賀紅林，李洪坤，李 冀，趙偉鵬，余志豪

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院,南昌 330063)

板件是航空航天結(jié)構(gòu)、高鐵車廂、艦船壁板、車輛構(gòu)架和工程機械重要的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)件。隨著現(xiàn)代機械結(jié)構(gòu)技術(shù)日益向功能復(fù)合化、輕量化、柔順化方向發(fā)展并隨著機械日益高速化、運行環(huán)境復(fù)雜化，板件振動及其引發(fā)的材料疲勞、結(jié)構(gòu)噪聲和機器工作質(zhì)量下降問題變得更加突出，因此板件減振設(shè)計已經(jīng)成為高速、高精密、重載機械動力學(xué)設(shè)計的重要問題[1-2]。從抑振方法層面講，可采用主動振動控制、被動式減振或主被動一體化技術(shù)降低板的振動，但前者實現(xiàn)起來較困難并會使抑振系統(tǒng)變得復(fù)雜，因此為方便實施并提高抑振系統(tǒng)可靠性，工程上多采用被動式方法。在板面敷設(shè)一層黏彈阻尼材料而使其成為自由阻尼結(jié)構(gòu)是最簡單板的減振形式，但它已被證明為減振效能不佳，此后在阻尼層外再增設(shè)一層薄金屬構(gòu)成約束阻尼結(jié)構(gòu)并試圖利用阻尼層高效的剪切耗能作用消弭振動，而后者卻成為了阻尼板減振的主流方式。在板面全域敷設(shè)阻尼材料理想取得較好減振效果，但它也帶來諸如質(zhì)量大增、阻尼材料效能低下等系列問題，特別是對于航空器這類須為減少每一克質(zhì)量而努力的場合，全域鋪設(shè)并非理想解決方案。因此保證減振效能基本不下降前提下，充分發(fā)掘阻尼材料減振效能并以最少阻尼材料消耗獲得最大結(jié)構(gòu)減振效力，便構(gòu)成阻尼板設(shè)計的基本問題。對此，人們開展了不少有成效的工作，比如文獻[3-4]引入類似于拓撲靜力學(xué)優(yōu)化方法解決阻尼板減振優(yōu)化問題，文獻[5]用移動漸近線法對建立的拓撲優(yōu)化模型進行求解，文獻[6]提出增材式漸進拓撲優(yōu)化法，文獻[7]則以聲壓為優(yōu)化目標并利用漸進優(yōu)化算法獲得阻尼材料的最優(yōu)布局。但漸進法優(yōu)化效率較低且優(yōu)化結(jié)果易趨局域化。為此人們又研究變密度法在阻尼板中的應(yīng)用，比如張志飛等[8]基于變密度法求解出自由阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型并驗證了該方法的有效性；文獻[9]解決了多模態(tài)諧振激勵條件下阻尼板優(yōu)化配置問題；文獻[10]研究了以模態(tài)阻尼比最大為目標的變密度阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)；文獻[11]解算出基于RAMP(rational approxination of material properties)插值模型的阻尼板優(yōu)化構(gòu)形；李攀等[12]基于SIMP(solid isotropic material with penalization)模型并采用常規(guī)優(yōu)化準則法優(yōu)化阻尼板而顯著降低了其頻響幅值?；谧兠芏鹊膬?yōu)化準則法數(shù)學(xué)意義嚴謹、迭代效率較高并且對問題規(guī)模并無太多限制，當(dāng)用于靜力學(xué)拓撲迭代時因能確保拓撲變量為正，故優(yōu)化效果較理想，但當(dāng)用于動力學(xué)優(yōu)化問題時則因目標函數(shù)不一定有嚴格凸性，故不能保證迭代出的拓撲密度非負，從而導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不一定具全域優(yōu)化性[13-14]。為提高阻尼板優(yōu)化質(zhì)量并發(fā)揮變密度法優(yōu)勢，本文規(guī)劃出MO-RAMP(Multi-order RAMP)材料插值模型，根據(jù)序列凸規(guī)劃理論對常規(guī)準則法進行改進，提出采用基于MO-RAMP的改進準則法實現(xiàn)阻尼板拓撲迭代，以解決常規(guī)變密度法的優(yōu)化構(gòu)型不清晰、迭代效率不高以及優(yōu)化結(jié)果局域化等問題。

