廣東實驗中學(xué)越秀學(xué)校(510095)閆煥民

三角函數(shù)不僅是高考數(shù)學(xué)六大板塊之一,而且也是學(xué)生的重要得分點.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)位于新課標教材(人民教育出版社,2019年版)數(shù)學(xué)必修第一冊第五章,是三角函數(shù)的核心內(nèi)容,但是高一大部分學(xué)生對這章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)存在“夾生飯”現(xiàn)象,這也為高三的復(fù)習(xí)添加了障礙.那么,如何幫助高一學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)呢? 基于此,筆者試圖結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗,運用“一題多問”的復(fù)習(xí)方法獲得了較好的效果.

一、在本章節(jié)授課時教師常忽略的問題

(一)忽略學(xué)生的主體地位

課堂上,教師不僅要提出問題來啟發(fā)學(xué)生思考,又要留足學(xué)生思考的空間,給足學(xué)生展現(xiàn)自我的機會.高一數(shù)學(xué)教學(xué)時間緊,內(nèi)容多,這就導(dǎo)致部分教師為了完成教學(xué)任務(wù)從課堂的第一分鐘講到最后一分鐘,無形中壓制并扼殺了學(xué)生的主動性.

一次公開課,某老師問: 如何求函數(shù)f(x)=2x)的單調(diào)增區(qū)間? 還沒等學(xué)生思考,老師自問自答: ”利用誘導(dǎo)公式知:f(x)=即x的系數(shù)ω負轉(zhuǎn)正……”學(xué)生不求甚解,只是機械性的記住了解法,其實并不理解為什么要負轉(zhuǎn)正……導(dǎo)致做題時生搬硬套.教師對于自己拋給學(xué)生的問題,要給足學(xué)生思考時間,與其告訴學(xué)生怎么做,不如讓學(xué)生去犯錯,讓學(xué)生在糾錯中獲取知識的根基.

(二)過于依賴多媒體技術(shù)

在高一階段的教學(xué)中,仍然有教師過于依賴多媒體技術(shù),快速的演示和講解,沒能有效組織學(xué)生研討三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),如: 復(fù)習(xí)正余弦函數(shù)的性質(zhì)時,大部分教師通過課件展示正余弦函數(shù)的圖象,進而復(fù)習(xí)性質(zhì),其實忽略了學(xué)生的遺忘率,忽略了學(xué)生的動手繪圖能力,忽略了課堂上學(xué)生需要時間消化知識的能力,更重要的是: 忽略了知識的輸出過程,導(dǎo)致部分學(xué)生只知三角函數(shù)的五性,但對于“五性具體是怎么推導(dǎo)和歸納出來的,怎樣與三角函數(shù)的定義結(jié)合去理解三角函數(shù)的五性”等這些問題,學(xué)生卻知之甚少.高一大部分學(xué)生未能真正的理解三角函數(shù)的性質(zhì),一個源于函數(shù)的性質(zhì)未學(xué)好,一個源于未能真正的掌握三角函數(shù)的圖象,最終導(dǎo)致不能很好的運用性質(zhì)去解題.

(三)忽略學(xué)生圖感能力的培養(yǎng)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高頻考點,解相關(guān)題目時往往用到數(shù)形結(jié)合的思想,由于在課堂教學(xué)中,很多教師采用了課件展示三角函數(shù)的圖象,由動態(tài)的圖效展示三角函數(shù)的變化,引導(dǎo)學(xué)生利用課件中的圖象解決問題,從而忽略了學(xué)生動手繪圖能力的培養(yǎng),導(dǎo)致學(xué)生不能很好的用數(shù)形結(jié)合的思想去解題.由于圖感不強,所以學(xué)生在求解三角函數(shù)的單調(diào)性,對稱軸,對稱中心,解三角不等式等問題時,經(jīng)常忽略三角函數(shù)的周期性.

(四)忽略數(shù)學(xué)思想的滲透

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)涉及到的數(shù)學(xué)思想有: 函數(shù)與方程,換元,轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等.

平時的教學(xué)中教師不可忽略這些數(shù)學(xué)思想的滲透,避免學(xué)生盲目套用解題方法,而不知道數(shù)學(xué)的真正本源,如: 求函數(shù)在區(qū)間上的值域;

換元格式: 令2x-=t,因為即所以≤sint≤1,所以所以f(x)=的值域為

教師應(yīng)重視高一學(xué)情,其實高一學(xué)生會混淆坐標軸中的橫軸究竟是指本題中的x還是2x-如果教師能夠用換元思想來解決本題,學(xué)生會豁然開朗.

