唐雨 冀杰 任玥 趙穎 黃城

（西南大學(xué)，重慶 400715）

主題詞：自動(dòng)駕駛 路徑跟蹤 質(zhì)量彈簧阻尼 固有頻率 阻尼比

1 前言

路徑跟蹤控制是實(shí)現(xiàn)汽車(chē)智能化的關(guān)鍵技術(shù)之一，它主要通過(guò)車(chē)載傳感器檢測(cè)自身位置與期望軌跡的相對(duì)偏差，根據(jù)路徑跟蹤控制策略計(jì)算出轉(zhuǎn)向角大小和方向，控制車(chē)輛沿期望路徑自主行駛[1-3]，在保證車(chē)輛主動(dòng)安全性與穩(wěn)定性方面具有重要意義。

國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)車(chē)輛路徑跟蹤控制的關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了相關(guān)研究。由于車(chē)輛參數(shù)具有不確定性，文獻(xiàn)[4]提出了一種對(duì)車(chē)輛不確定性和外部干擾具有較強(qiáng)魯棒性的自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）算法，文獻(xiàn)[5]研究了一種基于狀態(tài)估計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂撇呗裕瑢⒐烙?jì)結(jié)果作為跟蹤控制系統(tǒng)的輸入量，提高了路徑跟蹤過(guò)程中車(chē)輛的橫向穩(wěn)定性。另外，由于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)行為相對(duì)于控制輸入存在時(shí)間滯后：文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]結(jié)合單點(diǎn)預(yù)瞄方法，分別提出一種非奇異終端滑?？刂坪妥赃m應(yīng)滑模控制策略，但所設(shè)計(jì)的控制器只考慮了橫向位置誤差，未充分考慮車(chē)輛橫擺誤差的影響；文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]提出一種預(yù)瞄式模型預(yù)測(cè)控制（Model Predictive Control，MPC）算法，對(duì)車(chē)輛相對(duì)于車(chē)道中心線的橫向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（車(chē)輛橫向位移及橫擺角）偏差進(jìn)行預(yù)瞄，但其優(yōu)化求解過(guò)程計(jì)算量較大，導(dǎo)致實(shí)時(shí)性較差。

通過(guò)文獻(xiàn)分析可知，路徑跟蹤控制器主要根據(jù)車(chē)輛與道路之間的橫向偏差、橫擺角偏差來(lái)確定車(chē)輛的前輪轉(zhuǎn)向角，若控制器結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜，則求解時(shí)間較長(zhǎng)，將難以在實(shí)車(chē)上進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。在工程應(yīng)用中，質(zhì)量彈簧阻尼（Mass-Spring-Damper，MSD）模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度快、易于控制等優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)質(zhì)量、彈簧剛度和阻尼系數(shù)確定之后，可根據(jù)2個(gè)物體之間的相對(duì)距離和相對(duì)速度求解其運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，這與駕駛員在路徑跟蹤過(guò)程中的操作行為較為契合。受此啟發(fā)，本文在車(chē)輛與道路間構(gòu)建虛擬MSD系統(tǒng)，用于解決車(chē)輛的道路跟蹤問(wèn)題。目前，MSD控制主要應(yīng)用于車(chē)輛隊(duì)列及飛行器編隊(duì)中[10-13]，利用虛擬MSD 理論已開(kāi)發(fā)出很多具體功能，為本文研究奠定了重要的理論基礎(chǔ)。

由此，本文提出了一種基于虛擬MSD 模型與駕駛員預(yù)瞄理論相結(jié)合的路徑跟蹤控制系統(tǒng)：根據(jù)車(chē)輛在預(yù)瞄點(diǎn)處的橫向位置偏差和橫擺角偏差建立狀態(tài)方程，運(yùn)用MSD 模型，將智能車(chē)輛的路徑跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為道路曲率變化激勵(lì)下的車(chē)輛橫向位置偏差及橫擺角偏差振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題。基于此過(guò)程設(shè)計(jì)虛擬彈簧阻尼控制律，以穩(wěn)定性和快速性為控制目標(biāo)對(duì)控制器參數(shù)固有頻率和阻尼比進(jìn)行約束，并提出系統(tǒng)誤差性能函數(shù)，優(yōu)化求解得到控制參數(shù)的最優(yōu)值，最終通過(guò)仿真分析及實(shí)車(chē)試驗(yàn)對(duì)控制器的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