1 動力學(xué)模型及模態(tài)損耗因子

阻尼板振動時因其約束層與阻尼層拉壓變形量不一致，導(dǎo)致阻尼層材料內(nèi)部產(chǎn)生顯著的剪切應(yīng)變，從而耗散掉結(jié)構(gòu)大量的有害振動能。由于阻尼材料力學(xué)本構(gòu)復(fù)雜，因此若要準確表征剪切耗能效應(yīng)則難度很大，故為簡化分析，工程上針對求解精度要求不太高的黏彈阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，常引入復(fù)值剪切模量模型度量其耗能特性，即

(1)

(2)

考慮到其幾何構(gòu)型和力邊界的復(fù)雜性，故對一般構(gòu)型阻尼板，采用有限元法求解其動力學(xué)參數(shù)為宜。為此分別對阻尼板基層、阻尼層、約束層進行網(wǎng)格化離散，并利用最小勢能原理建立單元的動力學(xué)平衡方程

(3)

(4)

(5)

當(dāng)用模態(tài)迭加法求解式(4)時可給出其齊次解形式

(6)

(7)

Rao[15]推導(dǎo)出模態(tài)損耗因子與復(fù)數(shù)圓頻率間的關(guān)系為

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)則得模態(tài)損耗因子算式

(10)

3 減振優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

模態(tài)損耗因子是一個可度量結(jié)構(gòu)耗能抗振特性的綜合指標，且其值愈大則結(jié)構(gòu)抗振性愈佳。但對于以目標函數(shù)的梯度作為尋優(yōu)基礎(chǔ)的優(yōu)化方法如優(yōu)化準則法等，卻要求目標函數(shù)以最小化形式呈現(xiàn)，故此定義模態(tài)損耗因子倒數(shù)值為優(yōu)化目標。根據(jù)拓撲優(yōu)化特點及結(jié)合變密度法要求，設(shè)定阻尼層單元及其對應(yīng)約束層單元的相對密度為拓撲變量。就板件而言，對其結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)產(chǎn)生主要貢獻的往往模態(tài)頻率處于載荷激勵頻區(qū)的少數(shù)幾階模態(tài)，即便是這些模態(tài)，其振動貢獻度也可能大小不一，在優(yōu)化模型應(yīng)能體現(xiàn)出其主次。為此，將各階模態(tài)損耗因子的倒數(shù)值加權(quán)求和構(gòu)成最終的優(yōu)化目標函數(shù)。在阻尼板上全域性敷設(shè)阻尼不僅會明顯增加質(zhì)量并使阻尼層減振效能低下，而且還可能導(dǎo)致板的動力學(xué)特性劇變，這意味著在謀求減振效能時還應(yīng)嚴控阻尼材料使用量及結(jié)構(gòu)頻率等。綜上因素，建立阻尼板減振優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下

(11)

3 優(yōu)化模型的迭代求解

3.1 GCMOC迭代方法

阻尼板優(yōu)化模型一旦建立便將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)換成為數(shù)學(xué)問題，接下來便須采用適宜方法求解規(guī)范化最優(yōu)化問題，此時優(yōu)化準則法(optimality criteria method，OC)即成為一個重要的求解方法選項。常規(guī)OC法是從力學(xué)或物理觀點出發(fā)，根據(jù)有一定依據(jù)的假設(shè)，預(yù)先規(guī)定一組優(yōu)化設(shè)計須滿足的準則，然后根據(jù)這些準則構(gòu)建迭代式，最后通過迭代實現(xiàn)以得到優(yōu)化結(jié)果。其迭代求解分析過程與拓撲變量數(shù)量及問題難易程度無關(guān)，并具有收斂快、原理簡單、易實現(xiàn)特點，故特別適于設(shè)計變量眾多、計算復(fù)雜的優(yōu)化問題，而動力學(xué)拓撲優(yōu)化恰是具有該特征的問題。但OC法也存在一個致命缺陷，即它要求目標函數(shù)具有嚴格數(shù)學(xué)凸性，否則難以迭代出全局性最優(yōu)解。因此為提高優(yōu)化迭代質(zhì)量，本文對常規(guī)OC準則法進行改進而引入全域性改進優(yōu)準則法GCMOC (global extreme point converged by method of optimization criterion)求解減振優(yōu)化模型。GCMOC的思路是：以序列凸規(guī)劃理論為手段，通過引入移動參數(shù)構(gòu)建動力學(xué)優(yōu)化目標函數(shù)凸性逼近函數(shù)，借助對逼近函數(shù)的優(yōu)解算而得到原目標函數(shù)的全域性解。為此，首先基于式(11)構(gòu)建無約束拉格朗日函數(shù)

