郭天魁 王云鵬 陳 銘 胡 毅 吳飛鵬 劉曉強(qiáng) 曹金豪

1. 中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院 2. 北京易聯(lián)結(jié)科技發(fā)展有限公司

0 引言

我國華北東部、華南、西南，以及鄂爾多斯盆地廣泛分布碎軟煤層，煤層氣資源豐富[1-4]。該類煤層物性差，孔隙度和滲透率低[5]，開發(fā)難度大[6-9]，需進(jìn)行壓裂才可實現(xiàn)開發(fā)。由于煤層強(qiáng)度低、易破碎的特點，在煤層內(nèi)鉆孔、壓裂，導(dǎo)致鉆井液污染煤層，井壁坍塌，不利于后續(xù)壓裂改造。頂板壓裂煤層[10]為軟煤層煤層氣開發(fā)提供了新思路。該技術(shù)在煤層頂板進(jìn)行壓裂，通過裂縫的垂向穿層擴(kuò)展實現(xiàn)對煤層的壓裂改造。借鑒頁巖氣大規(guī)模壓裂改造思路，煤層頂板壓裂也開展了水平井分段多簇壓裂理論研究和應(yīng)用[11-12]。研究煤層頂板水平井壓裂裂縫擴(kuò)展規(guī)律及工藝適應(yīng)性條件，是當(dāng)前頂板壓裂亟需解決的理論和工程問題。

目前國內(nèi)外已開展了煤層頂板壓裂或穿層壓裂的相關(guān)理論及現(xiàn)場試驗研究。相關(guān)研究集中在壓裂施工參數(shù)以及射孔參數(shù)對裂縫穿層的影響[13-14]、煤層頂板水平井開發(fā)技術(shù)優(yōu)化[15-16]、煤層或煤層頂板起裂壓力研究[17-18]、煤層不同頂板巖石的性質(zhì)相關(guān)研究[19]、煤巖力學(xué)參數(shù)對支撐劑嵌入的影響[20-21]等方面。然而，目前適合頂板水平井壓裂的有利地質(zhì)條件研究國內(nèi)外還鮮有報道，準(zhǔn)確設(shè)計水平井離煤層頂面距離、簇間距等缺乏理論依據(jù)。

針對上述問題，在平面三維多裂縫擴(kuò)展模型[22]基礎(chǔ)上，同時考慮層間垂向斷裂韌性與濾失非均質(zhì)性，建立了煤層頂板水平井分段多簇壓裂裂縫擴(kuò)展數(shù)學(xué)模型?；谠撃Ｐ停粤芽p進(jìn)入煤層的面積及其與總裂縫面積比值評價不同地質(zhì)條件對裂縫穿層擴(kuò)展的影響，從而得到適合煤層頂板壓裂的地應(yīng)力組合剖面、煤層巖石斷裂韌性、濾失系數(shù)等地質(zhì)參數(shù)，并確定合理的水平井距煤層頂面距離。該研究成果為我國煤層氣規(guī)模效益開發(fā)提供了新路徑。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 水平井壓裂多裂縫擴(kuò)展模型

1.1.1 巖石變形模型

采用三維位移不連續(xù)模型計算巖石變形。平面裂縫的剪切位移不連續(xù)量為零，因此，縫內(nèi)壓力與裂縫寬度的關(guān)系為：

格林函數(shù)（C）的具體形式為：

1.1.2 縫內(nèi)流動模型

縫內(nèi)流體流動本構(gòu)方程為：

式（3）的分量形式為：

流體在縫內(nèi)流動的連續(xù)性方程為：

式（3）代入式（5）得到：

1.1.3 井筒內(nèi)液體流動方程

對于多簇壓裂問題，注入的壓裂液經(jīng)過井筒、射孔進(jìn)入各簇裂縫。各簇進(jìn)液量受“井筒—射孔—裂縫”系統(tǒng)控制。各簇裂縫入口壓力滿足：

射孔孔眼摩阻計算公式為：

井筒內(nèi)沿程流動摩阻采用Churchill全流態(tài)公式[23]計算。同時各簇分流量滿足質(zhì)量守恒，即

1.1.4 初邊值條件

每條裂縫的入口流量滿足：

當(dāng)裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子滿足某一層巖石斷裂韌性時，裂縫將發(fā)生擴(kuò)展，即

尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子計算公式[24]為：

1.2 模型求解

采用固定網(wǎng)格計算裂縫擴(kuò)展，固定網(wǎng)格為矩形單元結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。單元標(biāo)號為（i,j,k），對應(yīng)位置為（xi,yj,zk）。單元類型包含4種：通道單元、尖端單元、待激活單元和未激活單元，如圖1所示。每次需判斷尖端單元是否達(dá)到擴(kuò)展條件，從而更新網(wǎng)格的單元類型。單元中心點為未知量（寬度和壓力）求解點，單元邊界為流量求解位置。

圖1 網(wǎng)格示意圖

將所有開啟單元和尖端單元依次標(biāo)號為I，當(dāng)前時刻單元數(shù)量為Ne，I= 1, 2, …,Ne。采用常單元位移不連續(xù)方法離散方程，得到：

CIJ可根據(jù)式（2）推導(dǎo)而來。式（13）矩陣形式為：

采用有限體積方法建立流動方程[式（6）]的離散形式，得到：

為計算井筒流量分配，根據(jù)井筒條件，

式（16）具體分量為：

采用Newton—Raphson法求解式（16），并與縫內(nèi)流固耦合方程式（14）和式（15）迭代計算各簇流量。流固耦合方程為剛性方程，一般隱式方法需要大量迭代，不利于高效求解，模型計算采用2階精度的Runge—Kutta—Legendre方法加速求解[25]。目前模型準(zhǔn)確性已通過penny裂縫解析解[26-27]、澳大利亞聯(lián)邦科學(xué)研究院壓裂物理模擬實驗[28]結(jié)果進(jìn)行了全面驗證[22,25]。模型采用MATLAB進(jìn)行編程求解，計算完全向量化，效率高。

2 數(shù)值模擬結(jié)果

為獲取不同地質(zhì)參數(shù)對有效裂縫面積及有效面積比例的影響特征，以淮南潘一東煤礦PX2-1井為例[29]，對不同地應(yīng)力組合剖面、水平井離煤層頂面距離、煤層斷裂韌性和濾失系數(shù)下的壓裂效果進(jìn)行分析，裂縫穿層幾何模型如圖2所示。

圖2 裂縫穿層擴(kuò)展模型圖

基本參數(shù)為：地層從上至下依次為“上覆層—頂板層—煤層”，頂板層厚度為20 m，各層巖石彈性模量均為E=10.0 GPa，泊松比為v=0.2，垂向斷裂韌性為KIcv=0.5 MPa·m0.5，濾失系數(shù)為Cl=1.0×10－4m/min0.5，施工排量為Q=10.0 m3/min，施工液體黏度為μ=10.0 mPa·s，注入時間為t=10 min，射孔孔眼直徑為12.0 mm，射孔磨蝕系數(shù)0.8，單簇射孔數(shù)16，簇間距15 m，設(shè)置網(wǎng)格大小Δx×Δy=2 m×2 m。四種地應(yīng)力組合剖面與射孔示意圖如圖3所示，從上至下依次為“上覆層—頂板層—煤層”。圖3中水平井與煤層頂面的距離（d）介于2～10 m，以單段3簇壓裂為例分析不同地質(zhì)條件對壓裂效果的影響，以評價適合進(jìn)行頂板穿層壓裂的地質(zhì)條件。

圖3 地應(yīng)力組合剖面示意圖

2.1 地應(yīng)力組合剖面

首先分析不同地應(yīng)力組合剖面對裂縫穿層擴(kuò)展效果的影響。為直觀的對比不同地質(zhì)參數(shù)下裂縫溝通煤層的效果，采用煤層內(nèi)的裂縫面積作為有效面積（Ac），煤層內(nèi)裂縫面積占比作為有效面積比例（RA），固定其他參數(shù)不變，分別研究“上覆層—頂板層—煤層”4種（圖3）不同地應(yīng)力組合剖面下的穿層壓裂效果。RA的計算式為：

2.1.1 “高—低—高”地應(yīng)力組合剖面

圖3-a類型為“上覆層—頂板層—煤層”（13 MPa—12 MPa—13 MPa）地應(yīng)力組合剖面下分析水平段離煤層頂面距離d對壓裂效果的影響。

在該地應(yīng)力組合剖面下，水平井離煤層頂面不同距離的壓裂裂縫形態(tài)差異較小（如圖4），水力裂縫大部分位于頂板層內(nèi)，煤層內(nèi)裂縫占比相對較小。相對于上覆層與煤層，頂板層地應(yīng)力較小，裂縫在頂板內(nèi)擴(kuò)展阻力最小，當(dāng)裂縫擴(kuò)展至頂板與煤層界面時，由于向煤層擴(kuò)展需要克服較大阻力，因此裂縫易于在頂板層內(nèi)擴(kuò)展，溝通煤層的能力較弱。

