許海紅，韓小鋒，袁炳強(qiáng)，張春灌，王寶文，趙飛，段瑞鋒

(1.中國(guó)地質(zhì)調(diào)查局 西安地質(zhì)調(diào)查中心，陜西 西安 710054；2.北方古生界油氣地質(zhì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室中心，陜西 西安 710054；3.西安石油大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，陜西 西安 710065；4.陜西地礦物化探隊(duì)有限公司，陜西 西安 710043)

0 引言

地球物理場(chǎng)在空間上是連續(xù)分布的，由于數(shù)據(jù)采集技術(shù)和工區(qū)客觀條件的種種限制[1]，實(shí)際觀測(cè)結(jié)果往往是離散分布的[2]，但各種數(shù)據(jù)處理方法和繪圖軟件均要求資料為嚴(yán)格規(guī)則網(wǎng)格數(shù)據(jù)，因此必須把離散數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)格化[3-4]。網(wǎng)格化處理是從測(cè)點(diǎn)所提供的坐標(biāo)及其場(chǎng)值按某一數(shù)學(xué)模式，計(jì)算出網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的場(chǎng)值[5]。這一問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是要在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)即是“待求點(diǎn)”)附近選取一定數(shù)量的測(cè)點(diǎn)(測(cè)點(diǎn)即是“實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)”)進(jìn)行插值計(jì)算[5]，因而，插值方法和參數(shù)的選取會(huì)直接影響到網(wǎng)格化數(shù)據(jù)的質(zhì)量、精度和可信程度[6-7]。

近年來(lái)，隨著地面重磁勘探工作的廣泛應(yīng)用，多數(shù)大比例重磁面積測(cè)量使用規(guī)則測(cè)網(wǎng)采樣，且通常都是線距、點(diǎn)距相等或線距是點(diǎn)距的2倍。以1∶5萬(wàn)重力測(cè)量為例，線距和點(diǎn)距一般為500 m×250 m或500 m×500 m[8]。因此，研究規(guī)則分布重力數(shù)據(jù)的最優(yōu)插值參數(shù)具有實(shí)際意義。

前人通過(guò)理論模擬重力資料[9]和實(shí)測(cè)重力資料[10]對(duì)多種插值方法進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)插值間距的變化與影響進(jìn)行了討論，研究認(rèn)為徑向基函數(shù)法在規(guī)則分布重力數(shù)據(jù)網(wǎng)格化方面的插值精度最高，是最好的插值方法[9-10]。但是，在插值參數(shù)選擇方面，前人往往根據(jù)軟件默認(rèn)值或經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行設(shè)置[11-12]，對(duì)插值參數(shù)選定以及插值效果的定量對(duì)比分析較少，缺乏對(duì)數(shù)據(jù)插值的細(xì)化指導(dǎo)；而且，軟件默認(rèn)值或經(jīng)驗(yàn)值及其搜索方式并不能獲得最佳的結(jié)果[13]，對(duì)這些參數(shù)的選擇會(huì)進(jìn)一步影響插值精度[14-15]。

本文模擬1∶5萬(wàn)野外實(shí)測(cè)規(guī)則分布采樣點(diǎn)，以模型理論異常提取的重力數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用Surfer軟件的徑向基函數(shù)法進(jìn)行插值參數(shù)優(yōu)選；依據(jù)檢查點(diǎn)法獲取的殘差統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)對(duì)比結(jié)果，優(yōu)選出精度較高的插值參數(shù)。通過(guò)定量比較克服了軟件選擇參數(shù)的隨機(jī)性和人為選取的不確定性，在探討各種參數(shù)變化引起插值結(jié)果精度變化的基礎(chǔ)上，提出插值精度較優(yōu)的參數(shù)組合。本文研究結(jié)果可為規(guī)則分布重力數(shù)據(jù)的插值工作提供定量依據(jù)和參考借鑒。

1 插值參數(shù)與精度評(píng)價(jià)

1.1 主要插值參數(shù)

插值參數(shù)是構(gòu)成插值算法的基本元素[16]，包括搜索規(guī)則和插值核函數(shù)(或稱基函數(shù))。Surfer軟件中徑向基函數(shù)插值法使用5種核函數(shù)[16-17]，分別是：反多重二次曲面函數(shù)(inverse multiquadric function，IMQF)、多重對(duì)數(shù)函數(shù)(multilog function，MLF)、多重二次曲面函數(shù)(multiquadric function，MQF)、自然三次樣條函數(shù)(natural cubic spline function，NCSF)、薄板樣條函數(shù)(thin plate spline function，TPSF)，其他主要涉及的參數(shù)還有：插值間距、插值范圍、R2參數(shù)(平滑因子)、搜索鄰域的形狀，搜索半徑、搜索角度、搜索扇區(qū)、搜索點(diǎn)數(shù)等。

1.2 插值精度評(píng)價(jià)

數(shù)據(jù)插值效果是否符合實(shí)際，需要采用一定的方法評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)插值方法的合理性和有效性。本文采用檢查點(diǎn)法進(jìn)行插值效果對(duì)比，采用Surfer軟件中的殘差功能，以標(biāo)準(zhǔn)偏差(standard deviation, SD)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)定量分析插值精度并優(yōu)選插值參數(shù)，見(jiàn)式(1)。

