齊霄霏 ，楊麗華

（1.山西大學 數學科學學院，山西 太原 030006；2.運城學院 數學與信息技術學院，山西 運城 044000）

0 引言

在量子信息科學中，每個量子系統(tǒng)對應于一個復可分Hilbert空間H，H中的任意單位向量用表示。令B(H)表示H上所有有界算子構成的代數。稱ρ∈B(H)為量子態(tài)，若ρ是跡為1的正算子。記H上全體量子態(tài)構成的集合為S(H)。特別地，稱ρ∈B(H)為純態(tài)，若其是秩一投影，即具有形如的形式，這里是H上的任意單位向量，表示的對偶向量；否則，稱ρ為混合態(tài)。如果H=H1?H2?…?Hn是n個Hilbert空間的張量積，則稱S(H)為n體復合量子系統(tǒng)［1］。

量子關聯是量子力學區(qū)別于經典力學的主要特征，也是實現量子計算和量子通信的重要物理資源。作為一類重要的量子關聯，量子非局域性一直是量子信息理論的核心研究課題之一。量子非局域性的研究起源于貝爾（Bell）的開創(chuàng)性工作［2］，其研究表明，量子世界所允許的測量結果之間的強關聯性是不能夠通過我們所熟悉的時空機制來解釋的。量子非局域性的檢測可以通過Bell不等式來鑒別，違反Bell不等式即意味著非局域性的存在（例如，可參見文獻［3-7］及其參考文獻）。非局域性的研究在量子密碼學［8］、量子通信［9］等領域中有著非常廣泛的應用。

量子網絡是實現長距離、網絡式量子通信的基礎，它是通過量子節(jié)點來產生、處理和存儲量子信息，利用飛行比特作為量子信道來傳遞信息的全量子信息處理與傳輸的網絡系統(tǒng)，在量子計算、量子通信和量子測量中扮演重要角色。而量子網絡區(qū)別于經典網絡的主要特征之一就是量子節(jié)點之間具有非局域關聯。近十年來，量子網絡的非局域性研究受到越來越多研究學者的關注，成為熱點課題之一，具有非常重要的科學意義和應用前景。

對于量子網絡非局域性的研究，文獻［10］給出了稱作糾纏交換的實驗，該實驗說明其對應的量子網絡中兩個獨立糾纏比特態(tài)通過進行適當的聯合測量可以使非直接連接的系統(tǒng)之間產生非局域性。Branciard等人在文獻［11-12］中對［10］中簡單量子網絡的非局域性進行了系統(tǒng)研究，發(fā)現對分別由兩個獨立資源S1，S2產生的隱態(tài)進行聯合測量后可以產生關聯，稱為非雙局域性（bilocality），并給出了雙局域不等式。之后，對于不同類型量子網絡的非局域性研究也得以逐步展開。例如，文獻［13］證明了對于文獻［12］中的簡單鏈型網絡，所有糾纏純態(tài)均違背雙局域不等式，進而都是非雙局域的，同時也給出了混合態(tài)是非雙局域的條件；文獻［14-17］分別把簡單鏈型量子網絡的非局域性推廣到n-鏈型量子網絡與n-星型量子網絡，并得到了不同的Bell型局域不等式；Renou等人在文獻［18］中引入另一種類型的量子網絡，即三角形網絡，研究了該網絡的三局域性。對于其他類型量子網絡的非局域性研究，參見文獻［19-24］。關于量子網絡非局域性和傳統(tǒng)Bell非局域性的關系，可參見文獻［13，16］。

盡管關于量子網絡非局域性的研究已取得許多深刻的成果，但是許多常見類型的量子網絡，如樹型量子網絡等，還沒有文獻深入研究。樹型量子網絡被廣泛應用在量子通信和量子模擬中［25-26］，因此研究這種網絡的非局域性很有必要。本文將研究一類結構較簡單的樹型量子網絡，其有13個觀測者，共享12個兩體的物理資源。本文第1節(jié)將給出該類樹型量子網絡滿足的12局域不等式，第2節(jié)討論第1節(jié)中所得局域不等式的量子破壞，證明了所有的糾纏純態(tài)均破壞12局域不等式，從而是非12局域的。