2 曲率激勵(lì)下的虛擬MSD模型

2.1 預(yù)瞄式MSD運(yùn)動(dòng)模型

基于駕駛員預(yù)瞄與虛擬彈簧阻尼理論，建立如圖1所示的車(chē)輛路徑跟蹤運(yùn)動(dòng)模型。

圖1 預(yù)瞄式MSD運(yùn)動(dòng)模型

圖1 所示的車(chē)輛運(yùn)動(dòng)模型模擬了駕駛員的預(yù)瞄行為，以受控車(chē)輛為虛擬MSD模型的質(zhì)量元件，在預(yù)瞄點(diǎn)處構(gòu)建2組虛擬的彈簧和阻尼器。其中：虛擬彈簧S1和虛擬阻尼器D1用于描述預(yù)瞄點(diǎn)處橫向偏差的響應(yīng)特性，S1的振幅與橫向距離偏差ys成正比，而D1的振幅與橫向偏差變化率y˙s成正比；虛擬彈簧S2和虛擬阻尼器D2用于描述橫擺角偏差的響應(yīng)特性，S2的振幅與橫擺角偏差φr成正比，而D2的振幅與橫擺角偏差變化率φ˙r成正比。因此，2組彈簧和阻尼器共同構(gòu)成了二自由度彈簧阻尼系統(tǒng)，同時(shí)對(duì)橫向偏差及車(chē)輛橫擺角偏差進(jìn)行控制，從而實(shí)現(xiàn)智能車(chē)輛的路徑跟蹤。

由振動(dòng)力學(xué)原理可知，虛擬MSD 系統(tǒng)提供的虛擬側(cè)向力Fc和橫擺力矩Tc可分別表示為：

式中，k1、k2分別為虛擬彈簧S1和S2的剛度系數(shù)；c1、c2分別為虛擬阻尼器D1和D2的阻尼系數(shù)。

由圖1可得車(chē)輛的預(yù)瞄運(yùn)動(dòng)模型為：

式中，v為車(chē)輛質(zhì)心速度；β為車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角；ls為預(yù)瞄距離；r為橫擺角速度；vx為車(chē)輛縱向速度；φd為預(yù)瞄點(diǎn)處的期望橫擺角；κ為道路曲率；yc為車(chē)輛質(zhì)心處的橫向距離偏差。

當(dāng)車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角較小時(shí)，可近似得到：

式中，vy為車(chē)輛橫向速度。

2.2 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型

為了兼顧控制模型的實(shí)時(shí)性和有效性，本文選用二自由度車(chē)輛模型作為研究對(duì)象，如圖2所示，并假設(shè)：車(chē)輛縱向速度保持不變，只需要考慮車(chē)輛的橫擺運(yùn)動(dòng)和橫向運(yùn)動(dòng)；忽略空氣動(dòng)力學(xué)及道路坡度影響；車(chē)輛以前輪轉(zhuǎn)向，后輪保持轉(zhuǎn)向角度為0°。圖2 中，XOY為絕對(duì)坐標(biāo)系，xocy為車(chē)輛坐標(biāo)系，oc為車(chē)輛質(zhì)心。

圖2 車(chē)輛二自由度模型

根據(jù)車(chē)輛動(dòng)力學(xué)原理及牛頓運(yùn)動(dòng)定律，車(chē)輛的橫向動(dòng)力學(xué)模型可表示為：

式中，m為整車(chē)質(zhì)量；Fli(i=f,r)分別為車(chē)輛前、后輪縱向力；δf為前輪轉(zhuǎn)角；Fci(i=f,r)分別為根據(jù)Pacejka輪胎模型得到的車(chē)輛前、后輪側(cè)向力；Iz為車(chē)輛繞垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；lf、lr分別為質(zhì)心到前軸和后軸的水平距離；αi(i=f,r)分別為前、后輪滑移角；B、C、D和E為Pacejka 模型參數(shù)。

