□趙雨晴吳敏霞鞏子坤

一、引言

Tobias Dantzig在1954年首次提出“數(shù)感”（Number sense)這一概念，他認(rèn)為數(shù)感是對微小數(shù)量變化的一種直覺感受[1]。2001年，我國在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中首次明確提出要培養(yǎng)兒童的數(shù)感，隨后在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將數(shù)感列為十大核心概念之一。由此，數(shù)感的內(nèi)涵、發(fā)展規(guī)律和培養(yǎng)方法等逐漸成為研究的熱點[2-3]。全面考察小學(xué)生數(shù)感水平的發(fā)展特點及其影響因素，可以為小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)提供指導(dǎo)。

近年來，針對如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感而開展的研究數(shù)不勝數(shù)，許多數(shù)學(xué)教育學(xué)者都嘗試建立有效的測評方法以了解兒童的數(shù)感發(fā)展，并將其作為一個重要研究方向[4]。Clements[5]、Griffin等人[6]、Malofeeva等人[7]基于兒童數(shù)感發(fā)展理論設(shè)計量表，測評學(xué)前以及特定年齡兒童的數(shù)感發(fā)展?fàn)顩r。張樹東等[8]研究4～6歲兒童的數(shù)感特點，張麗錦等[9]對一年級兒童的數(shù)感展開研究。

本研究基于已有文獻(xiàn)，對數(shù)感內(nèi)涵進(jìn)行再認(rèn)識，確定其維度并給出操作性定義；編制問卷對學(xué)生進(jìn)行測試，征求專家意見后修改問卷，再次進(jìn)行大規(guī)模樣本測試，通過對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最終形成一套“小學(xué)4～6年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”。

二、問卷編制過程與方法

（一）問卷維度及其操作性定義

Sowder[10]認(rèn)為，有數(shù)感的人應(yīng)當(dāng)能較好地連接數(shù)與運算的概念；能利用數(shù)的相對與絕對大小比較數(shù)的大??；能以估算的形式判斷結(jié)果的合理性；掌握心算的方法。馬云鵬、史炳星[11]認(rèn)為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)感主要是指學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示具體數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；具有選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計算的經(jīng)驗；能依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推論，并對數(shù)據(jù)和推論的精確性和可靠性進(jìn)行檢驗。數(shù)學(xué)教育工作者Der-Ching Yang對數(shù)感的組成成分進(jìn)行了如下分類：理解數(shù)的意義；辨別數(shù)的相對大??；恰當(dāng)?shù)剡\用基準(zhǔn)量；理解運算對數(shù)的影響；恰當(dāng)運用不同的解題策略得出結(jié)果，并能判斷結(jié)果的合理性。

由此可見，目前數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域普遍認(rèn)為“數(shù)感”是對數(shù)的概念、數(shù)與運算、數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的理解，以及運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。結(jié)合以往研究和課標(biāo)要求，進(jìn)行文獻(xiàn)梳理后，與數(shù)學(xué)教育專家及小學(xué)優(yōu)秀教研員多次探討小學(xué)階段數(shù)感的內(nèi)涵，歸納出以下四個重要維度：數(shù)的意義、數(shù)的大小、數(shù)與運算、數(shù)與估計。由此，建構(gòu)了數(shù)感的維度以及各個維度的含義和操作性定義（如表1）。

表1數(shù)感各個維度的操作性定義

（二）問卷題目的建立

根據(jù)問卷題目編制的注意事項[12-14]，分析每份問卷的題項?？紤]到小學(xué)4～6年級學(xué)生相比低段學(xué)生，在思維方式方面出現(xiàn)了較大變化，形象思維開始向抽象思維和邏輯思維過渡[15]，并且已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，因此改編現(xiàn)有問卷題目時，以字母代替圖形符號，形成了含有44道題目的初始問卷（記為問卷一，見表2）。題型均為選擇題和填空題，每空記為1題（如第1題，該填空題有2空，記為2題），另外數(shù)與運算和運算結(jié)果估計的題目還需學(xué)生填寫選擇的理由。

表2問卷一題目編號及示例

（三）被試選取與問卷回收

整個問卷的編制過程一共進(jìn)行了三次測試，測試后的分析以及問卷修訂詳見下文“預(yù)調(diào)查問卷的分析與修訂”。第一次發(fā)放問卷（問卷一）的對象為杭州市G區(qū)某小學(xué)五年級學(xué)生4人，測試后對學(xué)生進(jìn)行訪談，了解學(xué)生對題目的理解情況。

第二次發(fā)放問卷（問卷二）用于問卷修訂過程中的探索性因素分析。選取杭州市X區(qū)某小學(xué)的四、五、六年級學(xué)生作為樣本，總樣本量為385人，回收有效問卷377份，有效率為97.9%。

第三次發(fā)放問卷（問卷三，見附錄）用于問卷修訂過程中的驗證性因素分析。選取杭州市G區(qū)某小學(xué)的四、五、六年級學(xué)生作為樣本，總樣本量為442人，回收有效問卷434份，有效率為98.2%。