(五)忽略學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

教師不要覺得自己的學(xué)生能力一般,講難度偏上的題目浪費時間,其實班級總有數(shù)學(xué)思維好的同學(xué),需要知識的拓展及提升.若對知識的傳授偏于簡單化有礙于學(xué)生思維的提升.部分學(xué)生在結(jié)束三角函數(shù)圖象與性質(zhì)章節(jié)后,大多能在教師的引導(dǎo)下作出三角函數(shù)的圖象,并能利用圖象與性質(zhì)解決一些基礎(chǔ)問題,但是在遇到復(fù)雜的問題,如對稱性、單調(diào)性及周期性的綜合應(yīng)用時,往往不能很好的運用知識連貫的思考問題,有時處于游離狀態(tài),甚至部分學(xué)生高三畢業(yè),都未能完全理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),如:

例1( 2016年高考新課標I 卷第12 題(選擇壓軸題))已知函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)(ω ＞0,|φ| ＜為f(x)的零點,x=為f(x)圖像的對稱軸,且f(x)在上單調(diào),則ω的最大值為( )

A.11 B.9 C.7 D.5

本題主要考查含參數(shù)三角函數(shù)的單調(diào)性、零點及對稱軸問題.對于單獨考察三角函數(shù)的零點、對稱軸、單調(diào)性等問題,學(xué)生很容易解答.但對于綜合性的題目如上題,學(xué)生不知如何入手,尤其對于“已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間的某一部分,確定參數(shù)ω的范圍”這一類問題,學(xué)生往往找不準突破口.這就需要教師找個基礎(chǔ)題為此題做鋪墊,問題的層層遞進,有助于學(xué)生夯實基礎(chǔ),拓展思維.

在高一復(fù)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)時,還有一些其它原因?qū)е赂咭粚W(xué)生不能有效且快速的掌握和運用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),如何尋求一種比較好的復(fù)習(xí)方法幫助學(xué)生理解和掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),顯得尤為重要.

首先,課堂上教師要注重知識的輸出過程;其次,課堂上教師要善于把多媒體技術(shù)與學(xué)生動手操作相結(jié)合;再次,課堂上教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的圖感能力及數(shù)學(xué)思想的滲透;最后,課堂上要善于拓展學(xué)生的思維.比如對2016年高考新課標I 卷選擇壓軸題第12 題,當教師借助此題給高一學(xué)生拓展時,不妨找個基礎(chǔ)點的題目為此題做鋪墊,如: 已知ω ＞0,函數(shù)f(x)=上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是____.這樣一步步引導(dǎo)學(xué)生走向思維深處.

二、高一年級“一題多問”的復(fù)習(xí)策略

筆者根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗和學(xué)情的分析,認為采用“一題多問”的復(fù)習(xí)方法較適合高一新生,具體做法如下:

(一)一題多問編題策略

1.尋找合適的起始條件,便于學(xué)生理解和記憶

在編輯“一題多問”復(fù)習(xí)題時,要尋求合適的起始條件,如果條件過于狹窄,那么編輯題目的前幾問后,就會出現(xiàn)斷層,無法進一步的編輯多問,一般情況下,建議從三角函數(shù)的定義,如已知終邊一個點的坐標作為起點,然后由定義解讀它的正弦、余弦等,簡單易懂,也能帶動學(xué)生從頭復(fù)習(xí)三角函數(shù),進而全面認識三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

2.由淺入深,逐步編輯問題,帶動學(xué)生思維螺旋上升

在編輯“一題多問”復(fù)習(xí)題時,要充分了解學(xué)生的學(xué)情,問題編排由淺入深,層層遞進,每一個問題都能涵蓋相關(guān)的知識點,以問題帶動學(xué)生復(fù)習(xí)所學(xué)知識,引導(dǎo)學(xué)生二次學(xué)習(xí)教材,進一步理解知識的前后聯(lián)系,達到學(xué)中有問,問中有學(xué),逐步使學(xué)生思維螺旋上升.

3.理清本章知識結(jié)構(gòu),全面掌握圖象與性質(zhì)的應(yīng)用

在編輯“一題多問”復(fù)習(xí)題時,教師要能有效把握本章的知識結(jié)構(gòu),從學(xué)生實際學(xué)情出發(fā),編排問題應(yīng)以教材為核心和從高考考綱出發(fā),問題既能代表高考的方向,又能促進學(xué)生理解教材的概念,不斷推動學(xué)生的思維發(fā)展.

