(nèi)容效度值（S-CVI），結(jié)果顯示S-CVI/UA（被所有專家均評(píng)為3分或4分的題項(xiàng)數(shù)量占全部題項(xiàng)數(shù)量的百分比）為0.80，S-CVI/Ave（問(wèn)卷所有條目I-CVI的平均數(shù)）為0.95。根據(jù)S-CVI/UA不低于0.80，S-CVI/Ave應(yīng)達(dá)到0.90的標(biāo)準(zhǔn)，本問(wèn)卷的內(nèi)容效度達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)。

表7正式問(wèn)卷的內(nèi)容效度指標(biāo)

（2）結(jié)構(gòu)效度：以驗(yàn)證性因素分析的結(jié)果和問(wèn)卷各維度間、各維度與總問(wèn)卷間的相關(guān)系數(shù)作為檢驗(yàn)指標(biāo)[22]。在二階模型擬合指數(shù)中，RMSEA的值小于0.05，TLI與CFI的值大于0.9，這時(shí)擬合的模型是一個(gè)“好模型”[23]，結(jié)構(gòu)效度達(dá)到要求。問(wèn)卷各維度間、各維度與總問(wèn)卷間的相關(guān)系數(shù)如表8所示，各維度之間存在著顯著的中度相關(guān)，相關(guān)系數(shù)在0.389～0.518之間，各維度與總問(wèn)卷之間存在中高度顯著相關(guān)，相關(guān)系數(shù)在0.656～0.847之間。分析表明，問(wèn)卷所確立的4個(gè)一級(jí)維度之間有相對(duì)獨(dú)立性，各個(gè)維度與問(wèn)卷整體相關(guān)性較大，因而問(wèn)卷的結(jié)構(gòu)效度較好。

表8維度間及維度和總問(wèn)卷間的相關(guān)系數(shù)

五、討論

本次編制的“小學(xué)4～6年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”在維度上沿用了研究者先前編制的“小學(xué)1年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”[24]和“小學(xué)2-3年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”[25]，但相比之下，本次問(wèn)卷編制過(guò)程更嚴(yán)謹(jǐn)，具有科學(xué)性，主要體現(xiàn)在以下方面。

（一）大樣本選取

本次問(wèn)卷編制過(guò)程中進(jìn)行探索性、驗(yàn)證性因素分析時(shí)選取的樣本量均在400人左右，流程為：基于對(duì)大樣本數(shù)據(jù)的探索性因素分析，對(duì)問(wèn)卷進(jìn)行修訂；再進(jìn)行大樣本測(cè)試，對(duì)問(wèn)卷進(jìn)行驗(yàn)證性因素分析。

（二）問(wèn)卷編制過(guò)程具有嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性

本次問(wèn)卷編制過(guò)程共進(jìn)行三次測(cè)試。初始問(wèn)卷包含44道題目，先經(jīng)過(guò)試測(cè)，修改了2道題的提問(wèn)方式，保證學(xué)生在測(cè)試過(guò)程中不會(huì)因?yàn)椴焕斫忸}意而發(fā)生錯(cuò)誤。第二次大規(guī)模測(cè)試后對(duì)結(jié)果進(jìn)行項(xiàng)目分析和探索性因素分析，修訂題目，形成結(jié)構(gòu)合理的最終版本測(cè)試問(wèn)卷，共包含25道題目。為了檢驗(yàn)最終問(wèn)卷的信度和效度，進(jìn)行第三次大規(guī)模測(cè)試，對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證性因素分析和信效度檢驗(yàn)。本次問(wèn)卷編制過(guò)程參照王光明等[26]編制問(wèn)卷的方法，具有嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性。

（三）問(wèn)卷題目設(shè)計(jì)合理，結(jié)構(gòu)完整，一脈相承

針對(duì)小學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與特征，郭民[27]依據(jù)數(shù)感階段的劃分以及數(shù)感的構(gòu)成要素設(shè)計(jì)了一套問(wèn)卷用于測(cè)試2～6年級(jí)的所有學(xué)生，而本研究依據(jù)小學(xué)1～6年級(jí)學(xué)生的不同水平，設(shè)計(jì)了三套問(wèn)卷。“小學(xué)1年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”包括數(shù)字運(yùn)算、數(shù)字意義、數(shù)字表示、數(shù)字關(guān)系、數(shù)字估計(jì)、問(wèn)題情境六個(gè)維度，而“小學(xué)2～3年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”在維度上有所調(diào)整。經(jīng)過(guò)探索性因素分析，確定問(wèn)卷結(jié)構(gòu)包括數(shù)的意義、數(shù)的大小、數(shù)與運(yùn)算、數(shù)與估計(jì)四個(gè)維度，因此“小學(xué)4～6年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”沿用了這四個(gè)維度，使系列問(wèn)卷一脈相承，具有系統(tǒng)性。本問(wèn)卷含25道題目，數(shù)量合理，學(xué)生能在一課時(shí)內(nèi)完成。

六、結(jié)論

“小學(xué)4～6年級(jí)數(shù)感水平調(diào)查問(wèn)卷”的編制過(guò)程具有嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性，問(wèn)卷具有良好的信效度，可作為評(píng)估4～6年級(jí)小學(xué)生數(shù)感水平的有效工具。

附錄：?jiǎn)柧砣?/p>

親愛(ài)的小朋友：歡迎參加小測(cè)試。請(qǐng)你仔細(xì)看題目，按照要求認(rèn)真回答。選擇題都只有一個(gè)正確答案。測(cè)試結(jié)果只用來(lái)做研究，與你的數(shù)學(xué)成績(jī)無(wú)關(guān)。

1.請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填上“↑”處可能表示的一個(gè)小數(shù)。

（1.浙江省杭州長(zhǎng)河中學(xué) 310053 2.浙江省杭州市余杭區(qū)良渚杭行路小學(xué) 311101 3.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院 311121）