（四）數(shù)據(jù)分析

問卷中每題正確記1分，錯誤記0分。另外數(shù)與運算以及運算結(jié)果估計的題目需要填寫選擇的理由，答案正確但理由不合理記為1分，答案正確且理由合理記為2分，其余情況記為0分。利用SPSS22.0對數(shù)據(jù)進(jìn)行項目分析、相關(guān)分析、探索性因素分析，利用AMOS 24.0對數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證性因素分析。

三、預(yù)調(diào)查問卷的分析與修訂

（一）問卷試測

第一次測試（問卷一）的目的是避免學(xué)生因生字生詞而讀不懂題目，導(dǎo)致無法作答或作答錯誤。測試后通過訪談了解學(xué)生對題目的理解情況，在不改變題意的情況下，為便于學(xué)生理解，修改了其中3題的提問方式（詳見表3），并將問卷中出現(xiàn)的所有圖按順序進(jìn)行編號，形成問卷二。

表3問卷二調(diào)整情況

續(xù)表

（二）項目分析

第二次測試（問卷二）后，回收問卷，錄入數(shù)據(jù)。

采用相關(guān)系數(shù)法，考察問卷中每道題與總分的相關(guān)性，最終發(fā)現(xiàn)，每道題目與總分均相關(guān)。采用臨界比率法（CR）對被測學(xué)生的得分進(jìn)行差異性檢驗[16]，即計算每份問卷總分后，按總分從高到低排序，前27%（102人）為高分組，后27%（102人）為低分組，對兩組進(jìn)行獨立樣本t檢驗，刪除不具有高低分組顯著性差異的2道題目（第3、12題）。

3.在五位數(shù)35698中，減去5個千后，得到的數(shù)是____。

12.下圖中，涂顏色的圓占了全部圓的（ ）。

（三）探索性因素分析

基于項目分析，對數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性因素分析。首先對問卷結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)問卷的KMO值為0.868，Bartlett球形度檢驗顯著（p=0.000＜0.05），表明適合做因子分析。選擇主成分分析法和最大方差旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行分析，檢驗問卷維度以及相應(yīng)題目。篩選問卷中的題目時主要遵循如下原則[17]：（1）保留因子特征值大于1的題目；（2）保留因子載荷值至少在0.4以上的題目；（3）刪除在兩個以及兩個以上的因子載荷值均大于0.4的題目。最后共計刪除21道題目（詳見表4），保留23道題目。

在探索性因素分析后，問卷的7個二級維度作為主成分被保留，但是其中“1.2分?jǐn)?shù)的意義”和“2.1數(shù)的大小”只剩2題，按照問卷編制要求，每個子維度下至少包含3題，因此在這兩個維度下各修訂1題（見附錄第6題，第9題），形成問卷三，共25題（詳見表4與附錄）。

表4問卷三調(diào)整情況

四、問卷的檢驗

（一）驗證性因素分析

第三次測試（問卷三）后，回收問卷，錄入數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證性因素分析，檢驗實際數(shù)據(jù)模型與理論模型的擬合程度，如表5所示[18]。

第一步，進(jìn)行一階兩兩相關(guān)模型驗證因素分析。根據(jù)分析結(jié)果，通過殘差進(jìn)行修正，綜合考慮各項指標(biāo)，一階因子的模型擬合程度較好，一階因子概念之間存在高度相關(guān)性，可進(jìn)行下一步[19]。

第二步，進(jìn)行二階兩兩相關(guān)模型驗證因素分析。評價指標(biāo)同第一步，綜合考慮各項指標(biāo)，模型擬合程度較好。最終的維度路徑系數(shù)見圖1。

表5模型擬合指數(shù)

續(xù)表

圖1數(shù)感維度的路徑系數(shù)

（二）問卷的信度和效度分析

1.信度分析

為了評估問卷的一致性、可靠性和有效性，采用Cronbach’sα系數(shù)計算問卷的內(nèi)部一致性，對問卷進(jìn)行信度檢驗。分別計算數(shù)的意義、數(shù)的大小、數(shù)與運算、數(shù)與估計4個維度以及總問卷的內(nèi)部一致性信度（α系數(shù)），各項指標(biāo)均達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)（見表6），表明問卷的信度良好。

表6問卷的信度檢驗

2.效度分析

（1）內(nèi)容效度：檢驗問卷實際測試的內(nèi)容與所要測試內(nèi)容之間的吻合程度[20]。目前，應(yīng)用最廣泛的指標(biāo)是內(nèi)容效度指數(shù)(CVI)[21]。在問卷形成后，邀請4位專家（2位高校教師，2位教研員）對問卷題目與相應(yīng)維度的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行打分。采用4等級評分：1=不相關(guān)，2=弱相關(guān)，3=較強相關(guān)，4=非常相關(guān)。打分完成后計算Kappa值（K*，0.60～0.74為良好，大于0.74為優(yōu)秀），結(jié)果如表7所示。