此外，由于縫間應(yīng)力干擾作用[30]，導(dǎo)致中間縫的縫長相對于兩側(cè)縫較小，誘導(dǎo)應(yīng)力大于層間應(yīng)力差時，裂縫開始垂向擴(kuò)展，導(dǎo)致縫高相對較大，產(chǎn)生裂縫不均勻擴(kuò)展現(xiàn)象。

圖5表明，水平段距煤層頂面的距離越小，煤層內(nèi)裂縫面積越大，但是增加程度微?。?%～2%）。水平井距離煤層頂面10 m與2 m對應(yīng)有效面積比例均處于36 %～38%，有效面積均處于1.40×104～1.54×104m2，減小距離(d)對壓裂效果有略微的提升。

圖5 “高—低—高”地應(yīng)力組合剖面壓裂效果圖

2.1.2 “低—高—低”地應(yīng)力組合剖面

圖3-b類型為“上覆層—頂板層—煤層”（11 MPa—12 MPa—11 MPa）地應(yīng)力組合剖面下分析水平段離煤層頂面距離(d)對壓裂效果的影響。

圖6顯示在該地應(yīng)力組合剖面下，水平井離煤層頂面不同距離對應(yīng)的壓裂裂縫形態(tài)差異較大。由于頂板處于高應(yīng)力層，裂縫在頂板內(nèi)的擴(kuò)展受到阻力最大，而在煤層擴(kuò)展受到阻力最小，因此，裂縫一旦穿透頂板與煤層界面，將進(jìn)入地應(yīng)力較小的煤層內(nèi)擴(kuò)展。

圖6 “低—高—低”地應(yīng)力組合剖面裂縫擴(kuò)展形態(tài)圖

圖7表明，水平井離煤層頂面距離越小，裂縫越容易穿透頂板層向煤層擴(kuò)展。隨著距離(d)從10 m減小至2 m，有效面積比例從40%提升至68%，有效面積從2×104m2提升至3.8×104m2，壓裂效果有顯著提升。

圖7 “低—高—低”地應(yīng)力組合剖面壓裂效果圖

假定有效面積比例大于60%即認(rèn)為該地應(yīng)力組合剖面適合進(jìn)行頂板壓裂施工，則在該地應(yīng)力組合剖面（11 MPa—12 MPa—11 MPa）下，水平井段距離煤層頂面2～4 m較為適宜，當(dāng)水平井段距離煤層頂面超過4 m，導(dǎo)致裂縫溝通煤層的效果變差，有效裂縫面積比例小于60%。

2.1.3 “低—中—高”地應(yīng)力組合剖面

圖3-c類型為“上覆層—頂板層—煤層”（11 MPa—12 MPa—13 MPa）地應(yīng)力組合剖面下分析水平段離煤層頂面距離對壓裂效果的影響。

圖8表明在該地應(yīng)力組合剖面下，水平井離煤層頂面不同距離時的壓裂裂縫形態(tài)差異微小。相對于頂板層，煤層處于高地應(yīng)力層，裂縫在煤層擴(kuò)展受到的阻力較大，不易在煤層擴(kuò)展，溝通煤層效果較差。

圖8 “低—中—高”地應(yīng)力組合剖面裂縫擴(kuò)展形態(tài)圖

圖9表明，水平井離煤層頂面距離從10 m減小至2 m，裂縫總是向地應(yīng)力較小的頂板層、上覆層擴(kuò)展，難以在煤層擴(kuò)展。有效面積比例從3%增加到8%，有效面積從1 000 m2提升至3 000 m2，相對于d=10 m情況下，d=2 m對應(yīng)的有效面積增大了近2倍，但與其他地應(yīng)力組合剖面（如11 MPa—12 MPa—11 MPa）對應(yīng)的有效面積（3×104m2）及其比例（60%）相比，存在近10倍的差距。因此，在該地應(yīng)力組合剖面下裂縫溝通煤層的能力不強(qiáng)，該地應(yīng)力組合剖面不適合進(jìn)行頂板水平井壓裂。

