胡俊娟,Murtala Adam Muhammad

(浙江科技學院 理學院,杭州 310023)

近年來,由于STAR(smooth transition autoregression,平滑轉(zhuǎn)換自回歸)模型在對時間序列動態(tài)中機制轉(zhuǎn)換非線性特征的描述上,具有一般性和靈活性的特點,被廣泛應用于匯率[1]、通貨膨脹率[2-3]、失業(yè)率[4]、股市[5]等金融與經(jīng)濟領(lǐng)域。在日常生活中,宏觀時間序列數(shù)據(jù)通常具有明顯的時間趨勢特征,在建模前需對時間序列平穩(wěn)性進行分析,因此對帶線性趨勢的時間序列進行單位根檢驗(檢驗平穩(wěn)性)具有廣泛的實際意義,進而帶趨勢項STAR模型的單位根檢驗受到了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注[6-7]。

對帶確定性趨勢(或者截距)的線性AR(autoregression,自回歸)模型的2種表達形式而言,通過對模型化簡可知二者具有相同的波動部分,因此對這2種帶確定性趨勢的AR模型進行單位根檢驗會得到一致的結(jié)論,然而對帶確定性趨勢項的STAR過程而言,2種形式卻包含了不同的波動部分[6]。如果對這2種形式帶趨勢項的STAR模型的單位根檢驗不加以區(qū)分,會導致檢驗結(jié)果的不可靠,如Zhang[8]和Kaufmann等[9]針對不同形式帶趨勢項STAR模型進行了線性檢驗,所得結(jié)論不同。目前關(guān)于帶趨勢ESTAR(exponential smooth transition autoregression,指數(shù)平滑轉(zhuǎn)換自回歸)模型的單位根檢驗研究較側(cè)重于去趨勢的各種方法[7,10,11],鮮有文獻對模型的2種不同形式加以區(qū)別研究。因此,我們對ESTAR模型2種形式的單位根檢驗進行研究,基于模型在不同形式下相應的輔助方程,考察KSS(Kapetanios-Shin-Snell)檢驗統(tǒng)計量的極限分布,從而對2種形式單位根檢驗從根本上加以區(qū)分,并且還為拓寬對帶確定性趨勢項STAR模型的單位根檢驗的研究打下一定的理論基礎(chǔ)。

1 KSS檢驗

考慮以下一階帶確定性趨勢項ESTAR模型:

(1)

或

(2)

(3)

式(3)中:et為誤差項。進一步,Kapetanios等[12]363提出了檢驗H0:δ=0的t檢驗(又稱KSS檢驗),檢驗統(tǒng)計量tKSS的極限分布為

(4)

2 主要結(jié)論

KSS檢驗統(tǒng)計量的極限分布是基于OLS去趨勢方法進行的,即考察的是基于式(2)模型的單位根檢驗。對式(1)通過泰勒展開可以得到以下輔助方程:

(5)

定理1假設(shè)Δyt=εt,則

“?”表示弱收斂。在備擇假設(shè)下,即基于式(5)(b=0)情況下帶均值ESTAR模型的檢驗統(tǒng)計量tμ具有一致性,且以速率T(樣本量)收斂。

證明:根據(jù)輔助方程式(5)(b=0),在原假設(shè)H0下OLS估計量

根據(jù)定理1的假設(shè),則在輔助方程式(5)中ut=εt。根據(jù)隨機積分的弱收斂定理和εt的半鞅性質(zhì)[14],則有

因此我們可以得到

進一步有

則

通過對上述極限分布的對比發(fā)現(xiàn),對于具有均值過程的時序,基于式(1)和式(2)的模型檢驗統(tǒng)計量極限分布不一致,因此臨界值不一樣,對這2種形式的模型不加以區(qū)分,直接用去趨勢KSS檢驗臨界值對式(1)進行單位根檢驗,所得檢驗結(jié)果必定不可靠。

定理2假設(shè)Δyt=a+εt且y0=0,則

(6)

式(6)中:A11、A12、A21、A22和B1、B2分別為矩陣A(W(r))、B(W(r))的分塊矩陣,具體形式參見以下證明。

不妨記

根據(jù)連續(xù)映射定理,我們可以得到[γ-1(X′X)γ-1]?H(W(r),σ),且[γ-1(X′ε)]?Q(W(r),σ),其中

因為在原假設(shè)下H0:δ=0可以寫成H0:Rβ=0,其中R=(0 0 0 0 1),則通過計算可得

因此,則有

得證。

3 結(jié) 語

定理1和定理2說明了不同形式帶趨勢項的ESTAR模型t檢驗統(tǒng)計量的極限分布并不相同,因此在分析帶趨勢項過程時,單純地使用先去趨勢然后用常用的臨界值表檢驗法并不十分科學。考慮到帶趨勢項的非線性ESTAR模型的2種形式導致的波動不一致,本研究從理論角度給出了證明,這一結(jié)果為帶確定性趨勢項ESTAR模型單位根檢驗的研究提供了理論參考,故建議在采用帶趨勢項ESTAR模型建模分析數(shù)據(jù)時,應對采用式(1)還是式(2)加以區(qū)分。本研究側(cè)重考慮的是帶趨勢項ESTAR模型的2種不同形式的極限理論,考察的是常用的線性趨勢部分,接下來我們將會把研究進一步擴展到傅里葉趨勢[16]情景中去,以進一步拓寬帶趨勢項ESTAR模型單位根檢驗的研究思路。