周賽龍 儲(chǔ)炳南

(安徽省合肥市第四中學(xué) 230000)

1 問(wèn)題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》附錄2——教學(xué)與評(píng)價(jià)案例25“覆蓋問(wèn)題”中就有這樣一個(gè)問(wèn)題：“以平面幾何為知識(shí)載體，證明周長(zhǎng)一定的四邊形中正方形所圍成的面積最大”.該案例旨在通過(guò)此問(wèn)題就“如何培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”作指導(dǎo)說(shuō)明，但是，對(duì)于該問(wèn)題的證明，課程標(biāo)準(zhǔn)中卻僅僅提供了簡(jiǎn)要的證明路徑(如圖1)，并未用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评碚撟C.在教學(xué)過(guò)程中，筆者將其作為一次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)課的內(nèi)容，在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)，以問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)向?qū)W生提出漸進(jìn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)系列問(wèn)題的解決，使學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Φ玫搅擞行嵘?。以下，是筆者的教學(xué)過(guò)程實(shí)錄，供同行們參考。

圖1

2 問(wèn)題的探究

思路1如圖1所示，以四邊形的邊作為問(wèn)題的切入點(diǎn)，采用列舉、篩選的方法考察各種邊長(zhǎng)形式的四邊形，逐一排除面積較小的四邊形，構(gòu)建一個(gè)遞進(jìn)式的證明路徑.

探究過(guò)程首先，為了證明S凹四邊形

問(wèn)題1如圖2所示，已知凹四邊形ABCD,連接BD，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接DC′、BC′，此時(shí)，凹四邊形ABCD與凸四邊形ABC′D的周長(zhǎng)與面積各有怎樣的大小關(guān)系？

圖2

結(jié)合對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，學(xué)生很快得到結(jié)論：凹四邊形ABCD與凸四邊形ABC′D的周長(zhǎng)相等，此時(shí)，顯然有S凹四邊形ABCD

接著，為了證明S凸四邊形

問(wèn)題2如圖3所示，已知凸四邊形ABCD周長(zhǎng)為定值l,記AB、BC、CD、DA長(zhǎng)度分別為a、b、c、d，連接對(duì)角線(xiàn)BD,BD=e.若a+d=m(m為定值)，問(wèn)：當(dāng)四邊形ABCD各邊滿(mǎn)足什么條件時(shí)，S四邊形ABCD最大？

圖3

學(xué)生1：結(jié)合海倫公式以及均值不等式，很快給出了如下代數(shù)證明：

因?yàn)?/p>

S△ABD

當(dāng)且僅當(dāng)“a=d”時(shí)，“=”成立，

因?yàn)閍+d=m為定值，所以b+c=l-m也為定值.故同理可得：

當(dāng)且僅當(dāng)“b=c”時(shí)，

所以(S四邊形ABCD)max=(S△ABD)max+(S△BCD)max=

此時(shí)，“a=d”，“b=c”，四邊形ABCD為箏形.

在學(xué)生1完成此證明后，老師又問(wèn)學(xué)生：有沒(méi)有其他不同的證明方法呢？

學(xué)生2：同學(xué)1代數(shù)法證明此問(wèn)題的主要數(shù)學(xué)工具是基本不等式，而基本不等式可以構(gòu)造平面圖形進(jìn)行幾何解釋?zhuān)裕槍?duì)此問(wèn)題我們也可以考慮從平面幾何的角度進(jìn)行證明，具體如下：

在△ABD中，a+d=m為定值，且m>e，故點(diǎn)A在以點(diǎn)B、D為焦點(diǎn)的半橢圓上運(yùn)動(dòng)，同理,b+c=l-m也為定值，故點(diǎn)C也在以點(diǎn)B、D為焦點(diǎn)的半橢圓上運(yùn)動(dòng)，如圖4所示.作對(duì)角線(xiàn)BD的中垂線(xiàn)分別交兩橢圓于A1、C1,由圖4易知，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)A1重合時(shí)，△ABD的高最大,故S△ABD最大，此時(shí)AB=AD.同理，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C1重合時(shí),S△BCD最大，此時(shí)CB=CD.綜上可知：AB=AD，CB=CD時(shí)，S四邊形ABCD最大，四邊形ABCD為箏形.

圖4

學(xué)生1在熟悉的問(wèn)題情景中，能夠有邏輯地去思考問(wèn)題，通過(guò)觀察條件和結(jié)論之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，并利用基本不等式進(jìn)行有條理地論證，體現(xiàn)了學(xué)生扎實(shí)的邏輯思維能力；學(xué)生2能夠在綜合的問(wèn)題情景中，把握事物的關(guān)聯(lián)，創(chuàng)造性地給出利用幾何方法解決問(wèn)題的方案，是學(xué)生高水平邏輯思維素養(yǎng)的重要體現(xiàn).這種幾何構(gòu)造法是對(duì)代數(shù)法證明的解釋和補(bǔ)充，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的雙重論證，問(wèn)題2得到近乎“完美”地解決.