由圖2可知，分析輪胎受力時(shí)若僅考慮輪胎的側(cè)偏特性，當(dāng)滑移角α和前輪轉(zhuǎn)角δf較小時(shí)，可將側(cè)偏力線性近似為：

式中，ci(i=f,r)分別為前、后輪側(cè)偏剛度。

對(duì)建立的車(chē)輛MSD運(yùn)動(dòng)模型及車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行綜合分析，對(duì)式（3）和式（4）求導(dǎo)，并結(jié)合式（7）～式（11）可得：

將式（1）和式（2）代入式（12）和式（13）中，可得在道路曲率變化的激勵(lì)下，基于虛擬MSD 模型的車(chē)輛路徑跟蹤響應(yīng)方程：

3 虛擬MSD控制策略設(shè)計(jì)

智能車(chē)輛的路徑跟蹤需要實(shí)現(xiàn)橫向和橫擺運(yùn)動(dòng)的協(xié)同控制，是具有多狀態(tài)變量的問(wèn)題?；谔摂MMSD的控制方法將運(yùn)動(dòng)主體通過(guò)虛擬彈簧和阻尼器互相連接，因此運(yùn)動(dòng)主體之間存在彈簧力和阻尼力，從而使系統(tǒng)趨于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的平衡位置，保持系統(tǒng)穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。因此，本文將車(chē)輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（車(chē)輛橫向距離及橫擺角）作為控制器的參考輸入，根據(jù)車(chē)輛動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)虛擬MSD 路徑跟蹤控制器，通過(guò)控制前輪轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)車(chē)輛的路徑跟蹤。

智能車(chē)輛軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)是以前輪轉(zhuǎn)角為輸入的單輸入多輸出系統(tǒng)，而式（14）僅為MSD 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)，無(wú)法直接作為智能車(chē)輛的控制輸入，需進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為車(chē)輛的前輪轉(zhuǎn)角控制量δf后對(duì)車(chē)輛進(jìn)行控制。

綜合考慮車(chē)輛質(zhì)量、虛擬彈簧剛度及阻尼系數(shù)的影響，將式（14）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

對(duì)式（15）進(jìn)行求解，得到在不同控制器參數(shù)下的系統(tǒng)狀態(tài)x(t)的響應(yīng)。根據(jù)圖2構(gòu)建的二自由度車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型，整合式（7）～式（13），得到考慮橫向距離偏差和橫擺角偏差的MSD控制器的前輪轉(zhuǎn)向角分別為：

綜合考慮路徑跟蹤過(guò)程中橫向距離偏差和橫擺角偏差，本文取總的控制律為：

式中，λ1＞0和λ2＞0為控制加權(quán)參數(shù)。

橫向距離偏差反映了路徑跟蹤控制的精度，橫擺角偏差則反映了路徑跟蹤控制的穩(wěn)定性，因此，本文以橫向偏差為主要性能指標(biāo)，橫擺角偏差為次要性能指標(biāo)，并經(jīng)過(guò)多次仿真采樣測(cè)試，選取性能較優(yōu)的加權(quán)參數(shù)為：λ1=0.7，λ2=0.3。

4 任意道路曲率激勵(lì)下的MSD系統(tǒng)響應(yīng)

在智能車(chē)輛的路徑跟蹤過(guò)程中，外部激勵(lì)函數(shù)會(huì)隨著道路曲率的不同而變化，為得到任意激勵(lì)函數(shù)下虛擬MSD 系統(tǒng)的控制響應(yīng)，本文采用脈沖響應(yīng)法對(duì)振動(dòng)方程式（15）進(jìn)行求解。

