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        探討初中平面幾何中的線段最值問(wèn)題

        2018-03-03 02:00:14江蘇省啟東市鶴城初級(jí)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年4期

        ☉江蘇省啟東市鶴城初級(jí)中學(xué) 印 衛(wèi)

        在初中平面幾何中,有一類在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中求線段最值的問(wèn)題.這類題涉及的知識(shí)面廣,綜合性強(qiáng),要求解題者具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力及創(chuàng)造意識(shí).下面,我們一起來(lái)探討一下此類問(wèn)題的解法.

        一、運(yùn)用軸對(duì)稱變換解決線段最值問(wèn)題

        例1(2013年內(nèi)江)如圖1,已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn),P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),則PM+PN的最小值=_______.

        圖1

        圖2

        分析:M和N都是定點(diǎn),且都在直線BD的同側(cè),這個(gè)問(wèn)題同人教版八年級(jí)上冊(cè)第85頁(yè)問(wèn)題1.如圖2,作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接PQ.則PM=PQ,把PM轉(zhuǎn)化為PQ,于是,求PM+PN的最小值即求PQ+PN的最小值.因?yàn)镼,N為定點(diǎn),根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得線段QN即為所求.

        例2(2017年啟東市一模)如圖3,已知正比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像與x軸相交所成的銳角為70°,定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),M、N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則AM+MP+PN的最小值為( ).

        圖3

        圖4

        A.2

        B.4sin40°

        C.2

        D.4sin20°(1+cos20°+sin20°cos20°)

        分析:如圖4所示,直線OC、y軸關(guān)于直線y=kx對(duì)稱,直線OD、直線y=kx關(guān)于y軸對(duì)稱,A′是A關(guān)于直線y=kx的對(duì)稱點(diǎn),E是N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).于是求AM+MP+PN的最小值就是求A′M+PM+PE的最小值.因?yàn)锳′是定點(diǎn),其他都是動(dòng)點(diǎn),運(yùn)用“垂線段最短”的原理,作A′E垂直直線OD,垂足為E.所以AM+PM+PN=A′M+PM+PE=A′E最小.在Rt△A′EO中,因?yàn)椤螦′EO=90°,OA′=4,∠A′OE=

        策略:此類題的背景材料往往是角、矩形、菱形、正方形等具有軸對(duì)稱性的圖形,解題時(shí),通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化其中一條或幾條線段,再運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”的原理,實(shí)現(xiàn)“化折為直”就可以解決.

        二、運(yùn)用平移變換解決線段最值問(wèn)題

        例3(人教版八年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)問(wèn)題2造橋選址問(wèn)題)如圖5,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?在圖中畫出路徑,不寫畫法但要說(shuō)明理由.(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)

        圖6

        圖5

        分析:雖然A、B兩點(diǎn)在河的兩側(cè),但連接AB的線段與河岸不垂直.關(guān)鍵在于AM+BN最小,但AM與BN未連在一起,所以,應(yīng)該進(jìn)行以下操作:如圖6,把BN沿與河岸垂直的方向平移至MB′,這樣,相當(dāng)于把BN轉(zhuǎn)化為MB′.于是,求AM+BN最小,相當(dāng)于求AM+MB′最小.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,線段AB′最短,即AM+BN最短.故橋建立在MN處符合題意.

        策略:本題通過(guò)平移變換,轉(zhuǎn)化一條線段,從而順利運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決了問(wèn)題.

        三、運(yùn)用平移及軸對(duì)稱變換解決線段最值問(wèn)題

        例4 (2012年南寧)已知點(diǎn)A(3,4),B為直線x=-1上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)B(-1,y).

        (1)如圖7,若點(diǎn)C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

        圖7

        圖8

        (2)在(1)的條件下,y是否有最大值?若有,請(qǐng)求出最大值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

        (3)如圖8,當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1)時(shí),在x軸上另取兩點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=1.線段EF在x軸上平移,線段EF平移至何處時(shí),四邊形ABEF的周長(zhǎng)最?。壳蟪龃藭r(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

        分析:本題中的第(3)題涉及的問(wèn)題是線段的最值問(wèn)題.如圖8,由于線段AB與線段EF為定值,所以求四邊形ABEF周長(zhǎng)的最小值,相當(dāng)于求BE+AF的最小值,于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)E在x軸的什么位置時(shí),BE+AF最小.此問(wèn)題是例1與例3的綜合.先把線段AF左移1個(gè)單位至A′E,求BE+AF的最小值就轉(zhuǎn)化為求BE+A′E的最小值.接下來(lái)作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接A′B′,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)E就這樣確定下來(lái)后,再在x軸上截取線段EF=1,則此時(shí)四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小.