(1)

式中：Gi為第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(即測(cè)點(diǎn))的實(shí)測(cè)重力值；gi為第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(即測(cè)點(diǎn))插值后的重力值；i：1,2,3，…，n；n為數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

2 數(shù)據(jù)來(lái)源與插值準(zhǔn)備

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及說(shuō)明

本次采用RGIS軟件設(shè)計(jì)了由8個(gè)異常體組成的地質(zhì)模型(表1，圖1，模型范圍17 km×17 km)，以該模型的正演重力異常為基礎(chǔ)，在異常區(qū)內(nèi)，根據(jù) 1∶5萬(wàn)野外工作點(diǎn)線布設(shè)原則，模擬部署了點(diǎn)距250 m和線距500 m的工作區(qū)(工區(qū)范圍12 km×12 km)，設(shè)計(jì)測(cè)線方向?yàn)?28°(總體測(cè)線方向與異常走向垂直)，部署測(cè)線25條，每條測(cè)線49個(gè)測(cè)點(diǎn)，合計(jì)測(cè)點(diǎn)1225個(gè)(圖1)。采用這1 225個(gè)測(cè)點(diǎn)為模擬“實(shí)測(cè)點(diǎn)”，從理論異常中提取出各個(gè)“實(shí)測(cè)點(diǎn)”的重力值作為“實(shí)測(cè)值”，以此“實(shí)測(cè)值”為基礎(chǔ)進(jìn)行插值，待插值完成后，使用這1 225個(gè)“實(shí)測(cè)點(diǎn)”作為檢查點(diǎn)進(jìn)行殘差分析，統(tǒng)計(jì)殘差結(jié)果獲得的標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差值定量比較不同參數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)果的插值精度。

圖1 地質(zhì)模型(a)及其理論重力異常(b)

表1 理論模型參數(shù)

2.2 插值間距與插值范圍

插值間距(或稱網(wǎng)格間距)是網(wǎng)格化時(shí)重要的參數(shù)[18]，它關(guān)系到所派生數(shù)據(jù)的密度，并影響等值線模型的精度，若網(wǎng)格過(guò)大，會(huì)丟失一些特征信息，也可能造成等值線扭曲，但是，過(guò)細(xì)的網(wǎng)格會(huì)產(chǎn)生更多冗余的“游離”數(shù)據(jù)，可能導(dǎo)致網(wǎng)格化時(shí)出現(xiàn)“虛假”的現(xiàn)象，實(shí)際中，當(dāng)網(wǎng)格達(dá)到一定的間隔后，無(wú)論再怎樣增加網(wǎng)格數(shù)，等值線圖的輪廓幾乎不再發(fā)生任何變化[18]。根據(jù)已有研究成果[10]，本次插值間距選擇0.2 km×0.2 km。

插值范圍(或稱網(wǎng)格范圍)是指網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的最大最小坐標(biāo)范圍，也就是等值線的分布范圍[18]。一般在插值時(shí)默認(rèn)的插值范圍是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布范圍(本次“實(shí)測(cè)點(diǎn)”橫向和縱向坐標(biāo)范圍均為0.232 2～16.767 8 km)，而實(shí)際插值時(shí)往往會(huì)選擇比實(shí)測(cè)點(diǎn)分布范圍更大的網(wǎng)格范圍，本次為了便于研究，將插值范圍統(tǒng)一設(shè)定為0～17 km，由于“實(shí)測(cè)點(diǎn)”數(shù)據(jù)測(cè)線有一定角度，插值采用方域進(jìn)行，成圖后再利用工區(qū)邊界“裁剪”外部區(qū)域獲得“實(shí)測(cè)點(diǎn)”工區(qū)的插值結(jié)果[11,19]。

3 插值核函數(shù)與R2參數(shù)

3.1 五種核函數(shù)對(duì)比

分別采用徑向基函數(shù)所屬的5種核函數(shù)(IMQF、MLF、MQF、NCSF、TPSF)為變量進(jìn)行插值，其余插值參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為系統(tǒng)默認(rèn)值，其中，R2參數(shù)為0.018；各向異性中：比率為1，角度為0°；搜索的扇區(qū)數(shù)為4，從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為64，從每個(gè)扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為16，所有扇區(qū)的最小數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(更少則白化節(jié)點(diǎn))為8，如果空白扇區(qū)多于3個(gè)則白化節(jié)點(diǎn)；搜索橢圓中，半徑R1為11.7，半徑R2為11.7，角度為0°。插值結(jié)束后采用殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)來(lái)分析不同核函數(shù)的插值效果。

根據(jù)檢查點(diǎn)法殘差指標(biāo)統(tǒng)計(jì)結(jié)果可見(jiàn)(圖2)，自然三次樣條函數(shù)、薄板樣條函數(shù)、多重二次曲面函數(shù)這3種核函數(shù)的插值精度均較高，而多重對(duì)數(shù)函數(shù)插值精度相對(duì)較低，反多重二次曲面函數(shù)的插值精度最低。因此，對(duì)5種核函數(shù)插值精度的評(píng)級(jí)順序?yàn)椋鹤匀蝗螛訔l函數(shù)>薄板樣條函數(shù)>多重二次曲面函數(shù)>多重對(duì)數(shù)函數(shù)>反多重二次曲面函數(shù)。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差結(jié)果的定量對(duì)比，認(rèn)為自然三次樣條函數(shù)插值精度最高，因而本次優(yōu)選的核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)。

