林淑金

[摘 要]以教材為根本，結(jié)合歷年中考真題，重視教材中相關(guān)知識點和重要幾何模型的梳理，是教師在上每節(jié)新課前要做的功課.教師應(yīng)重視挖掘教材，并靈活拓展，讓學(xué)生真正進(jìn)行深度學(xué)習(xí).教師教學(xué)，既立足教材，又靈活拓展，能有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞]角平分線;性質(zhì)定理;教材

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0018-03

一、學(xué)情分析

《角平分線》是北師大版教材八年級下冊《三角形的證明》中的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)在七年級探索并認(rèn)識了角平分線的性質(zhì)定理，在八年級上冊學(xué)習(xí)了“互逆命題”“互逆定理”的概念，具備了一定的幾何推理能力，基本掌握了幾何圖形研究的一般思路和方法，但是對定理間的內(nèi)在聯(lián)系及定理的應(yīng)用缺乏深入的研究.我們借助引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)角平分線性質(zhì)的逆定理（在一個角的內(nèi)部，到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），讓學(xué)生厘清定理間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到學(xué)以致用的目的.

二、教學(xué)重難點

重點：證明角平分線的性質(zhì)定理，探索并證明角平分線的判定定理（性質(zhì)的逆定理）;能運用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決問題.

難點：命題中的條件對命題的影響;歸納整理出幾何模型.

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生分析角平分線性質(zhì)定理中包含的條件和結(jié)論，并合理調(diào)換條件和結(jié)論的位置產(chǎn)生新的命題，展開對新命題的研究.落實學(xué)生的主體地位，提高課堂教學(xué)效率.

（2）通過對新命題的深入研究，提煉歸納對角互補的幾何模型，加強(qiáng)幾何模型歸納和應(yīng)用的意識.

四、教學(xué)過程

1.理解角平分線的性質(zhì)定理

角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.

問題1：“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這個命題的條件和結(jié)論分別是什么？

學(xué)生回答：條件是角平分線上的點到兩邊的距離，結(jié)論是相等.

問題2：你能結(jié)合圖形用幾何語言正確表達(dá)出來嗎？

學(xué)生動手畫圖，書寫已知和求證.

已知：如圖1，點[P]在[∠AOB]的平分線[OC]上（改成[OC]平分[∠AOB]，點[P]在[OC]上），[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，垂足分別為[D]，[E].

求證：[PD=PE].

問題3：這個命題證明的主要思路是什么？

學(xué)生：兩角一邊的條件可以證明兩個三角形全等，進(jìn)而證明對應(yīng)線段相等.

問題4：你能用幾何語言表達(dá)這個定理嗎？

學(xué)生：可以.∵[OP]平分[∠AOB]，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]

∴[PD=PE].

師：標(biāo)注條件①②③.

角平分線的性質(zhì)定理就是①②?③.

①[OP]平分[∠AOB];② [PD⊥OA]，[PE⊥OB];③ [PD=PE].

設(shè)計意圖：教材中對這個定理的證明有完整的過程，教師的作用是引導(dǎo)學(xué)生分析定理中的條件和結(jié)論并正確表達(dá)出來.通過畫圖（如圖2）、標(biāo)注條件、編朗朗上口的句子、畫完整的圖形等教學(xué)細(xì)節(jié)，使學(xué)生加深對定理的理解.

2.角平分線判定定理的探索

問題5：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.這個定理的逆命題是什么？是真命題嗎？

學(xué)生：到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.（其實學(xué)生不太懂，課本上寫著就照念了）

問題6：標(biāo)注條件角平分線的性質(zhì)是①②?③，性質(zhì)的逆命題大多數(shù)是它的判定定理.例如兩直線平行，內(nèi)錯角相等;內(nèi)錯角相等，兩直線平行.前者是平行線的性質(zhì)定理，后者是平行線的判定定理.那么角平分線的性質(zhì)定理的逆命題是①③?②還是②③?①？

學(xué)生回答：②③?①.

問題7：你能結(jié)合圖形（如圖3）寫出條件和結(jié)論嗎？

學(xué)生：可以.

已知：（補充“點[P]為[∠AOB]內(nèi)一點”）如圖4，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，垂足為[D]，[E]，[PD=PE].

求證：[OP]平分[∠AOB].

問題8：這個命題證明的主要思路是什么？

學(xué)生：一角兩邊的條件可以證明兩個三角形全等，進(jìn)而證明對應(yīng)角相等.

師：不夠準(zhǔn)確，這里的兩邊一角并不是[SAS].應(yīng)該是直角三角形的[HL]證明兩個三角形全等，進(jìn)而證明對應(yīng)角相等，得角平分線.

問題9：你能用幾何語言表達(dá)這個定理嗎？

學(xué)生：可以.

∵如圖4，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]， [PD=PE]，

∴[OP]平分[∠AOB].

師：標(biāo)注條件①②③.

①[OP]平分[∠AOB];②[PD⊥OA]，[PE⊥OB];③[PD=PE].

角平分線的性質(zhì)定理就是①②?③.

角平分線的判定定理就是②③?①.

設(shè)計意圖：在幾何教學(xué)中，我們會遇到很多的互逆定理，這些定理很多時候都是圖形的性質(zhì)定理和判定定理.教學(xué)時，教師可以不斷地使用“同位角相等，兩直線平行;兩直線平行，同位角相等”這兩個最初的互逆定理來啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過程中能夠厘清知識點之間的關(guān)系.