任意激勵(lì)函數(shù)的幅值大小隨時(shí)間變化，一般作用一段時(shí)間后停止作用。對(duì)于任意函數(shù)f(t)，可將其分解為一系列強(qiáng)度為f(t)dτ的脈沖信號(hào)，如圖3所示。求解時(shí)，先求得每一個(gè)沖量f(t)dτ引起的系統(tǒng)響應(yīng)h(t-τ)，然后利用疊加原理，對(duì)所有脈沖引起的響應(yīng)進(jìn)行疊加，利用杜哈梅積分得到系統(tǒng)模型在整個(gè)激勵(lì)函數(shù)f(t)作用下的響應(yīng)。

圖3 杜哈梅積分

圖3中的任意激勵(lì)函數(shù)f(t)可視為一系列微脈沖的組合，利用疊加原理，任意激勵(lì)函數(shù)f(t)引起的響應(yīng)等于所有時(shí)刻脈沖響應(yīng)的總和。所以，MSD 系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)為：

式中，h(t-τ)為t=τ時(shí)刻的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

對(duì)于單位沖量I=1 N·s，t=0時(shí)刻單位脈沖δ(t)激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)為：

將式（20）帶入式（19）中，得到MSD 系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)為：

式（21）為杜哈梅積分，利用該公式即可得到式（15）中任意激勵(lì)下MSD 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)，進(jìn)一步可得到車(chē)輛前輪轉(zhuǎn)角δf的控制響應(yīng)。

5 MSD控制參數(shù)優(yōu)化及確定方法

在智能車(chē)輛的自動(dòng)駕駛過(guò)程中，需要兼顧路徑跟蹤控制器的系統(tǒng)穩(wěn)定性和響應(yīng)速度。MSD模型中固有頻率ωn和阻尼比ξ是決定上述性能的2 個(gè)重要控制參數(shù)，不同的取值對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響非常大。因此，本文對(duì)圖1 所示系統(tǒng)中MSD 模型的ωn和ξ分別進(jìn)行求解和優(yōu)化，在保證控制器穩(wěn)定性的同時(shí)提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，以實(shí)現(xiàn)更理想的路徑跟蹤性能。

MSD 系統(tǒng)根據(jù)阻尼比的大小可分為過(guò)阻尼（阻尼比ξ＞1）、臨界阻尼（ξ=1）和欠阻尼（ξ＜1）系統(tǒng)，不同阻尼比下的MSD系統(tǒng)在零初始狀態(tài)脈沖激勵(lì)下?tīng)顟B(tài)響應(yīng)如圖4所示。

圖4 不同阻尼比下的MSD系統(tǒng)脈沖狀態(tài)響應(yīng)

其中：過(guò)阻尼和臨界阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)曲線按指數(shù)規(guī)律衰減，車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不會(huì)產(chǎn)生振蕩，能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求，是較為理想的控制狀態(tài)；欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)曲線為非周期性運(yùn)動(dòng)，車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在平衡位置附近往復(fù)振動(dòng)，最終衰減穩(wěn)定在平衡位置。阻尼比越小，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要的時(shí)間越長(zhǎng)，阻尼比過(guò)小甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)始終無(wú)法達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

結(jié)合理論分析及圖4所示的仿真結(jié)果，為滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求，本文對(duì)MSD 控制系統(tǒng)的阻尼比施加初始約束：

在路徑跟蹤過(guò)程中，車(chē)輛頻繁轉(zhuǎn)向會(huì)極大地影響駕駛員的舒適性和車(chē)輛的控制穩(wěn)定性。因此，本文將前輪轉(zhuǎn)向角的角速度及其最大超調(diào)量作為衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性的指標(biāo)。假設(shè)系統(tǒng)在設(shè)定時(shí)間內(nèi)可達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且整個(gè)過(guò)程無(wú)振蕩現(xiàn)象，最大轉(zhuǎn)向角等于轉(zhuǎn)向角穩(wěn)態(tài)值，則理想前輪轉(zhuǎn)角及其角速度應(yīng)分別滿足如下約束：