4.復(fù)習(xí)實例展示

結(jié)合我校學(xué)情,筆者編輯了一道“一題多問”題,在高一有針對性的進行了復(fù)習(xí),以供同仁們參考和借鑒.

已知函數(shù)f(x)=

(1)分別寫出該函數(shù)的振幅、周期、相位和初相;

(2)求函數(shù)f(x)=的對稱中心;

(3)求函數(shù)f(x)=的對稱軸;

(4)求函數(shù)f(x)=的零點;

(5)求函數(shù)f(x)=的最值,并指出取得最值時x 的取值集合;

(6)求函數(shù)f(x)=在區(qū)間上的值域;

(7)求函數(shù)f(x)=的單調(diào)減區(qū)間;

(8)求函數(shù)f(x)=在[-π,π]的單調(diào)增區(qū)間;

(9)求函數(shù)g(x)=的單調(diào)增區(qū)間;

(10)函數(shù)f(x)=是由y=sinx通過怎樣的變換得到的;

(11)求不等式f(x)=的解集;

(12)當α=時,比較f(α)與f(β)的大小;

(13)若將f(x)的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膖倍(t ＞0)后在區(qū)間上遞增,求t的最小值;

(14)若對任意的x ∈都有f(x)≥m2-2m成立,求m的取值范圍;

(15)若對任意的x ∈R,存在x1,x2使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,求|x1-x2|的最小值;

(16)若方程f(x)-a=0 在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍并求此時兩根之和;

設(shè)計意圖 ①此一題多問,主要考察了三角函數(shù)振幅、周期、相位和初相的概念,對稱軸及對稱中心的求法,函數(shù)零點的求法,函數(shù)最值的求法,實數(shù)集及給定區(qū)間上單調(diào)區(qū)間的求法,復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,三角變換,三角不等式的解法,利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍及最值,函數(shù)恒成立問題,已知方程根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍及各個根的和.隨著高一學(xué)生知識儲備的增加,還可以繼續(xù)編輯下去……; ②注重數(shù)學(xué)思想的滲透; ③入口較易,逐題遞進,激起全體同學(xué)的興趣及求知欲; ④“以題帶面”有助于學(xué)生構(gòu)建知識的聯(lián)系,形成章節(jié)知識框架.

(二)一題多問復(fù)習(xí)策略的優(yōu)勢

1.全體學(xué)生均衡發(fā)展 題目設(shè)問入口較易,層層遞進.由于學(xué)生知識水平參差不齊,故課堂上老師特別注重提問不同層次的學(xué)生,有效的開發(fā)各層次學(xué)生的智能,力求使全體學(xué)生能在原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展.

如第(1)-(7)問可以提問基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生回答,第(8)-(16)問可以提問優(yōu)等生,這樣既給了基礎(chǔ)差的學(xué)生表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)了其自信心,同時又拓展了全體同學(xué)的數(shù)學(xué)思維,尤其顧及到了優(yōu)等生.

2.優(yōu)化課堂教學(xué)時間 初高中數(shù)學(xué)銜接難度跨度較大,再加上高一課時緊,任務(wù)重,故復(fù)習(xí)時間少之又少.課堂上采用“一題多問”復(fù)習(xí)方法,縮短了學(xué)生重新審新題的時間,教師可以與學(xué)生一起復(fù)習(xí)更多的知識點,快速構(gòu)建三角函數(shù)圖象與性質(zhì)本章節(jié)知識框架.

3.循序漸進,步步誘導(dǎo) 一題多問題目的設(shè)置遵從“由易到難”、“由簡到繁”,課堂上從基礎(chǔ)引入,步步誘導(dǎo),使學(xué)生越學(xué)越感興趣.幫助學(xué)生從這一類題中總結(jié)方法,發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律及技巧.

4.抓住知識主線,融會貫通 一題多問可以促使學(xué)生用一條主線貫穿整個章節(jié)內(nèi)容,便于構(gòu)建知識框架,如筆者上面展示的一題多問例題,以一個三角函數(shù)為主線,把三角函數(shù)的性質(zhì)、零點、不等式、方程等問題貫通起來,可以幫助學(xué)生很好的復(fù)習(xí)要點.

綜上所述,針對高一的學(xué)情,高一的三角函數(shù)教學(xué)任重道遠,如何有效促進學(xué)生更快的理解、記憶和運用知識,是一個很值得探討的問題.我將不斷的積累和完善,進一步的探索解決之道,為高中的數(shù)學(xué)教學(xué)工作貢獻自己的力量.