為了證明S箏形

問(wèn)題3如圖5所示，已知凸四邊形ABCD周長(zhǎng)為定值l,記AB、BC、CD、DA長(zhǎng)度分別為a、b、c、d，對(duì)角線(xiàn)AC=e.若a=d,b=c，問(wèn)：當(dāng)四邊形ABCD各邊滿(mǎn)足什么條件時(shí)，S四邊形ABCD最大？

受到問(wèn)題2中平面幾何知識(shí)證明思路的啟發(fā)，學(xué)生很快就類(lèi)比得到如下證明方法：

如圖5所示，作對(duì)角線(xiàn)AC的中垂線(xiàn)分別交兩橢圓于B1、D1，

圖5

因?yàn)閍=d,b=c，且四邊形ABCD周長(zhǎng)為定值l，

所以點(diǎn)B、D均在以點(diǎn)A、C為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，如圖5所示.

與問(wèn)題2的幾何證明類(lèi)似，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)D1重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B1重合時(shí),S四邊形ABCD最大,此時(shí)，AB=AD=CB=CD，四邊形ABCD為菱形.

最后，為了證明S菱形

問(wèn)題4如圖5所示，在問(wèn)題3的基礎(chǔ)上，當(dāng)菱形AB1CD1周長(zhǎng)為定值l時(shí)，菱形AB1CD1滿(mǎn)足什么條件時(shí)面積最大呢？

學(xué)生很容易就得到了：

至此，活動(dòng)的任務(wù)“證明周長(zhǎng)一定的四邊形中正方形所圍成的面積最大”得到了完全解決，但筆者仍覺(jué)得此次教學(xué)活動(dòng)并不完美.

一方面，雖然問(wèn)題解決的視角十分簡(jiǎn)潔、巧妙，但解決方式卻過(guò)于單一化，除問(wèn)題2外，主要依靠平面幾何方法進(jìn)行推證.因此，為進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生代數(shù)推理方面的邏輯思維能力，老師又向?qū)W生提出了問(wèn)題5.

問(wèn)題5問(wèn)題3是我們類(lèi)比問(wèn)題2中學(xué)生2的平面幾何方法證明的，同樣地，同學(xué)們能否類(lèi)比問(wèn)題2中學(xué)生1的代數(shù)方法，對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行重新證明呢？

在教師的啟發(fā)下，通過(guò)類(lèi)比探究，學(xué)生3利用柯西不等式，找到了一種既清晰又簡(jiǎn)潔的代數(shù)證明方法，具體如下：

學(xué)生3從代數(shù)角度的證明不僅是對(duì)問(wèn)題3、4幾何法證明的補(bǔ)充和完善，還簡(jiǎn)化了問(wèn)題證明的路徑，由“箏形”直接到“正方形”，直達(dá)結(jié)論.至此，每個(gè)問(wèn)題環(huán)節(jié)都從代數(shù)與幾何兩個(gè)方面進(jìn)行了雙重論證，學(xué)生的代數(shù)推理、幾何論證、類(lèi)比推理等邏輯思維能力均得以訓(xùn)練，整個(gè)問(wèn)題也得到了系統(tǒng)全面的解決.

在整個(gè)問(wèn)題的證明過(guò)程中，學(xué)生證明方法的獲得，是在教師預(yù)設(shè)的遞進(jìn)式問(wèn)題中依次進(jìn)行的，這種漸進(jìn)式問(wèn)題的設(shè)置，就是告訴學(xué)生，將一個(gè)“復(fù)雜的問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為若干個(gè)“簡(jiǎn)單問(wèn)題”是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的一種慣用的邏輯推理方式.

為了進(jìn)一步發(fā)揮本次研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)效果，將教學(xué)課堂延伸到課外，在活動(dòng)結(jié)束前，教師又給學(xué)生布置了一個(gè)課后探究性學(xué)習(xí)任務(wù)：“對(duì)于上述問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們探究一下，還有其它的證明方法嗎？”驚喜的是，眾里尋他千百度，驀然回首，那人就在“青出于藍(lán)”處.經(jīng)過(guò)課后探究，學(xué)生4提供了一個(gè)新的證明思路如下.

