曹 蕾，張志強(qiáng)

(長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130012)

0 引 言

在籃球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中，投球命中率是衡量籃球運(yùn)動(dòng)員表現(xiàn)的重要指標(biāo)，為籃球經(jīng)理人考慮球員轉(zhuǎn)會(huì)提供了參考[1]。用上賽季投球命中率預(yù)測下賽季投球命中率是直觀的想法，然而James W等[2]指出,p維正態(tài)總體(協(xié)方差矩陣是單位陣)的樣本均值是非容許估計(jì)[3],即收縮估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)小于極大似然估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。同時(shí)考慮身高、體重等因素對投球命中率的影響，文中采用雙水平收縮估計(jì)方法[4]對籃球運(yùn)動(dòng)員投球命中率進(jìn)行預(yù)測，并用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)。

1 收縮估計(jì)方法及實(shí)現(xiàn)

1.1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

文中選取2017-2018賽季和2018-2019賽季籃球運(yùn)動(dòng)員的數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)是從新浪體育中國籃球CBA專欄整理的。首先進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗：

1)2017-2018賽季和2018-2019賽季都參加的球員；

2)運(yùn)動(dòng)員在兩個(gè)賽季投球數(shù)都大于15次，最終選取255個(gè)數(shù)據(jù)。

球員數(shù)據(jù)包括身高(x1j，cm)、體重(x2j,kg)、總籃板數(shù)(x3j)、出場數(shù)(x4j)、助攻(x5j)、搶斷(x6j)、蓋帽(x7j)、罰中球數(shù)(x8j)、兩分球命中數(shù)(Yi1)、兩分球總數(shù)(Ni1)。j=1,2分別代表2017-2018賽季和2018-2019賽季。2017-2018賽季部分球員篩選數(shù)據(jù)見表1。

表1 2017-2018賽季運(yùn)動(dòng)員數(shù)據(jù)

1.2 雙水平收縮估計(jì)方法

2017-2018賽季共有255個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，同時(shí)考慮一些協(xié)變量對籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率的影響，如身高、體重、出場數(shù)、總籃板數(shù)、助攻、搶斷、蓋帽、罰中球數(shù)等一些協(xié)變量因素。在層次模型第二層中加入新的協(xié)變量，采用雙水平收縮估計(jì)方法，但文獻(xiàn)[4]處理的是連續(xù)型隨機(jī)變量，文中數(shù)據(jù)處理的是離散型數(shù)據(jù)，要對數(shù)據(jù)進(jìn)行變換。

假設(shè)

Yij～Binomial(Nij,pi),

i=1,2,…,n0,j=1,2，

式中：i——代表每一個(gè)運(yùn)動(dòng)員；

j——賽季，j=1代表2017-2018賽季，j=2代表2018-2019賽季；

Nij——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)員第j個(gè)賽季的兩分球投球總數(shù)；

Yij——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)員第j個(gè)賽季的兩分球投中球數(shù)；

pi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)員的命中率。

假設(shè)2017-2018賽季和2018-2019賽季的投球命中率不變，可以得到

則Xij近似分布

(1)

先驗(yàn)分布中考慮了8個(gè)協(xié)變量的因素，

θi=β0+β1x11+β2x21+…+β8x81，

β0～N(0,λ),

β1～N(0,λ),

β2～N(0,λ),

?

β8～N(0,λ)，

假設(shè)β0,β1,…，β8都獨(dú)立。j=1代表2017-2018賽季數(shù)據(jù)，文中用2017-2018賽季數(shù)據(jù)來預(yù)測2018-2019賽季的投球命中率。其中x11，x21，…，x81分別代表第1個(gè)賽季的身高、體重、總籃板數(shù)、出場數(shù)、助攻、搶斷、蓋帽、罰中球數(shù)，則

收縮估計(jì)是

(2)

(3)

風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)式(3)的無偏估計(jì)為

(4)

(5)

1.3 風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)無偏估計(jì)最小化的Maltab實(shí)現(xiàn)

對風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)無偏估計(jì)式(4)通過Matlab實(shí)現(xiàn)[5-7]，考慮后衛(wèi)、前鋒、中鋒和全體籃球運(yùn)動(dòng)員,以全體籃球運(yùn)動(dòng)員數(shù)據(jù)為例進(jìn)行編程。具體流程如圖1所示。

具體編程如下：

CBA1=xlsread('18zongti.xlsx');%導(dǎo)入數(shù)據(jù)集

p=CBA1(:,1)./CBA1(:,2);%極大似然估計(jì)

H=1./(CBA1(:,2).*p.*(1-p));

X=log(CBA1(:,1)./(CBA1(:,2)-CBA1(:,1)));