式中，δss為理想轉(zhuǎn)向角穩(wěn)態(tài)值，t0為系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間。

為了平滑MSD 系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化求解過(guò)程，在上式約束中加入緩沖區(qū)域，將式（23）約束轉(zhuǎn)化為前輪轉(zhuǎn)角及其角速度軟約束：

當(dāng)?shù)缆非蕿槌?shù)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的方法得車(chē)輛穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向角為：

式中，L=lf+lr為軸距。

以如圖5 所示直線-圓弧工況為例，定義車(chē)輛縱向速度為72 km/h，分別對(duì)2 組MSD 控制器單獨(dú)控制時(shí)的車(chē)輛狀態(tài)進(jìn)行求解，采用控制變量法，對(duì)2 組MSD 模型的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

圖5 直線-圓弧工況

分別將不同ωn和ξ帶入式（15），結(jié)合式（16）、式（17）和式（21），得到不同參數(shù)組合下路徑跟蹤控制系統(tǒng)的前輪轉(zhuǎn)角及其角速度響應(yīng)，如圖6和圖7所示。

圖6 橫擺角MSD穩(wěn)定性約束

圖7 橫向間距MSD穩(wěn)定性約束

當(dāng)最大前輪轉(zhuǎn)角大于理想穩(wěn)態(tài)值時(shí)，MSD 系統(tǒng)的控制量存在超調(diào)，當(dāng)最大前輪轉(zhuǎn)角小于理想穩(wěn)態(tài)值時(shí)，MSD系統(tǒng)無(wú)法在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，這2種情況均不符合理想控制要求。為滿足系統(tǒng)控制穩(wěn)定性要求，根據(jù)約束方程式（24），得到滿足最大轉(zhuǎn)角的參數(shù)組合，如圖6a和圖7a中曲線所示。

最小前輪轉(zhuǎn)角角速度大于0時(shí)，MSD系統(tǒng)無(wú)法在有限時(shí)間達(dá)到穩(wěn)態(tài)，最小前輪轉(zhuǎn)角角速度小于0 時(shí)，MSD系統(tǒng)在控制過(guò)程中存在振蕩現(xiàn)象，這2種情況均不符合理想控制要求。為滿足系統(tǒng)控制穩(wěn)定性，根據(jù)約束方程式（24），得到滿足最小前輪轉(zhuǎn)角角速度的參數(shù)組合，如圖6b和圖7b中曲面所示。

結(jié)合式（24）中前輪轉(zhuǎn)角約束及前輪轉(zhuǎn)角角速度約束，此時(shí)最大前輪轉(zhuǎn)角等于理想穩(wěn)態(tài)前輪轉(zhuǎn)角，最小前輪轉(zhuǎn)角角速度為0，系統(tǒng)最大超調(diào)量為0，且無(wú)振蕩現(xiàn)象，達(dá)到了優(yōu)化效果，此時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)組合即為滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性約束的所有參數(shù)組合。

為了平滑路徑跟蹤過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，進(jìn)一步提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及快速性，在對(duì)MSD 控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，以車(chē)輛質(zhì)心的橫向距離偏差、橫擺角及轉(zhuǎn)向角響應(yīng)為指標(biāo)，構(gòu)建系統(tǒng)誤差性能函數(shù)：

式中，δf(t)為t時(shí)刻車(chē)輛的前輪轉(zhuǎn)角；δss(t)為t時(shí)刻理想穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向角；yc(t)為t時(shí)刻車(chē)輛質(zhì)心處橫向距離偏差；φr(t)為t時(shí)刻車(chē)輛橫擺角偏差；P、Q、R為性能函數(shù)的權(quán)重因子。