(12)

式中，Λ、βe、γe均為拉格朗日乘子。然后，引入移動參數(shù)c構(gòu)造逼近ξ的凸性動態(tài)函數(shù)ξ*，亦即令

ξ=ξ*+cV,Λ=Λ*-c

(13)

接著，借助泰勒級數(shù)展開而構(gòu)建ξ*的無限逼近函數(shù)

(14)

綜合式(13)、式(14)并且針對式(12)運用Kuhn-Tucker最小化條件，便可建立ae與c之間關(guān)系且得到拉格朗日函數(shù)式(12)的改造形式

(15)

(16)

式中，Ω、-Ω、+Ω分別為拓撲變量中間值、最小值、最大值的集合。最后，針對式(15)運用K-T條件，則得GCMOC拓撲設(shè)計變量的優(yōu)化迭代式

(17)

式中，m為設(shè)計變量更新移動的極限值。

3.2 拓撲棋盤格問題的處理

針對拓撲迭代中可能出現(xiàn)的棋盤格問題和網(wǎng)絡(luò)依賴性，提出采用Sigmund獨立網(wǎng)格濾波技術(shù)對單元靈敏度值進行獨立濾波，即直接用過濾半徑rmin之內(nèi)的各單元靈敏度?ξ/?xi的加權(quán)平均值，代替當(dāng)前單元的靈敏度，則濾波后的單元靈敏度的值為

(18)

(19)

式中:rmin為濾波半徑；dist(i,j)為單元i與計算單元中心的距離。

4 基于MO-RAMP的目標函數(shù)靈敏度

4.1 目標函數(shù)靈敏度通式推導(dǎo)

解算結(jié)構(gòu)拓撲動力學(xué)優(yōu)化模型時，需使拓撲設(shè)計變量在可行性域內(nèi)動態(tài)地沿某個方向迭代。目標函數(shù)的靈敏度可表征目標函數(shù)的最速下降方向，可為目標函數(shù)迭代提供最佳更替方向。特別是，式(15)清晰地表明，要完成拓撲設(shè)計變量更迭就須計算目標函數(shù)的靈敏度。由式(10)可知，目標函數(shù)靈敏度可寫成

(20)

可見為求解式(20)須先計算?ζr/?xe。由式(10)可得

(21)

(22)

式(22)對拓撲設(shè)計變量求導(dǎo)，可得到

(23)

(24)

(25)

(26)

將式(24)代入式(26)可得

(27)

根據(jù)式(26)可知，對于任意單元e都有

(28)

(29)

同理可得約束層應(yīng)變能靈敏度以及基層與約束層之組合體的應(yīng)變能靈敏度

(30)

(31)

4.2 MO-RAMP材料插值模型

4.2.1 MO-RAMP函數(shù)形式

拓撲動力學(xué)優(yōu)化與一般優(yōu)化問題的最大不同在于它必須將拓撲設(shè)計變量的優(yōu)化值盡量推向0或1，盡量避免迭代出處于0.5鄰域內(nèi)的拓撲變量值。故在針對以單元相對密度為拓撲變量的變密度優(yōu)化問題時，為實現(xiàn)單元密度值0、1二值化，不僅須在阻尼單元密度與彈性模量之間建立明確的函數(shù)關(guān)系，而且要求該函數(shù)應(yīng)具明顯迭代懲罰功能，以便據(jù)此規(guī)避可能迭代出大量中間密度值問題。RAMP插值函數(shù)用于靜力學(xué)拓撲優(yōu)化時，能在對處于[0,1] 區(qū)間內(nèi)的單元相對密度值進行較好的懲罰，并通過壓縮中間密度單元而向0～1兩端聚攏，以實現(xiàn)拓撲優(yōu)化并取得較好優(yōu)化效果。有鑒于此，它也偶爾引入到拓撲動力學(xué)優(yōu)化領(lǐng)域，該插值函數(shù)的數(shù)學(xué)形式為

