程云飛，王淑影，張亞男

(長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130012)

0 引 言

糖尿病是一種常見的內(nèi)分泌代謝性疾病，國際糖尿病聯(lián)盟在Diabetes Atlas上預(yù)測糖尿病患者數(shù)量將持續(xù)升高。糖尿病在中國是高發(fā)疾病，常伴有家族遺傳史，長期血糖控制不良將導(dǎo)致多種急性、慢性疾病并發(fā)，使人體抵抗力變差，危及患者生命。由于無法根治，糖尿病的病癥只有及早發(fā)現(xiàn)、及早治療才能降低出現(xiàn)并發(fā)癥的隱患。因此，構(gòu)建糖尿病病人的生存時間預(yù)測模型，對提高糖尿病病人的生存質(zhì)量有著重要意義。

在實(shí)際研究中，針對某一領(lǐng)域的一個問題，通?？梢越⒍鄠€模型，如何在所有可能的模型中選擇適合的模型是統(tǒng)計學(xué)界研究的核心問題之一。模型選擇的目標(biāo)是從模型集合中選出估計或預(yù)測誤差較小的模型，如Akaike Information Criterion (AIC)、Bayes Information Criterion (BIC)、Focused Information Criterion (FIC)等。模型選擇方法在一定程度上解決了選擇較“優(yōu)”模型的問題，然而模型選擇過程中總是存在著不確定性，因此無法避免選擇很“差”模型的風(fēng)險。對于模型選擇過程中存在的缺點(diǎn)，學(xué)者們進(jìn)行了大量研究，近些年來，模型平均方法作為解決模型選擇不確定性的重要方法受到了廣泛關(guān)注。與模型選擇方法相比，模型平均方法的估計及預(yù)測并不依靠于單個模型，而是基于整個候選模型。Bates J等[1]將模型組合用于對航空需求的預(yù)測，研究肯定了組合預(yù)測的優(yōu)勢。目前，按照權(quán)重形式的不同，模型平均方法可以分為兩大類，分別為貝葉斯模型平均和頻率模型平均。最初的模型平均方法可以追溯到由Buckland S T等[2]提出的基于AIC和BIC兩種信息準(zhǔn)則的Smoothed-AIC(S-AIC)和Smoothed-BIC(S-BIC)方法，它們也是最簡便、常用的方法。對于小樣本量的研究，Hua Liang[3]提出的OPT權(quán)重選擇方法具有良好的表現(xiàn)。張新雨等[4]介紹了幾種常用的模型平均方法，并將它們應(yīng)用于中國糧食產(chǎn)量預(yù)測，且取得了較好的預(yù)測效果。朱容等[5]將模型平均方法應(yīng)用于部分函數(shù)線性模型，并對肉類和玉米樣本的近紅外反射光譜數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析，結(jié)果表明,模型平均方法要比模型選擇方法的預(yù)測效果更好。

綜合以上國內(nèi)外文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，模型平均方法提高了估計及預(yù)測的穩(wěn)健性，為選擇模型提供了一種保障機(jī)制，降低了選擇很“差”模型的風(fēng)險性[6]。在一定情況下，相較于模型選擇方法，模型平均方法在解決模型不確定和研究醫(yī)學(xué)方面預(yù)測問題上具有一定優(yōu)勢。因此，文中將模型平均方法應(yīng)用于糖尿病病人的生存時間預(yù)測上。

1 基于模型平均方法的估計

文中考慮如下線性模型

(1)

式中：Yi——因變量;

Xi——p維必選協(xié)變量向量;

Zi——q維可選協(xié)變量向量;

β——p維回歸參數(shù);

γ——q維回歸參數(shù);

εi——隨機(jī)誤差項。

因此,模型中的待估參數(shù)為θ=(β′,γ′)′。

(2)

對其求極大值，參數(shù)的最大似然估計為

在醫(yī)學(xué)研究中，影響疾病預(yù)后生存時間的協(xié)變量往往有多個，將不同的協(xié)變量組合就能得到不同的模型，但在不同的模型里如何選擇出最優(yōu)模型是我們關(guān)注的重點(diǎn)。權(quán)衡模型復(fù)雜度與優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)，簡稱AIC；貝葉斯信息準(zhǔn)則，簡稱BIC。兩者都是基于模型的信息量來遴選最優(yōu)模型，這兩種最常用的信息準(zhǔn)則定義為

HIC=-2logl+F,

(3)

式中：HIC——表示AIC或者BIC；

l——模型的極大似然函數(shù)；

F——懲罰項。

當(dāng)F=2g時，式(3)為AIC表達(dá)式，當(dāng)F=glog(n)時，式(3)為BIC表達(dá)式，其中g(shù)為未知參數(shù)個數(shù)，n為樣本個數(shù)。

通常情況下，多元回歸模型通過擬合因變量與多個協(xié)變量估計模型中的參數(shù)，單一模型選擇的過程中總是存在著不確定性，選擇的模型過于復(fù)雜或是過于簡單都會使得估計或者預(yù)測的方差偏大[7]。因此統(tǒng)計學(xué)家提出模型平均的思想。Buckland S T等[2]介紹了S-AIC和S-BIC兩種基于信息準(zhǔn)則的組合權(quán)重方法，則組合權(quán)重為