圖9 “低—中—高”地應(yīng)力組合剖面壓裂效果圖

2.1.4 “高—中—低”地應(yīng)力組合剖面

圖3-d類型為“上覆層—頂板層—煤層”（13 MPa—12 MPa—11 MPa）地應(yīng)力組合剖面下分析水平段離煤層頂面距離對壓裂效果的影響。

圖10表明在該地應(yīng)力組合剖面下，水平井離煤層頂面不同距離的壓裂裂縫形態(tài)差異不大。圖11指出由于地應(yīng)力組合剖面類型的原因，使得裂縫在該地應(yīng)力組合剖面下更趨向煤層擴(kuò)展，地應(yīng)力組合剖面是影響壓裂效果的主要因素，因此隨著水平井離煤層頂面距離變小，有效面積及其比例并沒有明顯增加，但是其有效面積比例均大于90%，有效面積均大于4×104m2，裂縫溝通煤層的效果較為理想，該地應(yīng)力組合剖面最適合進(jìn)行煤層頂板壓裂。

圖10 “高—中—低”地應(yīng)力組合剖面裂縫擴(kuò)展形態(tài)圖

圖11 “高—中—低”地應(yīng)力組合剖面壓裂效果圖

2.2 煤層斷裂韌性分析

煤層斷裂韌性是水力壓裂改造的重要力學(xué)約束，研究煤層斷裂力學(xué)性質(zhì)對儲層壓裂造縫效率的影響機(jī)制，對壓裂工藝優(yōu)化、造縫效果改善具有現(xiàn)實意義[31-33]。

參數(shù)設(shè)置：地層剖面為“上覆層—頂板層—煤層”，實際上煤層地應(yīng)力相對較低，因此設(shè)置地應(yīng)力組合剖面為12 MPa—12 MPa—11.5 MPa，水平井距離煤層頂面d=4 m，巖石彈性模量為E=10.0 GPa，泊松比為v=0.2，煤層巖石垂向斷裂韌性為KIcv=0.5～2 MPa·m0.5，其余各層巖石垂向斷裂韌性均為KIcv=0.5 MPa·m0.5，綜合濾失系數(shù)為Cl=1×10－4m/min0.5。

在以上基礎(chǔ)參數(shù)下對煤層不同垂向斷裂韌性（KIcv=0.5 MPa·m0.5、1 MPa·m0.5、1.5 MPa·m0.5、2 MPa·m0.5）開展壓裂效果數(shù)值模擬分析。煤層不同垂向斷裂韌性對應(yīng)的裂縫形態(tài)有明顯差異，但裂縫大部分集中在煤層，如圖12所示。

圖12 煤層不同垂向斷裂韌性裂縫擴(kuò)展形態(tài)圖

煤層垂向斷裂韌性越大，穿層壓裂效果越不理想（圖13）。不同垂向斷裂韌性對應(yīng)有效面積比例均在60%以上，且垂向斷裂韌性越小，有效面積比例越大，如KIcv=0.5 MPa·m0.5條件下比KIcv=2 MPa·m0.5對應(yīng)的有效面積比例大12%，有效面積大0.7×104m2。隨著煤層垂向斷裂韌性非均質(zhì)性的增強(qiáng)，有效裂縫面積和有效裂縫面積比例逐漸下降，且非均質(zhì)性越強(qiáng)，有效面積下降速度越快。

圖13 煤層不同垂向斷裂韌性壓裂效果圖

根據(jù)斷裂力學(xué)理論，當(dāng)裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到煤層巖石斷裂韌性時，裂縫才能繼續(xù)擴(kuò)展。因此，煤層巖石垂向斷裂韌性越大，裂縫越難以在煤層擴(kuò)展，裂縫溝通煤層的效果相對變差。

此外，研究結(jié)果顯示煤層巖石垂向斷裂韌性為頂板層巖石斷裂韌性的4倍時，由斷裂韌性產(chǎn)生的阻力仍不能阻止裂縫向煤層大面積擴(kuò)展，表明地應(yīng)力組合剖面對壓裂效果的影響程度大于斷裂韌性，與裂縫穿層的已有理論研究結(jié)論一致[34-36]。

2.3 濾失系數(shù)