(32)

然而常規(guī)RAMP模型用于動力學(xué)拓撲迭代材料處罰時已證明會帶來較多中間密度值，不利于優(yōu)化構(gòu)型實施，并且還使實際優(yōu)化效果大打折扣。為此，本文基于多階次依序懲罰之思路，構(gòu)造了基于多階RAMP函數(shù)的MO-RAMP(multi-order RAMP)材料插值模型，該模型的實現(xiàn)流程如圖1所示。

圖1 MO-RAMP插值模型計算流程Fig.1 Calculation flow of MO-RAMP interpolation model

由圖1可見，MO-RAMP的基本思想是用RAMP中的f(xe)不斷地代替xe并使該過程重復(fù)n次。這樣做的目的是，使插值函數(shù)曲線下凹得更多并使函數(shù)曲線在1附近的斜率增加加快并使其在0附近增度減慢，以此逼近理想插值函數(shù)形態(tài)。經(jīng)推導(dǎo)并簡化后，MO-RAMP插值函數(shù)的表達式可寫成如下一般形式

(33)

式中：p為懲罰因子；n為MO-RAMP的階次。

圖2為不同模型階次的插值函數(shù)幾何形狀，從圖中看出，隨著模型階次增大，函數(shù)曲線的下凹趨勢越明顯，并且這些插值函數(shù)能夠較好地使原本相對密度值處在0.65～1.00內(nèi)的單元迅速推送到1，同時使相對密度在 0～0.65內(nèi)單元迅速趨近于0。因此，與單階次的RAMP相比，MO-RAMP插值模型對中間密度的懲罰更為強烈而高效，故基本具備理想插值函數(shù)的樣態(tài)。

圖2 不同階次的MO-RAMP函數(shù)形狀Fig.2 Shape of MO-RAMP function

4.2.2 MO-RAMP材料插值模型

基于MO-RAMP插值函數(shù)的形式并結(jié)合變密度式拓撲動力學(xué)優(yōu)化要求，同時比照SIMP材料插值模型構(gòu)造方法，不難規(guī)劃出阻尼層的MO-RAMP材料插值模型，即為

(34)

(35)

4.2.3 優(yōu)化目標函數(shù)靈敏度

為推導(dǎo)MO-RAMP插值模型下的優(yōu)化目標函數(shù)靈敏度，令式(34)中的質(zhì)量陣對拓撲變量求導(dǎo)，則得阻尼層質(zhì)量陣分量靈敏度算式

(36)

將式(34)中剛度陣求導(dǎo)則得阻尼層的剛度陣靈敏度

(37)

式(37)中，χe(p+1)n/{(p+1)n-[(p+1)n-1]xe}同理可得

(38)

將式(36)～式(38)代入式(31)則得MO-RAMP插值意義下的阻尼板單一模態(tài)目標函數(shù)靈敏度計算式

(39)