圖2 五種核函數(shù)殘差結(jié)果與曲線

3.2 R2參數(shù)對(duì)比

R2參數(shù)是一個(gè)平滑因子，也是影響插值精度的一個(gè)重要因素[15,17,20]，為了比較R2參數(shù)變化引起的插值效果變化情況，本次參考系統(tǒng)默認(rèn)值(0.018)將R2參數(shù)設(shè)置為0、0.1、0.2等38個(gè)變量進(jìn)行分析，插值過(guò)程中，插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，其余插值參數(shù)設(shè)置為系統(tǒng)默認(rèn)值(與3.1系統(tǒng)默認(rèn)值相同)，殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2、圖3。

由殘差指標(biāo)統(tǒng)計(jì)結(jié)果可見(jiàn)(表2、圖3)，隨著R2參數(shù)的逐漸增大，標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)值整體是逐漸增大的，根據(jù)R2參數(shù)對(duì)應(yīng)指標(biāo)的變化情況可進(jìn)一步分為4個(gè)區(qū)間比較：① 第一區(qū)間，當(dāng)R2介于0～1之間時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值先減小后增大，且指標(biāo)值及其變化范圍均較??；② 第二區(qū)間，當(dāng)R2介于1～10之間時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值也是先減小后增大，但該區(qū)域指標(biāo)值總體變大且變化范圍明顯增大；③ 第三區(qū)間，當(dāng)R2介于10～100之間時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值整體比第二區(qū)間增大了2倍多，且隨著R2的增加指標(biāo)值逐漸增大；④ 第四區(qū)間，當(dāng)R2介于100～1 000之間時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)整體抬高且逐漸增大，該區(qū)指標(biāo)值比第三區(qū)間增大了3倍多。

表2 R2參數(shù)殘差結(jié)果

圖3 R2參數(shù)(平滑因子)殘差曲線

由R2參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差值的結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)R2參數(shù)較大時(shí)(10

根據(jù)白世彪等[17]的研究，R2參數(shù)的一個(gè)合理試驗(yàn)值是在平均樣本間隔和平均樣本間隔的一半之間，本次數(shù)據(jù)相鄰樣本(實(shí)測(cè)點(diǎn))間隔為0.25 km或0.5 km(圖1)，平均樣本間隔約為0.375 km，據(jù)此，R2參數(shù)在0.1875～0.375之間(位于本次討論的第一區(qū)間)較為合適。綜合考量R2參數(shù)的選取原則，結(jié)合本次試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)的變化情況，研究認(rèn)為R2參數(shù)不能太大也不宜太小，當(dāng)R2位于第一區(qū)間時(shí)插值結(jié)果較穩(wěn)定，根據(jù)定量對(duì)比結(jié)果，本次插值選擇R2參數(shù)為0.1。

4 搜索鄰域及搜索點(diǎn)數(shù)

在利用已知點(diǎn)對(duì)一個(gè)未知點(diǎn)的預(yù)測(cè)值進(jìn)行插值計(jì)算的過(guò)程中，需要指定一個(gè)搜索鄰域來(lái)限制參與計(jì)算的已知點(diǎn)的數(shù)量和結(jié)構(gòu)。對(duì)同一個(gè)未知點(diǎn)來(lái)說(shuō)，隨著搜索鄰域的形狀或方向不同，搜索區(qū)域內(nèi)包含的參與計(jì)算的已知點(diǎn)的數(shù)量和位置也會(huì)不同[17]。為了討論鄰域形狀及相關(guān)參數(shù)對(duì)插值結(jié)果的影響情況，本次設(shè)置搜索鄰域的形狀為圓形和橢圓形分別進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上對(duì)搜索半徑，搜索扇區(qū)的個(gè)數(shù)，搜索角度，從所有扇區(qū)使用的最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)等參數(shù)進(jìn)行插值討論并優(yōu)選。

4.1 搜索鄰域?yàn)閳A形

4.1.1 圓形鄰域的搜索半徑

通過(guò)設(shè)置搜索半徑R1和R2的大小來(lái)調(diào)整搜索鄰域的形狀，搜索半徑不能太大也不能太小[11]，當(dāng)搜索鄰域?yàn)閳A形時(shí)，設(shè)置搜索半徑R1=R2，本次參考系統(tǒng)默認(rèn)值(11.7 km)，分別取搜索半徑為6、8、10、14、16 km這5種大小進(jìn)行對(duì)比，插值過(guò)程中，插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，R2參數(shù)為0.1，其余插值參數(shù)設(shè)置為系統(tǒng)默認(rèn)值(與3.1系統(tǒng)默認(rèn)值相同)。