將前文得到的滿足穩(wěn)定性約束的參數(shù)組合代入系統(tǒng)性能誤差函數(shù)進(jìn)行求解，得到滿足約束的不同參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)誤差，對(duì)其進(jìn)行最小值求解，得到系統(tǒng)誤差函數(shù)的最優(yōu)值并定位該點(diǎn)的ωn和ξ參數(shù)值，即為該工況下的最優(yōu)參數(shù)組合，如圖8a、圖9a 所示。2 組MSD 控制器參數(shù)最優(yōu)值分別為：ωn1=1.932 4，ξ1=1.12；ωn2=2.224，ξ2=1.191。

圖8 橫擺角MSD最優(yōu)參數(shù)

圖9 橫向間距MSD最優(yōu)參數(shù)

將滿足穩(wěn)定性約束條件的參數(shù)組合代入式（16）、式（17）中，并對(duì)轉(zhuǎn)向角響應(yīng)進(jìn)行求解，得到受控車(chē)輛轉(zhuǎn)向角隨時(shí)間變化的曲線，如圖8b和圖9b所示，從圖中可以看出，選擇最優(yōu)ωn和ξ數(shù)值時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性均能得到滿足。

6 仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制器的有效性，在MATLAB/Simulink 中搭建虛擬MSD 模型，并結(jié)合CarSim 中車(chē)輛模型進(jìn)行聯(lián)合仿真分析，仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 車(chē)輛仿真數(shù)據(jù)

6.1 仿真測(cè)試道路模型

道路模型是車(chē)輛路徑跟蹤控制的參考軌跡，在控制過(guò)程中，實(shí)際軌跡與參考軌跡間的偏差是評(píng)價(jià)路徑跟蹤控制器最重要且最直觀的指標(biāo)。為了更加規(guī)范地對(duì)本文設(shè)計(jì)的MSD 控制器進(jìn)行測(cè)試，參考CJJ 37—2012《城市道路工程設(shè)計(jì)規(guī)范》及ISO 3888-2《乘用車(chē)車(chē)道急劇改變操縱用試驗(yàn)車(chē)道》，選用雙移線軌跡作為本文的參考軌跡，用于分析車(chē)輛在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試工況下的路徑跟蹤性能及轉(zhuǎn)向操縱穩(wěn)定性，如圖10所示，路徑參數(shù)如表2所示。

表2 路徑參數(shù) m

圖10 雙移線路徑

雙移線工況的軌跡方程為：

其中：

式中，x、y分別為絕對(duì)坐標(biāo)系下道路中心線橫、縱位置坐標(biāo)；d為道路寬度。

由雙移線工況的軌跡方程式（27）及曲率κ計(jì)算公式（29）計(jì)算得到雙移線道路曲率，如圖11所示：

圖11 雙移線道路曲率示意

6.2 仿真驗(yàn)證分析

為了驗(yàn)證本文提出的控制器的性能，仿真車(chē)輛分別采用低速（36 km/h）和高速（72 km/h）2 種縱向車(chē)速對(duì)雙移線工況進(jìn)行跟蹤，并將本文所設(shè)計(jì)的二自由度綜合預(yù)瞄式MSD 控制器與結(jié)構(gòu)相似的線型二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）進(jìn)行比較，對(duì)比分析車(chē)輛的軌跡跟蹤效果、橫向間距偏差及橫擺角偏差，仿真結(jié)果如圖12、圖13所示，軌跡跟蹤的狀態(tài)偏差峰值及平均仿真時(shí)間如表3所示。

表3 仿真結(jié)果

圖12 36 km/h仿真結(jié)果對(duì)比

圖13 72 km/h仿真結(jié)果對(duì)比

由圖12、圖13 及表3 可知，在車(chē)速為36 km/h 和72 km/h 的仿真工況下，2 種控制算法均能較好地完成路徑跟蹤目標(biāo)。由圖12b 和圖13b 可以看出，MSD 控制算法在2 種速度工況下均有更高的跟蹤精度。由圖12c 和圖13c 中可以看出，車(chē)速較低時(shí)，2 種算法下車(chē)輛橫擺角偏差變化情況基本相同，保持在相對(duì)較小的范圍內(nèi)，隨著車(chē)速提高到72 km/h，2 種控制算法均能保持車(chē)輛穩(wěn)定性，但LQR 控制器具有更高的穩(wěn)定性。另一方面，在同一仿真步長(zhǎng)下，MSD 控制方法具有明顯的實(shí)時(shí)性優(yōu)勢(shì)。