本節(jié)最后給出量子測量的概念。假設H是有限維復Hilbert空間。對于A∈B(H)，A*表示A的共軛轉置算子。特別地，若A=A*，則稱A為自伴算子。自伴算子在量子信息中也被稱為可觀測量。量子測量由空間H上的一組測量算子{Mm}?B(H)描述，其滿足完備性條件。投影測量是一類特殊的量子測量，其由一個可觀測量M來描述。將M進行譜分解M=∑mPm，測量結果即為M的特征值m，測量狀態(tài)時，得到結果m的概率為，測量后系統(tǒng)的狀態(tài)為。

1 一類樹型網絡的12局域不等式

本節(jié)先給出本文研究的樹型量子網絡的結構（見圖1）。

圖1 樹型量子網絡，它包括12個資源和13個觀測者Fig.1 The tree-tensor network，which consists of 12 sources and 13 observers

該網絡由12個物理資源S1，…，S12和13個觀測者A，B1，B2，B3，C1，C2，…，C9構成。假設12個物理資源是相互獨立的，分別用隱變量λ1，…，λ12描述。此外，假設所有的觀測者都有兩個輸入與相應的兩個輸出，分別記為x，y1，y2，y3，z1，z2，…，z9(∈ {0，1})與a，b1，b2，b3，c1，c2，…，c9(∈ {0，1})。若對于13個觀測者的所有輸入和所有輸出，其所產生的聯合概率分布滿足下面的分解形式：

則稱該樹型量子網絡所產生的關聯是局域的。此外，若上述概率分布還滿足概率條件

其中pi是λi的概率分布(i=1，2，…，12)，則稱該網絡產生的關聯是12局域的；否則，則稱為非12局域的。

接下來討論圖1所示樹型量子網絡的12局域不等式。下面是本節(jié)的主要結果。

定理1圖1所示的樹型量子網絡若是12局域的，則其一定滿足下面的不等式：

注1由定理1可知，只要圖1所示樹型量子網絡所產生的關聯是12局域的，那么就一定滿足式（3）中的所有256個不等式。由此可知，只要違反了256個不等式中的至少一個不等式，即蘊涵該樹型網絡是非12局域的。此外，不等式（3）中的界是緊的。為此，考慮下面的方案：

這里，λi是兩個觀測者之間共享的隱變量，服從分布pi(λi=0)=1(i=1，2，…，12)；τj是觀測者Cj的局域隨機資源，服從分布pj(τj=0)=r，pj(τj=1)=1-r，r∈ [0，1](j=1，2，…，9)。對于該關聯，計算可得，對任意的i1，i2，i3，i4，j1，j2，j3，j4∈ {0，1}，均有Ii1，i2，i3，i4，0=r9且Ij1，j2，j3，j4，1=(1-r)9。進而得到對所有的i1，i2，i3，i4，j1，j2，j3，j4∈ {0，1}成立。

證明主要定理之前，需要一個引理。

對于其他各種組合(i1，…，i4，j1，…，j4)，類似可證得上面的不等式亦成立。

證畢。

2 12局域不等式的量子破壞

3 對于噪聲的魯棒性

4 結論

近十余年來，不同量子網絡的非局域性研究受到許多學者的關注。本文主要研究了包含13個觀測者和12個兩體物理資源的樹型量子網絡的非局域性，得到了該網絡的12局域不等式，并證明了所有的純糾纏態(tài)均違反該12局域不等式。這里，我們只考慮了純態(tài)的情形，對于混合態(tài)是否違反該12局域不等式，以及相應的結論能否推廣到更一般的樹型量子網絡，有待于進一步研究。