由殘差指標(biāo)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表3可見(jiàn)，當(dāng)搜索半徑R1=R2且介于6～16 km之間時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)偏差值未發(fā)生變化，可見(jiàn)搜索半徑選擇6～16 km之間均可，根據(jù)王玉敏等的研究可知，在搜索規(guī)則不變的條件下，任意改變搜索半徑的大小，對(duì)數(shù)值點(diǎn)區(qū)域的等值線不產(chǎn)生影響[11]，本次考慮到搜索半徑不能太小，因而初步設(shè)置搜索半徑為6 km進(jìn)行插值參數(shù)優(yōu)選。

表3 圓形鄰域搜索半徑殘差結(jié)果

4.1.2 圓形鄰域的搜索扇區(qū)與搜索角度

搜索扇區(qū)也稱搜索分區(qū)(或稱搜索方向)，當(dāng)搜索半徑不變時(shí)，搜索扇區(qū)及搜索角度會(huì)影響到插值精度，參考白世彪等[17]、杜紅悅等[14]、張錦明等[15-16]、王玉敏等[11]等的研究，本次設(shè)置搜索扇區(qū)數(shù)為1個(gè)、4個(gè)、8個(gè)等3種情況進(jìn)行比較，其余搜索參數(shù)設(shè)置的對(duì)應(yīng)情況見(jiàn)表4。

由表4可見(jiàn)，搜索扇區(qū)設(shè)置主要涉及5個(gè)參數(shù)(圖4a中紅色線框內(nèi))：第①個(gè)參數(shù)為搜索扇區(qū)個(gè)數(shù)，即指將搜索區(qū)域劃分為幾個(gè)扇區(qū)；此處以4個(gè)扇區(qū)為例(圖4a中藍(lán)色線框內(nèi))對(duì)表4中相關(guān)參數(shù)進(jìn)行說(shuō)明，同時(shí)，設(shè)置搜索鄰域?yàn)閳A形(Radius1=Radius2)，搜索半徑R1=R2=3 km，搜索角度(Angle)為0°。第②個(gè)參數(shù)為從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即指在所有扇區(qū)內(nèi)參與插值的最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。第③個(gè)參數(shù)為從每個(gè)扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即指在每個(gè)扇區(qū)內(nèi)參與插值的最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。第④個(gè)參數(shù)為所有扇區(qū)的最小數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(更少則白化節(jié)點(diǎn))，由圖4(b)可見(jiàn)，對(duì)于第10行第12列的網(wǎng)格化點(diǎn)而言，在所有搜索扇區(qū)內(nèi)共有9個(gè)測(cè)點(diǎn)(大于8個(gè))，因此該網(wǎng)格化點(diǎn)插值后可以得到一個(gè)網(wǎng)格值，但是對(duì)于第9行第73列的網(wǎng)格化點(diǎn)而言，在所有搜索扇區(qū)內(nèi)共有4個(gè)測(cè)點(diǎn)(小于8個(gè))，因此該網(wǎng)格化點(diǎn)被白化，插值后沒(méi)有網(wǎng)格值(意指更少則白化節(jié)點(diǎn))。第⑤個(gè)參數(shù)為如果空白扇區(qū)多于此數(shù)則白化節(jié)點(diǎn)，由圖4(b)可見(jiàn)，對(duì)于第75行第79列的網(wǎng)格化點(diǎn)而言，所有扇區(qū)內(nèi)沒(méi)有測(cè)點(diǎn)，4個(gè)扇區(qū)均為空白扇區(qū)(空白扇區(qū)大于3個(gè))，此時(shí)該網(wǎng)格化點(diǎn)被白化，插值后沒(méi)有網(wǎng)格值。

表4 搜索扇區(qū)及對(duì)應(yīng)搜索點(diǎn)數(shù)

圖4 搜索界面選項(xiàng)(a)與搜索點(diǎn)分布圖示(b)

為了同時(shí)比較搜索角度(本文設(shè)置搜索角度Angle為搜索半徑R2與Y軸的夾角)對(duì)插值精度的影響，本次設(shè)置搜索角度為0°、32°(搜索半徑R2平行測(cè)線)、45°、90°、122°(搜索半徑R2垂直測(cè)線)，135°這6個(gè)方向(圖5)。

圖5 不同搜索角度圖示

插值過(guò)程中，插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，R2參數(shù)為0.1，搜索半徑R1=R2=6 km。根據(jù)白世彪等的研究認(rèn)為設(shè)置搜索橢圓主半軸與次半軸的比和角度與各向異性比和角度相一致時(shí)，可得到較滿意的結(jié)果[17]，因而本次設(shè)置各向異性比率=搜索半徑R1與R2之比=6/6=1，各向異性角度=搜索角度，殘差統(tǒng)計(jì)對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表5、圖6。

由表5、圖6可見(jiàn)，采用不同搜索扇區(qū)插值時(shí)，獲得的插值精度有所不同：搜索扇區(qū)為1個(gè)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值無(wú)變化；搜索扇區(qū)為4個(gè)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值變化較大，與搜索扇區(qū)為1個(gè)時(shí)的殘差結(jié)果相比插值精度有高有低；搜索扇區(qū)為8個(gè)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值變化較小，且總體比搜索扇區(qū)為1個(gè)時(shí)的殘差結(jié)果大。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，不同搜索扇區(qū)中，搜索角度的變化對(duì)插值結(jié)果也有不同的影響：當(dāng)搜索扇區(qū)為1個(gè)時(shí)，插值精度不會(huì)隨著搜索角度的變化而變化；當(dāng)搜索扇區(qū)為4個(gè)時(shí)，不同搜索角度的插值結(jié)果精度大小為：32°=122°>45°=135°>0°=90°；當(dāng)搜索扇區(qū)為8個(gè)時(shí)，不同搜索角度的插值結(jié)果精度大小為：32°=122°>0°=45°=90°=135°。