(4)

式中：k——第k個模型；

K——模型集合中模型的數(shù)量；

HIC——表示AIC或BIC；

ωk——第k個模型所對應(yīng)的權(quán)重。

假定X中有m1個必選協(xié)變量，Z中有m2個可選擇的協(xié)變量，因此模型集合中有N=2m2個子模型可供選擇。在實(shí)際研究中，某些模型不符合實(shí)際可以事先排除，所以至多考慮N≤2m2個子模型。首先假定OPT方法的權(quán)重形式，

(5)

M=In-X(X′X)-1X′，

因此，全模型下σ2的最小二乘估計為

將所有候選模型的估計與上述模型平均方法計算的權(quán)重平均起來，可得到Y(jié)i均值的組合估計

(6)

式中：k——第k個模型；

hk——上述模型平均方法估計的各候選模型估計權(quán)重。

2 實(shí)證分析

文中選取的數(shù)據(jù)為1971-1988年對128位糖尿病人隨訪研究的臨床數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于Ovid數(shù)據(jù)庫。所選的協(xié)變量有X1(患者被診斷出糖尿病時的年齡)、Z1(身體質(zhì)量指標(biāo)(BMI))、Z2(心電圖讀數(shù)(ECG))、Z3(舒張壓與收縮壓之差(DBF-SBF))、Y(自基準(zhǔn)檢查起的生存時間)。文中將2種模型選擇方法AIC、BIC，3種模型平均方法S-AIC、S-BIC、OPT應(yīng)用到糖尿病數(shù)據(jù)集上。為了便于分析，對數(shù)據(jù)做標(biāo)準(zhǔn)化處理。根據(jù)以往糖尿病預(yù)后因素所做的研究，患者確診糖尿病時的年齡對自基準(zhǔn)檢查起的生存時間有著顯著影響，故選定X1為必選協(xié)變量，其他3個協(xié)變量Z1、Z2和Z3為可選協(xié)變量，因此模型集合中有N=23=8個備選模型。例如，第1個模型只有必選協(xié)變量為Y=β1X1+ε，第2個模型包含可選協(xié)變量為Y=β1X1+γ1Z1+ε，以此類推，第8個模型包含必選協(xié)變量和所有可選協(xié)變量，即全模型為Y=β1X1+γ1Z1+γ2Z2+γ3Z3+ε，根據(jù)不同的加權(quán)方法將全部模型預(yù)測值加權(quán)平均，得到最后的預(yù)測結(jié)果。文中目的是根據(jù)試驗(yàn)研究中的協(xié)變量數(shù)據(jù)預(yù)測糖尿病病人自基準(zhǔn)檢查起的生存時間。

結(jié)合實(shí)例分析比較以上5種方法的預(yù)測效果，將糖尿病病人數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集與測試集，將訓(xùn)練集的樣本量設(shè)置為n1=90、100、110、120，測試集樣本量n-n1，樣本量為n=128，使用任意訓(xùn)練集樣本進(jìn)行回歸，得到未知參數(shù)估計，然后對測試集樣本進(jìn)行預(yù)測，這個過程重復(fù)c=1 000，則最后得到的均方預(yù)測誤差(MSPE)為

(7)

計算5種方法MSPE的均值與中位數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 糖尿病病人生存時間的均方預(yù)測誤差

由表1可以得出，OPT模型平均方法得出預(yù)測值的MSPE均值與中位數(shù)比其他4種方法要小，說明OPT模型方法均方預(yù)測誤差較小，預(yù)測精度要優(yōu)于其他4種方法；S-AIC和S-BIC方法MSPE的均值與中位數(shù)都要比AIC和BIC方法要小，說明在糖尿病病人生存時間預(yù)測研究中，模型平均方法比模型選擇方法的預(yù)測精度更高。此外，兩種模型選擇方法的預(yù)測結(jié)果很接近，而S-AIC要略優(yōu)于S-BIC方法。

3 結(jié) 語

對1971-1988年128位糖尿病病人隨訪研究的臨床數(shù)據(jù)運(yùn)用模型平均方法與模型選擇方法進(jìn)行了病人生存時間的預(yù)測。通過對比5種方法的MSPE均值與中位數(shù)發(fā)現(xiàn)，OPT方法的預(yù)測精度更高，S-AIC和S-BIC方法要優(yōu)于AIC和BIC方法。綜合比較，在對糖尿病病人的生存時間進(jìn)行預(yù)測時，模型平均方法要優(yōu)于模型選擇方法。

根據(jù)文中研究結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，模型平均方法在糖尿病病人生存時間的預(yù)測中取得了較好的效果，因此可以把模型平均方法運(yùn)用到更多數(shù)據(jù)類型或模型中，如文中研究的是線性模型，在后期研究中可以將模型平均方法進(jìn)一步擴(kuò)展到部分線性模型中。