進(jìn)一步計算問卷的內(nèi)容效度值（S-CVI），結(jié)果顯示S-CVI/UA（被所有專家均評為3分或4分的題項數(shù)量占全部題項數(shù)量的百分比）為0.80，S-CVI/Ave（問卷所有條目I-CVI的平均數(shù)）為0.95。根據(jù)S-CVI/UA不低于0.80，S-CVI/Ave應(yīng)達(dá)到0.90的標(biāo)準(zhǔn)，本問卷的內(nèi)容效度達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)。

表7正式問卷的內(nèi)容效度指標(biāo)

（2）結(jié)構(gòu)效度：以驗證性因素分析的結(jié)果和問卷各維度間、各維度與總問卷間的相關(guān)系數(shù)作為檢驗指標(biāo)[22]。在二階模型擬合指數(shù)中，RMSEA的值小于0.05，TLI與CFI的值大于0.9，這時擬合的模型是一個“好模型”[23]，結(jié)構(gòu)效度達(dá)到要求。問卷各維度間、各維度與總問卷間的相關(guān)系數(shù)如表8所示，各維度之間存在著顯著的中度相關(guān)，相關(guān)系數(shù)在0.389～0.518之間，各維度與總問卷之間存在中高度顯著相關(guān)，相關(guān)系數(shù)在0.656～0.847之間。分析表明，問卷所確立的4個一級維度之間有相對獨立性，各個維度與問卷整體相關(guān)性較大，因而問卷的結(jié)構(gòu)效度較好。

表8維度間及維度和總問卷間的相關(guān)系數(shù)

五、討論

本次編制的“小學(xué)4～6年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”在維度上沿用了研究者先前編制的“小學(xué)1年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”[24]和“小學(xué)2-3年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”[25]，但相比之下，本次問卷編制過程更嚴(yán)謹(jǐn)，具有科學(xué)性，主要體現(xiàn)在以下方面。

（一）大樣本選取

本次問卷編制過程中進(jìn)行探索性、驗證性因素分析時選取的樣本量均在400人左右，流程為：基于對大樣本數(shù)據(jù)的探索性因素分析，對問卷進(jìn)行修訂；再進(jìn)行大樣本測試，對問卷進(jìn)行驗證性因素分析。

（二）問卷編制過程具有嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性

本次問卷編制過程共進(jìn)行三次測試。初始問卷包含44道題目，先經(jīng)過試測，修改了2道題的提問方式，保證學(xué)生在測試過程中不會因為不理解題意而發(fā)生錯誤。第二次大規(guī)模測試后對結(jié)果進(jìn)行項目分析和探索性因素分析，修訂題目，形成結(jié)構(gòu)合理的最終版本測試問卷，共包含25道題目。為了檢驗最終問卷的信度和效度，進(jìn)行第三次大規(guī)模測試，對數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗證性因素分析和信效度檢驗。本次問卷編制過程參照王光明等[26]編制問卷的方法，具有嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性。

（三）問卷題目設(shè)計合理，結(jié)構(gòu)完整，一脈相承

針對小學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與特征，郭民[27]依據(jù)數(shù)感階段的劃分以及數(shù)感的構(gòu)成要素設(shè)計了一套問卷用于測試2～6年級的所有學(xué)生，而本研究依據(jù)小學(xué)1～6年級學(xué)生的不同水平，設(shè)計了三套問卷?！靶W(xué)1年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”包括數(shù)字運算、數(shù)字意義、數(shù)字表示、數(shù)字關(guān)系、數(shù)字估計、問題情境六個維度，而“小學(xué)2～3年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”在維度上有所調(diào)整。經(jīng)過探索性因素分析，確定問卷結(jié)構(gòu)包括數(shù)的意義、數(shù)的大小、數(shù)與運算、數(shù)與估計四個維度，因此“小學(xué)4～6年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”沿用了這四個維度，使系列問卷一脈相承，具有系統(tǒng)性。本問卷含25道題目，數(shù)量合理，學(xué)生能在一課時內(nèi)完成。

六、結(jié)論

“小學(xué)4～6年級數(shù)感水平調(diào)查問卷”的編制過程具有嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性，問卷具有良好的信效度，可作為評估4～6年級小學(xué)生數(shù)感水平的有效工具。

附錄：問卷三

親愛的小朋友：歡迎參加小測試。請你仔細(xì)看題目，按照要求認(rèn)真回答。選擇題都只有一個正確答案。測試結(jié)果只用來做研究，與你的數(shù)學(xué)成績無關(guān)。

1.請在括號中填上“↑”處可能表示的一個小數(shù)。

（1.浙江省杭州長河中學(xué) 310053 2.浙江省杭州市余杭區(qū)良渚杭行路小學(xué) 311101 3.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院 311121）