表5 圓形鄰域不同搜索扇區(qū)對(duì)應(yīng)殘差結(jié)果

圖6 圓形鄰域不同搜索扇區(qū)殘差曲線

綜合考慮搜索扇區(qū)與搜索角度對(duì)插值結(jié)果的影響可見(jiàn)，搜索扇區(qū)為4個(gè)時(shí)，搜索半徑R2與測(cè)線平行(或垂直)時(shí)，殘差分析獲得的標(biāo)準(zhǔn)偏差值最小、插值精度最高，因此，搜索扇區(qū)選為4個(gè)，搜索角度選為搜索半徑R2與測(cè)線平行(或垂直)時(shí)的角度插值效果最好。

4.1.3 圓形鄰域時(shí)從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

對(duì)同一個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(即“待求點(diǎn)”)而言，在插值過(guò)程中，當(dāng)搜索半徑、搜索扇區(qū)、搜索角度不變時(shí)，搜索鄰域內(nèi)參與插值的測(cè)點(diǎn)(即“實(shí)測(cè)點(diǎn)”)數(shù)量對(duì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的待求值也有一定的影響，本次設(shè)置了7組參數(shù)進(jìn)行對(duì)比(表6)。插值過(guò)程中，插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，R2參數(shù)為0.1；搜索扇區(qū)個(gè)數(shù)為4個(gè)，搜索半徑R1=R2=6 km，搜索角度為32°(或122°，即搜索半徑R2與測(cè)線平行或垂直時(shí)的角度)，各向異性比率為1，各向異性角度為32°(或122°與搜索角度相同)，其他參數(shù)見(jiàn)表6，插值結(jié)果見(jiàn)圖7。

表6 圓形鄰域扇區(qū)為4個(gè)時(shí)最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

由圖7可見(jiàn)，隨著從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不斷增大，其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)值先增大再變小后又變大；作圖發(fā)現(xiàn)當(dāng)最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為16時(shí)，實(shí)測(cè)點(diǎn)的4個(gè)角點(diǎn)附近插值結(jié)果為空白區(qū)，因此最大個(gè)數(shù)為16時(shí)不能滿足插值需求。由圖7可見(jiàn)，最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)≤32個(gè)點(diǎn)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值偏大，最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)≥80個(gè)點(diǎn)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值相對(duì)較小，當(dāng)最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)介于48～64之間時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值最小；由此可見(jiàn)，搜索的最大數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)較少時(shí)插值誤差大，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)增多后插值誤差相對(duì)減小，但數(shù)據(jù)點(diǎn)并非越多越好，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)，本次選擇從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為64個(gè)，能夠獲得較高的插值精度。

圖7 圓形鄰域扇區(qū)為4個(gè)時(shí)最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)殘差結(jié)果與曲線

4.2 搜索鄰域?yàn)闄E圓形

4.2.1 橢圓形鄰域的搜索半徑與扇區(qū)和角度

當(dāng)搜索鄰域的形狀為橢圓形時(shí)，綜合考慮搜索半徑、搜索扇區(qū)和搜索角度的影響，同時(shí)設(shè)置相關(guān)參數(shù)進(jìn)行對(duì)比。參考圓形鄰域搜索半徑試驗(yàn)情況，設(shè)置橢圓形鄰域的搜索半徑R1和R2為4類組合進(jìn)行插值比較，其中，A類：R1=6，R2=12；B類：R1=6，R2=9；C類：R1=9，R2=6；D類：R1=12，R2=6。設(shè)置搜索扇區(qū)分別為1個(gè)、4個(gè)、8個(gè)，各扇區(qū)對(duì)應(yīng)的搜索點(diǎn)數(shù)設(shè)置與表4中參數(shù)相同。設(shè)置搜索角度為0°、32°、45°、90°、122°、135°這6個(gè)方向，其余參數(shù)設(shè)置：插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，R2參數(shù)為0.1，各向異性比率=搜索半徑R1與R2之比，各向異性角度=搜索角度，插值殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表7～表9。

表7 橢圓形鄰域扇區(qū)為1個(gè)時(shí)不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的殘差結(jié)果

表8 橢圓形鄰域扇區(qū)為4個(gè)時(shí)不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的殘差結(jié)果

表9 橢圓形鄰域扇區(qū)為8個(gè)時(shí)不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的殘差結(jié)果

由表7、表8、表9的殘差指標(biāo)值和圖8、圖9、圖10的曲線對(duì)比可見(jiàn)，搜索半徑R1/R2=0.5和R1/R2=2時(shí)，不同搜索角度插值獲得的標(biāo)準(zhǔn)偏差值變化范圍均較大，而搜索半徑R1/R2=0.667和R1/R2=1.5時(shí)，不同搜索角度插值獲得的標(biāo)準(zhǔn)偏差值變化范圍均較小。