G=1+((CBA1(:,3)-mean(CBA1(:,3)))./std(CBA1(:,3))).^2+((CBA1(:,4)-mean(CBA1(:,4)))./std(CBA1(:,4))).^2+((CBA1(:,5)-mean(CBA1(:,5)))./std(CBA1(:,5))).^2+((CBA1(:,6)-mean(CBA1(:,6)))./std(CBA1(:,6))).^2+((CBA1(:,7)-mean(CBA1(:,7)))./std(CBA1(:,7))).^2+((CBA1(:,8)-mean(CBA1(:,8)))./std(CBA1(:,8))).^2+((CBA1(:,9)-mean(CBA1(:,9)))./std(CBA1(:,9))).^2+((CBA1(:,10)-mean(CBA1(:,10)))./std(CBA1(:,10))).^2;

h=H./G;

q=1./H;

程序中p表示球員賽季命中率，H表示Xi1的近似方差，X表示變換后的連續(xù)性數(shù)據(jù)。x11,x21,…,x81的單位是不同的，所以對x11,x21,…,x81進(jìn)行了單位化。CBA1(:,3)代表身高，CBA1(:,4)代表體重，CBA1(:,5)代表出場數(shù)，CBA1(:,6)代表總籃板數(shù)，CBA1(:,7)代表助攻，CBA1(:,8)代表搶斷，CBA1(:9)代表蓋帽，CBA1(:,10)代表罰中球數(shù)，所以G也需要相應(yīng)的單位化，即

式中：std——標(biāo)準(zhǔn)差。

lamda0=var(X);

x0=[20 100];

L=length(G);

global G H lamda0 L;

camel= @(x,y) 1./(sum(q)).*(sum((q.*(h.^2.*(X-x).^2))./((y+h).^2)+(y-h)./(y+h)));

loss=@(xo_sa) camel(xo_sa(1),xo_sa(2));

options1 = struct(...

'CoolSched',@(T) (.95*T),...

'InitTemp',10^7,...

'MaxConsRej',10^5,...

'MaxSuccess',10^4,...

'MaxTries',10^5,...

'StopVal',10^(-5),...

'Verbosity',1);

[xo_sa,fo_sa]=anneal1(loss,x0,options1);

這部分程序的任務(wù)是最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的無偏估計(jì)，從而得到超參數(shù)的估計(jì)。風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的無偏估計(jì)是一個(gè)非常復(fù)雜的函數(shù)，采用梯度的最優(yōu)算法和Nelder算法[8]無法實(shí)現(xiàn)式(4)的最小化，所以采用模擬退火[9-10]方法進(jìn)行最小化。

anneal1是模擬退火程序。鑒于篇幅原因，文中不展示模擬退火程序。

得到超參數(shù)的估計(jì)后，根據(jù)式(5)得到收縮估計(jì)。為了評(píng)價(jià)收縮估計(jì)方法的好壞，采用預(yù)測誤差(WPE),

SURE收縮估計(jì)方法[11]文中也是采取加權(quán)平方損失函數(shù)。因此可以根據(jù)WPE的大小來判斷雙水平收縮估計(jì)和SURE收縮估計(jì)的好壞，WPE越小，收縮估計(jì)越精準(zhǔn)。

2 結(jié)果分析

數(shù)據(jù)經(jīng)過預(yù)處理后，文中認(rèn)為身高、體重、出場數(shù)、總籃板數(shù)、助攻、搶斷、蓋帽、罰中球數(shù)這些協(xié)變量與命中率密切相關(guān)。按照位置不同，考慮后衛(wèi)、前鋒、中鋒和所有球員的兩分球命中率。WPE結(jié)果見表3。

表3 WPE結(jié)果對比

從表3可以得出結(jié)論，即考慮協(xié)變量對預(yù)測誤差改善是有幫助的。雙水平收縮估計(jì)方法考慮了協(xié)變量，SURE收縮估計(jì)方法沒有考慮協(xié)變量，對于后衛(wèi)、前鋒、中鋒、所有球員，雙水平收縮估計(jì)方法的WPE都小于SURE方法的WPE。

3 結(jié) 語

根據(jù)2017-2018賽季數(shù)據(jù)預(yù)測2018-2019賽季投球命中率，采用雙水平收縮估計(jì)方法和SURE收縮估計(jì)方法[11]進(jìn)行預(yù)測。雙水平收縮估計(jì)方法是處理連續(xù)隨機(jī)變量，而投球數(shù)是離散型數(shù)據(jù)，進(jìn)行變換后得到連續(xù)型變量。最小風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的無偏估計(jì)是比較有挑戰(zhàn)的工作，因?yàn)槌Ｓ锰荻鹊淖顑?yōu)算法和Nelder算法無法實(shí)現(xiàn)式(4)的最小化，所以采用模擬退火方法實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)無偏估計(jì)的最小化。因?yàn)殡p水平收縮估計(jì)方法的WPE小于SURE收縮估計(jì)方法的WPE，所以雙水平收縮估計(jì)方法比SURE收縮估計(jì)方法好。SURE收縮估計(jì)方法沒有雙水平收縮估計(jì)方法好的原因是SURE收縮估計(jì)方法沒有考慮協(xié)變量因素(身高、體重等)。

綜上所述，文中對2018-2019賽季籃球運(yùn)動(dòng)員數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對投球命中率進(jìn)行預(yù)測，雙水平收縮估計(jì)方法的預(yù)測誤差非常小，希望對籃球運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)會(huì)提供一定的參考作用。