3 問(wèn)題的再探究

思路2我們常說(shuō)，周長(zhǎng)相等的平面圖形中，圓的面積最大.在任意的四邊形中，直觀上我們感覺(jué)圓內(nèi)接四邊形是與圓最接近的，故做大膽猜測(cè)，可按照“任意四邊形→圓內(nèi)接四邊形→正方形”的路徑進(jìn)行問(wèn)題證明.具體證明過(guò)程如下：

問(wèn)題6如圖6所示，已知四邊形ABCD周長(zhǎng)為定值l,面積為S,記AB、BC、CD、DA長(zhǎng)度分別為a、b、c、d,BD=e、∠BAD=α、∠BCD=β.

圖6

問(wèn)：當(dāng)四邊形ABCD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，S四邊形ABCD最大？

得4S=2adsinα+2bcsinβ; ①

a2+d2-b2-c2=2adcosα-2bccosβ； ②

①2+②2得16S2+(a2+d2-b2-c2)2

=(2adsinα+2bcsinβ)2+(2adcosα-2bccosβ)2

=4a2d2(sin2α+cos2α)+4b2c2(sin2β+cos2β)-8abcdcos(α+β)

=4a2d2+4b2c2-8abcdcos(α+β),

所以當(dāng)α+β=π時(shí)，

[16S2+(a2+d2-b2-c2)2]max

=4a2d2+4b2c2+8abcd，

此時(shí)，整理得

S=[(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)]1/2/4.

因?yàn)棣?β=π，所以此時(shí)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形.又因?yàn)?/p>

[(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)]1/2/4

當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=c=d”時(shí)“=”成立.

學(xué)生4能夠在綜合的問(wèn)題情境中，與關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比推理，正確地構(gòu)造了過(guò)渡性命題，創(chuàng)造性地構(gòu)造證明路徑，利用代數(shù)推理的方法合理地解決了問(wèn)題，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)了論證過(guò)程，體現(xiàn)了學(xué)生4高水平的邏輯推理素養(yǎng)，同時(shí)，也側(cè)面反映了本次以“覆蓋問(wèn)題”為載體，以提升學(xué)生邏輯推理學(xué)科素養(yǎng)為主要目的的研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)開(kāi)展成功.最終，本次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)以“無(wú)憾”結(jié)束.

4 問(wèn)題的反思總結(jié)

邏輯推理是高中數(shù)學(xué)六大學(xué)科素養(yǎng)之一，它是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，更是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)[2].然而，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的過(guò)程中，僅僅將教學(xué)單一地停留在如何解題層面是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有讓邏輯推理在教師教學(xué)過(guò)程中落地，才能讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中開(kāi)花. 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，發(fā)現(xiàn)并提出新問(wèn)題要比解決一個(gè)問(wèn)題更有價(jià)值；問(wèn)題意識(shí)是設(shè)法解決問(wèn)題的內(nèi)在驅(qū)力，有計(jì)劃、有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生積極回答問(wèn)題、培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)要比硬“灌”給學(xué)生各式各樣的解題的方法更有意義；問(wèn)題的探究是學(xué)生有機(jī)地串聯(lián)知識(shí)，不斷地深化思考，強(qiáng)化邏輯的過(guò)程，所以，探索和表述問(wèn)題的論證思路也要比問(wèn)題本身的結(jié)果更加重要.因此，在探究問(wèn)題的過(guò)程中，教師在注重結(jié)果導(dǎo)向的同時(shí)，更要把握好過(guò)程意識(shí)，只有密切關(guān)注到探究過(guò)程中學(xué)生思維的產(chǎn)生、發(fā)展、構(gòu)建與表達(dá)，積極引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸納、類(lèi)比與演繹，及時(shí)抓住學(xué)生思考過(guò)程中思維的創(chuàng)新點(diǎn)，才能達(dá)到訓(xùn)練邏輯思維、提升核心素養(yǎng)，把握問(wèn)題本質(zhì)、最終創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的教學(xué)目的.

在研究性教學(xué)活動(dòng)中，基于問(wèn)題導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)大概有三個(gè)層次，低層次是訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，中層次是提高學(xué)生的思維能力，高層次是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3]. 因此，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維素養(yǎng)的教學(xué)絕不是一蹴而就的，而是一個(gè)由低到高的循序漸進(jìn)過(guò)程. 另外，為了達(dá)到高層次的教學(xué)水平，教師千萬(wàn)不要怕學(xué)生犯錯(cuò)，大膽地放手讓學(xué)生去做，把教學(xué)過(guò)程中最精彩、最出彩、最有價(jià)值的部分留給學(xué)生去探索、去思考、去創(chuàng)造，在潛移默化中達(dá)到對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的效果.相信學(xué)生，歷經(jīng)“山重水復(fù)”方能“無(wú)疑路”，看遍“柳暗花明”終將“又一村”.