        策略:本題綜合性比較強(qiáng),先運(yùn)用圖形的平移把題目轉(zhuǎn)化為例1模型,再用例1模型解決問(wèn)題.

        四、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)解決線段最值問(wèn)題

        例5(2014年通州區(qū)一模)如圖9,邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC中,M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接MB,將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段HN長(zhǎng)度的最小值是( ).

        圖9

        圖10

        分析:由于線段HN不改變位置無(wú)法解決問(wèn)題,只能根據(jù)題意轉(zhuǎn)化線段HN.把△HNB繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△GMB,此時(shí)G正好落在BC的中點(diǎn)處.這樣很順利地就把線段HN轉(zhuǎn)化為線段MG.于是根據(jù)“垂線段最短”的原理,當(dāng)MG⊥CH時(shí),MG最短,即HN最短.

        策略:當(dāng)題目中有明顯的旋轉(zhuǎn)變換而又無(wú)法直接解決線段最值問(wèn)題,想到用旋轉(zhuǎn)變換反過(guò)來(lái)轉(zhuǎn)回,以達(dá)到轉(zhuǎn)化線段的目的.

        五、運(yùn)用軌跡解決線段最值問(wèn)題

        例6 (2016年安徽)如圖11,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為( ).

        圖11

        圖12

        分析:本題顯然不能用上述方法解決.由于C是定點(diǎn),P是動(dòng)點(diǎn),所以CP的大小就由點(diǎn)P的位置來(lái)決定.本題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC內(nèi)何處時(shí),線段CP的長(zhǎng)最小.于是,我們就想到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題.由∠PAB=∠PBC,得∠APB=90°,所以點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上,連接OC交⊙O于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小.

        策略:本題解題關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置,明確點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓,然后利用圖13所示的基本圖形求出最值.

        綜合分析:以上方法,無(wú)論是軸對(duì)稱、平移還是旋轉(zhuǎn)或是軌跡圓,都是通過(guò)幾何作圖分析,運(yùn)用基本原理、基本圖形解決的.但有些幾何問(wèn)題,并不一定都通過(guò)幾何方法來(lái)解決的,有時(shí)要通過(guò)函數(shù)或方程思想來(lái)解決.

        圖13

        六、運(yùn)用函數(shù)思想解決線段最值問(wèn)題

        例7(2016年日照)如圖14,直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,Q是以C(0,-1)為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q的切線交線段AB于點(diǎn)P,則線段PQ的最小是_______.

        分析:此題中,點(diǎn)P的位置隨著點(diǎn)Q的位置變化而變化,又由于點(diǎn)Q在圓上,且PQ與圓C相切,所以用作圖的幾何方法很難解決.這時(shí),我們?cè)囈幌麓鷶?shù)思想:函數(shù)思想,想一下線段PQ與哪些線段有關(guān).不妨運(yùn)用切線常見(jiàn)的輔助線,連接CQ,連接CP,構(gòu)造了直角△PCQ,從而所以PQ的大小隨著CP的變化而變化,CP越小,PQ越小,而當(dāng)CP垂直AB時(shí)CP最小.求出了CP的最小值再代入上式就可求出PQ的最小值.

        圖14

        圖15

        策略:遇到此類題,千萬(wàn)不能放棄,記住一點(diǎn),幾何問(wèn)題并不一定都是通過(guò)幾何方法解決的,不要忘記函數(shù)思想、方程思想等代數(shù)思想,其中函數(shù)思想是求最值的常用方法.

        作為教師,我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)該立足教材,深挖教材,拓展例題習(xí)題,重視學(xué)生的探究;作為學(xué)生,解題不在多,要善于歸類反思,找到變化萬(wàn)千的試題背后最本質(zhì)的原理模型,這樣才能發(fā)展思維,拓展能力.H

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