5 算例分析及實驗印證

5.1 典型算例分析

為探討算法性能，利用ANSYS APDL編寫了基于MO-RAMP、RAMP、SIMP插值模型的阻尼板優(yōu)化程序，且先針對某矩形板進行計算，該板的情況：長0.8 m，寬0.4 m；基層厚4 mm，約束層厚1.5 mm，阻尼層厚1 mm；基層和約束層采用相同材料且彈性模量43.2 GPa，密度1 810 kg/m3，泊松比0.33；阻尼層材料彈性模量2.5 MPa，密度1 150 kg/m3，泊松比0.58；阻尼板各層均離散出30×15個網(wǎng)格單元；板的幾何約束：左端固支+右端自由。優(yōu)化迭代時控制阻尼材料用量不超過初始體積量的50%，濾波半徑取為30 mm，并分別對板的前3階模態(tài)及多階模態(tài)復(fù)合目標(前3階模態(tài)加權(quán)求和，權(quán)重因子則為w1=w2=w3=1/3)進行了優(yōu)化。優(yōu)化迭代求解過程中，令懲罰因子p=3，且取定MO-RAMP模型階次n=3；在用3種模型推進迭代時，均采用相同的濾波算法和濾波半徑。圖3給出了3種插值模型的優(yōu)化構(gòu)型對比，圖中的深灰色表示相對密度值趨于1，黑色表示密度趨于0，灰白色則表示密度值接近0.5。根據(jù)圖中展示的不同階次模態(tài)的優(yōu)化密度分布云情況，不難看出，采用MO-RAMP插值解算出的優(yōu)化構(gòu)型最為清晰明快，構(gòu)型的絕大多數(shù)單元密度值或者為1或者為0，并且密度云中密度值接近于0.5的中間密度單元占比明顯比RAMP和SIMP得到結(jié)果明顯要少。這說明MO-RAMP對中間密度單元取得了明顯的懲罰效果。當(dāng)然也看到，即便采用RAMP插值則所求得的中間密度單元也比SIMP要少一些，這說明其對中間密度懲罰效果比SIMP好。此外，還可看到基于MO-RAMP的迭代避免了棋盤格的出現(xiàn)。

(a)MO-RAMP法1階

圖4給出了基于MO-RAMP插值模型的優(yōu)化構(gòu)型迭代進程。從圖中看出，當(dāng)基于MO-RAMP模型分別針對1階模態(tài)和多階模態(tài)復(fù)合目標進行優(yōu)化時，其迭代進程均在第8步左右開始進入收斂狀態(tài)，在此后各迭代步中，構(gòu)型只出現(xiàn)微小的變化，并且1階模態(tài)損耗因子值最終收斂到0.141，而多階模態(tài)復(fù)合損耗因子值則收斂到0.125。

(a)針對一階模態(tài)的構(gòu)型迭代

圖5給出了分別采用MO-RAMP和RAMP插值模型對阻尼板進行優(yōu)化時，模態(tài)耗損因子的迭代進程。從圖中不難看出，當(dāng)采用MO-RAMP插值模型推進優(yōu)化迭代時，所得到的優(yōu)化構(gòu)型對應(yīng)的1階模態(tài)損耗因子值比采用RAMP插值模型所得的結(jié)果更大，這表明MO-RAMP優(yōu)化具有更好的減振效能。

圖5 MO-RAMP與RAMP的模態(tài)損耗因子迭代Fig.5 Iterations of modal loss factor based on RAMP and MO-RAMP

作為板的優(yōu)化構(gòu)形設(shè)計，除了必須滿足減振特性要求之外，還要求它具有與原構(gòu)形接近的頻率特性。圖6給出了前3階模態(tài)頻率的迭代過程，從圖中看出，MO-RAMP與RAMP的前2階頻率迭代情況基于趨于一致，而在第3階頻率上則MO-RAMP的結(jié)果比RAMP大了且更接近于結(jié)構(gòu)原頻率?？梢?，MO-RAMP優(yōu)化出構(gòu)型可以在基本不改變結(jié)構(gòu)固有特性前提下，對于各階模態(tài)具有更好的減振效果。

圖6 基于MO-RAMP 與RAMP模態(tài)頻率迭代Fig.6 Iteration of frequency by RAMP and MO-RAMP

表1羅列了基于不同插值模型優(yōu)化而得的阻尼板優(yōu)化指標值。表中可見，就模態(tài)損耗因子指標而言，能使1階模態(tài)損耗因子取得最大值的是基于MO-RAMP模型求得的優(yōu)化構(gòu)型，而使多階復(fù)合模態(tài)損耗因子最大的雖為SIMP但該值與MO-RAMP求得的結(jié)果相差不大；從模態(tài)頻率指標來看，使一階頻率變化最小的也為MO-RAMP；而從迭代推進情況看，迭代收斂步數(shù)最少的仍是 MO-RAMP插值模型。這充分表明：若采用MO-RAMP模型，則能夠保證在結(jié)構(gòu)頻率特性基本不變的條件，更為高效地迭代出更理想的拓撲優(yōu)化構(gòu)型。