圖8 橢圓形鄰域扇區(qū)為1個(gè)時(shí)殘差曲線

圖9 橢圓形鄰域扇區(qū)為4個(gè)時(shí)殘差指標(biāo)曲線

圖10 橢圓形鄰域扇區(qū)為8個(gè)時(shí)殘差指標(biāo)曲線

當(dāng)搜索扇區(qū)固定時(shí)，不同搜索半徑對(duì)應(yīng)的插值結(jié)果變化趨勢(shì)較為相似：① 當(dāng)搜索半徑R1/R2=6/12時(shí)，較大的搜索角度(90°～135°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值相對(duì)較小，而較小的搜索角度(0°～45°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值相對(duì)較大；② 當(dāng)搜索半徑R1/R2=12/6時(shí)，較小的搜索角度(0°～45°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值相對(duì)較小，而較大的搜索角度(90°～135°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值相對(duì)較大；③ 當(dāng)搜索半徑R1/R2=6/9時(shí)，較大的搜索角度(90°～135°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值相對(duì)集中，而較小的搜索角度(0°～45°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值同時(shí)出現(xiàn)了最小和最大值；④ 當(dāng)搜索半徑R1/R2=9/6時(shí)，較小的搜索角度(0°～45°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值相對(duì)集中，而較大的搜索角度(90°～135°)插值得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差值同時(shí)出現(xiàn)了最小和最大值。

由表7與表5對(duì)比可見(jiàn)，當(dāng)搜索扇區(qū)為1個(gè)時(shí)，搜索半徑不等的情況下任何一組參數(shù)插值后的標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)均大于搜索半徑相等時(shí)的插值結(jié)果。由表8與表9對(duì)比可見(jiàn)，搜索扇區(qū)為4個(gè)或8個(gè)時(shí)，搜索半徑與搜索角度變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的插值結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)偏差值變化特征相似，其中，標(biāo)準(zhǔn)偏差的最小值均出現(xiàn)在搜索半徑R1/R2=6/9且搜索角度為32°時(shí)，且均比圓形鄰域(表5)中對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差值更小。對(duì)比表7、表8和表9的各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)偏差值變化情況，綜合分析認(rèn)為，橢圓形鄰域時(shí)，選擇搜索扇區(qū)為4個(gè)，搜索半徑R1/R2=6/9，搜索角度為32°時(shí)，插值結(jié)果對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差值更小，插值精度更高。

4.2.2 橢圓形鄰域時(shí)從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

參考圓形鄰域時(shí)搜索點(diǎn)數(shù)設(shè)置情況(表6)，在橢圓形鄰域?qū)λ阉鼽c(diǎn)數(shù)的對(duì)比中也同樣設(shè)置7組參數(shù)進(jìn)行分析，插值過(guò)程中，插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，R2參數(shù)為0.1；搜索扇區(qū)為4個(gè)，搜索半徑R1=6、R2=9，搜索角度為32°，各向異性比率為 0.667，各向異性角度為32°，插值結(jié)果殘差見(jiàn)圖11。

由殘差結(jié)果(圖11)可見(jiàn)，隨著最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的不斷增大，橢圓形鄰域標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)變化趨勢(shì)與圓形鄰域時(shí)最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)殘差結(jié)果的變化趨勢(shì)相似；而且最大點(diǎn)數(shù)為16時(shí)實(shí)測(cè)點(diǎn)最外側(cè)工區(qū)的4個(gè)拐點(diǎn)附近插值結(jié)果也為空白區(qū)，不能滿足插值需求。根據(jù)圖11的對(duì)比結(jié)果，當(dāng)最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為80時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)偏差值最小，因此選擇從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為80個(gè)，插值精度最高。

圖11 橢圓形鄰域扇區(qū)為4個(gè)時(shí)最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)殘差指標(biāo)結(jié)果與曲線

5 搜索半徑的優(yōu)化

根據(jù)不同形狀搜索鄰域初步設(shè)置的搜索半徑為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)搜索扇區(qū)、搜索角度、搜索點(diǎn)數(shù)的比較，優(yōu)選了各個(gè)插值參數(shù)相應(yīng)的最佳取值范圍；反之，當(dāng)這些搜索參數(shù)均有明確的定量化取值與條件限制時(shí)，搜索半徑的大小能否更加優(yōu)化進(jìn)一步提高插值效率？下面針對(duì)搜索半徑相等與不等兩種情況進(jìn)行討論。

5.1 搜索半徑R1與R2相等

當(dāng)搜索鄰域?yàn)閳A形時(shí)，搜索半徑R1與R2相等，設(shè)置搜索半徑R1=R2并分別為1、2、3、4、5 km等5種情況進(jìn)行對(duì)比，插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，R2參數(shù)為0.1，其他參數(shù)依據(jù)圓形鄰域比較的最優(yōu)指標(biāo)設(shè)置為：搜索扇區(qū)個(gè)數(shù)為4個(gè)，搜索角度為32°，各向異性比率為1，各向異性角度為32°，從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為64，從每個(gè)扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為16，所有扇區(qū)的最小數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(更少則白化節(jié)點(diǎn))為8，如果空白扇區(qū)多于3個(gè)則白化節(jié)點(diǎn)。

由殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果(圖12)可見(jiàn)，隨著搜索半徑的增加，殘差指標(biāo)值先減小后增大，當(dāng)半徑為3 km時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差取得最小值。根據(jù)相鄰相似的原則，隨著實(shí)測(cè)點(diǎn)與預(yù)測(cè)點(diǎn)之間距離的增加，實(shí)測(cè)點(diǎn)的值與預(yù)測(cè)點(diǎn)的值之間的相關(guān)性也隨之降低[17]，在一定距離之外，實(shí)測(cè)點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的影響很小。對(duì)同一個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，當(dāng)搜索半徑超過(guò)某個(gè)距離范圍后，隨著搜索半徑的增大，插值精度基本不變。

圖12 搜索半徑R1與R2相等時(shí)殘差結(jié)果與曲線

另外，對(duì)于周圍“實(shí)測(cè)點(diǎn)”數(shù)量較少的邊界點(diǎn)而言，以邊界測(cè)線的拐角“預(yù)測(cè)點(diǎn)”(網(wǎng)格化節(jié)點(diǎn))為例(見(jiàn)圖1中藍(lán)色線框)，當(dāng)搜索半徑變化時(shí)，其半徑內(nèi)包含的“在所有扇區(qū)的最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)”也隨之變化(圖13)，搜索半徑為1 km時(shí)最大數(shù)據(jù)約8個(gè)、搜索半徑為2 km時(shí)最大數(shù)據(jù)約29個(gè)、搜索半徑為 3 km時(shí)最大數(shù)據(jù)約63個(gè)、搜索半徑為4 km時(shí)最大數(shù)據(jù)約109個(gè)(遠(yuǎn)大于4.1.3中優(yōu)選的64個(gè)點(diǎn))。由此可見(jiàn)，搜索半徑小于3 km時(shí)其搜索范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)太少，不能滿足插值需求；當(dāng)搜索半徑大于3 km時(shí)，搜索數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)能夠滿足插值需求，但是由于距離較大，一定距離范圍之外實(shí)測(cè)點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的影響比較小，對(duì)插值結(jié)果的貢獻(xiàn)不大。綜合對(duì)比認(rèn)為，當(dāng)搜索半徑R1與R2相等時(shí)，搜索半徑設(shè)置為3 km即能夠得到較高的插值精度、獲得較好的插值結(jié)果。

圖13 搜索半徑R1與R2相等時(shí)插值點(diǎn)分布圖示(網(wǎng)格化節(jié)點(diǎn)范圍見(jiàn)圖1藍(lán)色線框)

5.2 搜索半徑R1與R2不等

當(dāng)搜索鄰域?yàn)闄E圓形時(shí)，搜索半徑R1與R2不等，根據(jù)橢圓形鄰域不同半徑對(duì)比結(jié)果，當(dāng)搜索半徑R1/R2=6/9=0.667，且搜索扇區(qū)為4個(gè)，搜索角度為32°，獲得的插值精度更高。因此，分別設(shè)置搜索半徑R1=1 km、R2=1.5 km，R1=2 km、R2=3 km，R1=3 km、R2=4.5 km，R1=4 km、R2=6 km，R1=5 km、R2=7.5 km，R1=6 km、R2=9 km等6組情況進(jìn)行比較，插值核函數(shù)為自然三次樣條函數(shù)，R2參數(shù)為0.1，其他參數(shù)依據(jù)橢圓形鄰域研究的最優(yōu)指標(biāo)設(shè)置為：搜索扇區(qū)個(gè)數(shù)為4個(gè)，搜索角度為32°，各向異性比率為0.667，各向異性角度為32°，從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為80，從每個(gè)扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為20，所有扇區(qū)的最小數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(更少則白化節(jié)點(diǎn))為8，如果空白扇區(qū)多于3個(gè)則白化節(jié)點(diǎn)。

由殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果(圖14)可見(jiàn)，隨著搜索半徑的增加，殘差指標(biāo)值先減小后增大，這與半徑R1、R2相等時(shí)的特征相似，即：對(duì)同一個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，在一定距離之外，實(shí)測(cè)點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的影響很小，隨著搜索半徑的增大，插值精度基本不變。

圖14 搜索半徑R1與R2不等時(shí)殘差結(jié)果與曲線

同樣，當(dāng)搜索半徑變化時(shí)，其半徑內(nèi)包含的“在所有扇區(qū)的最大數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)”也隨之變化，以邊界測(cè)線的拐角預(yù)測(cè)點(diǎn)為例(見(jiàn)圖1中藍(lán)色線框)，搜索半徑R1/R2為1/1.5時(shí)最大數(shù)據(jù)約12個(gè)(圖15)、搜索半徑R1/R2為2/3時(shí)最大數(shù)據(jù)約43個(gè)、搜索半徑R1/R2為3/4.5時(shí)最大數(shù)據(jù)約93個(gè)(大于4.2.2中優(yōu)選的80個(gè)點(diǎn))。對(duì)比圖14殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)搜索半徑R1/R2為1/1.5或2/3時(shí)，個(gè)別邊界測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大搜索點(diǎn)個(gè)數(shù)較少(遠(yuǎn)小于80個(gè))，因此其插值結(jié)果精度較低，當(dāng)搜索半徑R1/R2為4/6或5/7.5和6/9時(shí)，搜索點(diǎn)數(shù)均能夠滿足插值需求，插值精度較高且較穩(wěn)定，綜合對(duì)比而言，當(dāng)搜索半徑R1/R2為3/4.5時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差值最小，插值精度最高，因而選擇搜索半徑R1/R2為3/4.5進(jìn)行插值可獲得較優(yōu)的插值結(jié)果。