濾失系數(shù)是表征壓裂液濾失進(jìn)入地層能力的參數(shù)。濾失系數(shù)越大，壓裂液濾失速度越快，液體效率越低。

參數(shù)設(shè)置：水平井距離煤層頂面距離為d=4 m，上覆層、頂板層濾失系數(shù)為Cl=1×10－4m/min0.5，“上覆層—頂板層—煤層”對應(yīng)的地應(yīng)力組合剖面為12 MPa—12 MPa—11.5 MPa，固定其他基本參數(shù)不變，對煤層濾失系數(shù)為Cl=2×10－4m/min0.5、4×10－4m/min0.5、6×10－4m/min0.5、8×10－4m/min0.5進(jìn)行數(shù)值模擬并分析比較結(jié)果。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，裂縫形態(tài)隨著濾失系數(shù)的變化有較為明顯差異（圖14）。濾失系數(shù)Cl從2×10－4m/min0.5增大到8×10－4m/min0.5，有效面積比例下降了約25%，有效面積降低了1.6×104m2。由于煤層濾失系數(shù)增大，煤層的壓裂液濾失速度快，有效造縫液體體積減小，導(dǎo)致煤層裂縫面積及其比例降低。綜合來看，有效面積及其比例隨著煤層濾失系數(shù)的增大而減小。

圖14 煤層不同濾失系數(shù)的裂縫擴(kuò)展形態(tài)

煤層的濾失系數(shù)為頂板層濾失系數(shù)的8倍時，有效面積比例仍達(dá)到40%，表明壓裂效果主要受地應(yīng)力組合剖面影響，濾失系數(shù)為次要影響因素。

圖15 煤層不同濾失系數(shù)壓裂效果圖

3 結(jié)論

1）研究揭示，煤層為相對低地應(yīng)力時，壓裂裂縫溝通煤層的效果好，壓裂效果較為理想；煤層為相對高地應(yīng)力時，壓裂效果較差。

2）水平井與煤層頂面距離對穿層壓裂效果有重要影響，特別是在“低—高—低”地應(yīng)力組合剖面下。為了在實際應(yīng)用中獲得理想的壓裂效果，水平井與煤層頂面距離建議在4 m以內(nèi)。

3）地應(yīng)力組合剖面為壓裂效果的關(guān)鍵控制因素，煤層斷裂韌性、濾失系數(shù)為次要控制因素。

符 號 說 明

pf表示流體壓力，Pa；σh表示遠(yuǎn)場最小水平主應(yīng)力，Pa；C表示格林函數(shù)；t表示時間，s；A（t） 表示t時刻已開啟裂縫的面積，m2；A表示已開啟裂縫的面積，m2；w表示裂縫寬度，m ；（x',y',z'） 表示源點，（x,y,z） 表示場點；E表示楊氏模量，Pa；v表示泊松比，無因次；q表示單位長度體積流量矢量，m2/s；μ表示流體黏度，Pa·s；qx表示x方向的單位長度體積流量，m2/s；qy表示y方向的單位長度體積流量，m2/s；Cl表示濾失系數(shù)，m/min0.5；Qk表示第k裂縫的入口流量，m3/s；δ表示狄拉克函數(shù)，m－2；t0表示開始濾失的時刻，s；nf表示裂縫數(shù)量；（xin,k,yin,k,zin,k）表示k裂縫的進(jìn)液點位置；pw表示井底壓力，Pa；pt,k表示k裂縫的井筒流動摩阻，Pa；pp,k表示k裂縫對應(yīng)的射孔摩阻，Pa；pin,k表示第k裂縫的入口壓力，Pa；ρ表示壓裂液密度，kg/m3；nk表示第k射孔簇射孔孔數(shù)；dk表示第k射孔簇射孔孔徑，m；Kk表示第k射孔簇射孔磨蝕系數(shù)；QT表示總注入排量，m3/s；KIc表示巖石Ⅰ型斷裂韌性，MPa·m0.5；KIcv表示巖石Ⅰ型垂向斷裂韌性，MPa·m0.5；Ktip表示裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，Pa·m0.5；dx、dy表示單元x、y方向的尺寸，m；wtip表示裂縫尖端單元寬度，m；Ne表示單元數(shù)量，采用大寫I和J單元數(shù)量標(biāo)號區(qū)分整體編號（i,j,k）；wJ表示第J單元的裂縫寬度，m；pI表示第I單元的壓力，Pa；p表示裂縫壓力矩陣，Pa；w表示裂縫寬度矩陣，m；CIJ表示I單元對J單元的影響系數(shù)，Pa/m；σh表示遠(yuǎn)場最小水平主應(yīng)力矩陣，Pa；Δt表示時間步長，s；Δw表示相鄰時間步縫寬變化量，m；RA表示擴(kuò)展入煤層的裂縫面積占比（有效面積比例），無量綱；Ac表示煤層內(nèi)裂縫面積（有效面積），m2；At表示壓裂裂縫總面積，m2；d表示水平井與煤層頂面的距離，m；Z表示地應(yīng)力剖面的垂向坐標(biāo)，m。