表1 3種插值模型的優(yōu)化性能對比Tab.1 Optimal characteristics of interpolation models

5.2 試驗結(jié)果印證

為使本文工作得到一定的試驗佐證，本文還專門針對李攀等研究中阻尼板進行了優(yōu)化計算。該阻尼板的拓撲優(yōu)化構(gòu)形是由李攀得到，并且經(jīng)過試驗驗證是比較合理的。表2列出了該阻尼板的情況。

表2 李攀等研究中的阻尼板基本參數(shù)Tab.2 Parameters of damping plate in research on Li Pan et al

該板有限元離散時，將其各層劃分出20×10個網(wǎng)格單元。體積約束仍設(shè)定50%，濾波半徑取15 mm，.分別采用SIMP、RAMP、MO-RAMP推進優(yōu)化迭代。考慮李攀等的研究采用常規(guī)OC法，故為便于對比，本文的SIMP插值也采用OC，但針對其他插值模型則用GCMOC算法。圖7給出基于各插值模型迭代出關(guān)于1階模態(tài)優(yōu)化的密度云分布，圖中可見，本文基于MO-RAMP求得的優(yōu)化構(gòu)型與李攀等的研究展示的優(yōu)化構(gòu)型總體上還是比較接近的，這就說明本文得到拓撲構(gòu)型具有構(gòu)型優(yōu)化的特質(zhì)。至于本文結(jié)果與李攀等的研究的結(jié)果并非完全相同，這主要是因它們使用了不同的插值模型、采用了不同的迭代算法以乃至于濾波半徑所致。

(a)未優(yōu)化-全覆蓋

為進一步驗證基于MO-RAMP求得的優(yōu)化構(gòu)型的正確性和有效性，本文對具有優(yōu)化構(gòu)型的阻尼板進行了諧響應(yīng)分析，并將其結(jié)果與李攀等的試驗結(jié)果對比。圖8給出了激振點和振動響應(yīng)提取點。

圖8 阻尼板的激振點和提取點位置Fig.8 Excitation and test points on damping plate

圖9展示了未經(jīng)優(yōu)化的原阻尼板和經(jīng)SIMP插值優(yōu)化而得阻尼板的試驗結(jié)果，以及分別經(jīng)MO-RAMP 和RAMP插值優(yōu)化而得阻尼板諧響應(yīng)分析結(jié)果。圖中可見，在前3階振動模態(tài)的峰值響應(yīng)中，振幅最小的均發(fā)生在MO-RAMP模型優(yōu)化出的阻尼板構(gòu)型上，同時該構(gòu)型的頻率變化也最小，并且它還不會出現(xiàn)中間微小振蕩。這就進一步驗證了MO-RAMP插值模型的有效性及其績優(yōu)性。

圖9 優(yōu)化阻尼板的幅頻響應(yīng)對比Fig.9 Harmonic responses of the optimized plate

6 結(jié) 論

(1)以模態(tài)損耗因子最大化為目標，建立了以阻尼和約束單元相對密度為拓撲變量，以阻尼層材料體積用量為約束，并以模態(tài)頻率范圍為控制的約束阻尼板優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

(2)構(gòu)建了優(yōu)化目標函數(shù)的動態(tài)凸性逼近函數(shù)，通過對逼近函數(shù)進行優(yōu)化求解，改進了OC法。改進準則法可實現(xiàn)阻尼板全域性拓撲尋優(yōu)。

(3)多階次RAMP插值函數(shù)在形狀上具有較理想的可控性幾何下凹特征，據(jù)此提出在拓撲動力學(xué)優(yōu)化中利用MO-RAMP材料插值模型對拓撲變量進行懲罰，從而有效地推進優(yōu)化迭代進程。

(4)基于MO-RAMP的改進準則法，可以將阻尼板拓撲設(shè)計變量值迅速推送至0或1，能得到非常清晰的拓撲優(yōu)化構(gòu)型；能在大幅減少阻尼材料用量情況下充分發(fā)揮其耗能效力；能在保證阻尼板動力學(xué)特性基本不變前提下，使阻尼板獲得更佳減振效果，并得到便于實現(xiàn)的阻尼層優(yōu)化構(gòu)型。