圖15 搜索半徑R1與R2不等時(shí)插值點(diǎn)分布圖示(網(wǎng)格化節(jié)點(diǎn)范圍見(jiàn)圖1藍(lán)色線框)

由搜索半徑R1與R2兩種情況優(yōu)選對(duì)比結(jié)果可見(jiàn)，當(dāng)R1與R2不等時(shí)(圖14)其殘差分析的標(biāo)準(zhǔn)偏差比R1與R2相等時(shí)(圖12)標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)值小，這說(shuō)明橢圓形的搜索鄰域比圓形的搜索鄰域插值精度高，插值結(jié)果更接近實(shí)測(cè)值。參考前人研究可知，重力場(chǎng)實(shí)際上是一各向異性場(chǎng)[21]，雖然實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是均勻采樣的，但是實(shí)測(cè)已知點(diǎn)對(duì)數(shù)據(jù)的權(quán)重存在方向性的影響，因而，設(shè)置橢圓形搜索鄰域(考慮了各向異性)比圓形搜索鄰域(沒(méi)有考慮各向異性)更符合實(shí)際。

6 結(jié)論

本文采用理論模型的正演重力異常，模擬部署1∶5萬(wàn)野外實(shí)測(cè)點(diǎn)并進(jìn)行插值參數(shù)優(yōu)選，采用檢查點(diǎn)法根據(jù)殘差分析的標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)大小定量比較插值精度，綜合分析插值效果選定了最優(yōu)插值參數(shù)，研究結(jié)果對(duì)于選取插值參數(shù)的大小和范圍具有定量化的參考和指導(dǎo)意義，通過(guò)本次研究取得以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

1)重力異常插值參數(shù)會(huì)影響插值結(jié)果的精度，搜索鄰域的形狀不同時(shí)，其插值參數(shù)變化對(duì)于提高插值精度的影響程度有所不同，與默認(rèn)參數(shù)的插值結(jié)果(圖2)相比而言，圓形鄰域優(yōu)選結(jié)果(圖12)對(duì)應(yīng)的插值精度最大可提高570.55%，最小可提高 3.81%；橢圓形鄰域優(yōu)選結(jié)果(圖14)對(duì)應(yīng)的插值精度最大可提高590.92%，最小可提高6.96%。

2)5種核函數(shù)插值精度高低排序?yàn)椋鹤匀蝗螛訔l函數(shù)>薄板樣條函數(shù)>多重二次曲面函數(shù)>多重對(duì)數(shù)函數(shù)>反多重二次曲面函數(shù)，其中自然三次樣條函數(shù)的插值精度最高。

3)R2(平滑因子)參數(shù)對(duì)應(yīng)的4個(gè)區(qū)間插值精度大小為：第一區(qū)間>第二區(qū)間>第三區(qū)間>第四區(qū)間，其中第一區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)偏差指標(biāo)變化較小、插值精度更趨穩(wěn)定，本次優(yōu)選R2參數(shù)為0.1。

4)搜索鄰域?yàn)閳A形時(shí)，最優(yōu)插值參數(shù)分別為：搜索半徑R1=R2=3 km，搜索扇區(qū)為4個(gè)，搜索角度為32°(或122°，即搜索半徑R2與測(cè)線平行或垂直時(shí)的角度)，各向異性比率為1(等于搜索半徑R1與R2之比)，各向異性角度為32°(或122°與搜索角度一致)，從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為64個(gè)，從每個(gè)扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為16個(gè)，所有扇區(qū)的最小數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(更少則白化節(jié)點(diǎn))為8個(gè)，如果空白扇區(qū)多于3個(gè)則白化節(jié)點(diǎn)。

5)搜索鄰域?yàn)闄E圓形時(shí)，最優(yōu)插值參數(shù)分別為：搜索半徑R1=3 km、R2=4.5 km，搜索扇區(qū)為4個(gè)，搜索角度為32°(即搜索半徑R2與測(cè)線平行時(shí)的角度)，各向異性比率為0.667(等于搜索半徑R1與R2之比)，各向異性角度為32°(與搜索角度一致)，從所有扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為80個(gè)，從每個(gè)扇區(qū)使用的最大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為20個(gè)，所有扇區(qū)的最小數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(更少則白化節(jié)點(diǎn))為8個(gè)，如果空白扇區(qū)多于3個(gè)則白化節(jié)點(diǎn)。

6)重力異常為各向異性異常，建議選用橢圓形鄰域進(jìn)行插值，且主半軸R1小于次半軸R2；在插值過(guò)程中應(yīng)考慮特定方向上的權(quán)重值，主半軸R1垂直測(cè)線，次半軸R2與測(cè)線平行。