從上述仿真結(jié)果可以看出，本文提出的綜合預(yù)瞄式MSD控制器在不同速度工況下均能保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和實(shí)時(shí)性，有效提升車(chē)輛路徑跟蹤精度。

6.3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的可行性，以圖14 所示的無(wú)人駕駛電動(dòng)轉(zhuǎn)運(yùn)車(chē)為試驗(yàn)樣車(chē)進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。

圖14 試驗(yàn)車(chē)輛

選取的試驗(yàn)場(chǎng)地如圖15 所示，試驗(yàn)采用司南導(dǎo)航系統(tǒng)標(biāo)定目標(biāo)路徑作為控制器參考路徑，圖16 所示為轉(zhuǎn)換后的離線坐標(biāo)數(shù)據(jù)，結(jié)合前文設(shè)計(jì)路徑跟蹤算法對(duì)該路徑進(jìn)行跟蹤試驗(yàn)?？紤]到實(shí)車(chē)試驗(yàn)的安全性及電動(dòng)轉(zhuǎn)運(yùn)車(chē)的局限性，試驗(yàn)選取低速環(huán)境，試驗(yàn)結(jié)果如圖17所示。

圖15 試驗(yàn)道路真實(shí)場(chǎng)景

圖17 試驗(yàn)結(jié)果

由圖17可知，在整個(gè)路徑跟蹤過(guò)程中，車(chē)輛前輪轉(zhuǎn)向角相對(duì)平穩(wěn)，無(wú)明顯振蕩，且車(chē)輛橫向偏差始終控制在±0.3 m以內(nèi)，航向角偏差控制在±0.12 rad以內(nèi)。造成試驗(yàn)誤差略大于仿真誤差的原因主要有：司南系統(tǒng)離線標(biāo)定的道路信息存在一定誤差；試驗(yàn)車(chē)輛部分動(dòng)力學(xué)參數(shù)存在不確定性，只能通過(guò)試驗(yàn)得到近似值；試驗(yàn)過(guò)程中車(chē)輛速度存在波動(dòng)。

基于以上無(wú)法避免的影響因素，其在路徑跟蹤過(guò)程中車(chē)輪轉(zhuǎn)向角無(wú)明顯抖動(dòng)，跟蹤誤差在合理范圍內(nèi)，這表明控制器控制車(chē)輛實(shí)現(xiàn)了對(duì)真實(shí)道路的良好跟蹤，進(jìn)而證明了本文設(shè)計(jì)的綜合預(yù)瞄式MSD控制器在真實(shí)環(huán)境下的有效性。

7 結(jié)論

a.基于虛擬質(zhì)量彈簧阻尼與駕駛員預(yù)瞄理論建立的路徑跟蹤數(shù)學(xué)模型能夠較為準(zhǔn)確地模擬駕駛員路徑跟蹤特性并定量反映橫向距離偏差及橫擺角偏差等關(guān)鍵路徑跟蹤性能指標(biāo)。

b.利用虛擬MSD控制器的參數(shù)優(yōu)化方法，能夠確定2組固有頻率及阻尼比的最優(yōu)值。仿真結(jié)果表明，在最優(yōu)參數(shù)工況下，可以滿足虛擬MSD 控制器的約束條件，并使系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性的綜合性能達(dá)到最優(yōu)。

c.與LQR最優(yōu)預(yù)瞄控制算法相比，提出的二自由度預(yù)瞄式MSD控制算法可以在保證車(chē)輛穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，有效地提高路徑跟蹤精度，且具有明顯的實(shí)時(shí)性優(yōu)勢(shì)，能夠適應(yīng)實(shí)車(chē)實(shí)時(shí)路徑跟蹤控制。