3.對條件和結(jié)論調(diào)換位置產(chǎn)生的新命題

問題10：上面的標(biāo)注條件①②③，有①②?③，還有②③?①，那么有沒有①③?②，大家動手畫圖試看看.

學(xué)生：應(yīng)該有吧.

師：根據(jù)已知條件，邊演示邊講解.

問題11：如圖5：這個作圖過程說明了什么問題？

師生：已知[OP]平分[∠AOB]，[PD=PE]（以[P]為圓心，[PE]的長度為半徑畫圓，交[OA]于[D]點），但不能保證 [PD⊥OA]，[PE⊥OB]，也就是①③?②這個命題是假命題.這也說明了條件②是研究角平分線定理的前提條件，標(biāo)注條件①③分別作為條件和結(jié)論構(gòu)成了互逆定理，這樣也符合互逆命題的概念.

問題12：如圖6、圖7，已知[OP]平分[∠AOB]，[D]，[E]分別在[OA]，[OB]上，且[PD=PE].

師：大家分組看看，針對這樣的已知，可能會提什么問題呢？（設(shè)計題目）

生1：如圖8，若[PE=PD=5]，[OE=8]，點[P]到[OB]邊的距離等于4，[OD=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

師：出題者上臺講題.

針對已知題設(shè)可能會出現(xiàn)的兩種情況，根據(jù)尺規(guī)作圖很容易分類討論.

這類填空題是有區(qū)分度的好題.

生2：如圖9，求證[△ODP≌△OEP].

師：很好，我們分析一下條件.[∠DOP=∠EOP]，[OP=OP]，[PD=PE]能直接證明嗎？

生2：（上臺講題）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理作輔助線[PN]，[PM]得[PN=PM];再根據(jù)[HL]證明[△PDN≌△PEM]，間接得到[∠ODP=∠OEP];最后根據(jù)[∠ODP=∠OEP]，[∠DOP=∠EOP]，[OP=OP]，證明[△ODP≌△OEP].

師：非常好.根據(jù)圖形直觀判斷，我們肯定可以證明兩個三角形全等.在條件不滿足全等判定條件時，我們通過二次全等得以證明，生2思路很清楚.

生3：如圖6，求證[∠ODP=∠OEP]，[OD=OE].

師：根據(jù)上面問題的解答，這個問題就很顯然了吧？延續(xù)生2的全等三角形思路，對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等就沒有問題了.大家再想想如圖7的情況可以求證什么？兩個三角形全等？[∠ODP=∠OEP]？

生：不可能，看著就不相等.

師：角不能相等可能會有什么其他數(shù)量關(guān)系？

生4：如圖10，求證[∠ODP+∠OEP=180°].

師：非常合理的猜測，證明看看.

生4：（上臺講題）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理作輔助線[PN]，[PM]得[PN=PM];再根據(jù)[HL]證明[△PDN≌△PEM]，得到[∠ODP=∠PEM]，間接可以得到[∠ODP+∠OEP=180°].

師：好棒！思路清晰，講解完整！點C在角平分線上的位置不同，圖形也不一樣，如圖11、圖12、圖13.

問題13：應(yīng)用我們這節(jié)課所學(xué)，大家能否解下面的題目？

已知：如圖14，在四邊形[ABCD]中，[∠ADC+∠ABC=180°]，[AC]平分[∠BAD].求證：[BC=CD].

問題14：角平分線，對角互補，線段相等，三條件解題的關(guān)鍵是：角平分線基本圖形輔助線是什么？

學(xué)生：兩垂直.

師：非常棒！動手試看看，誰可以上臺來講題？

生：作兩垂直線段如圖15，根據(jù)對角互補可以得到[∠ABC=∠CDM]，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到[CN=CM].還有直角這個條件，就可以證明[△BCN≌△DCM].

師：看來大家都非常熟練掌握了角平分線的性質(zhì)定理，對于它的基本圖形中的兩垂直也是印象深刻.對角互補的模型應(yīng)用值得我們繼續(xù)研究，將它整理成一個專題，希望你們在課后查有關(guān)對角互補模型的資料，我們下節(jié)課再來一起分享和展示.

設(shè)計意圖：對于初中階段出現(xiàn)的幾何模型，學(xué)生一直是一知半解，大多是在解題時教師才提及這個就是對角互補的模型.但是對于各個幾何模型的根源及原生形態(tài)，很少有人提及.筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重拓展知識的自然性，有助于學(xué)生在解決問題時能聯(lián)想到最原始的基本圖形，分解圖形，降低難度.

4.課后作業(yè)

（1）如圖16，[∠AOB=∠DCE=90°]，[OC]平分[∠AOB]，求證：[CD=CE]，[OD+OE=2OC].

（2）如圖16，[∠AOB=∠DCE=90°]，[CD=CE]，求證：[OC]平分[∠AOB].

以教材為根本，結(jié)合歷年中考真題，重視教材中相關(guān)知識點和重要幾何模型的梳理，是教師在上每節(jié)新課前要做的功課.教師應(yīng)重視挖掘教材，并靈活拓展，讓學(xué)生真正進(jìn)行深度學(xué)習(xí).

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 佩利格里諾，希爾頓，沈?qū)W珺.運用深度學(xué)習(xí)提高21世紀(jì)能力[J].上海教育科研，2015（2）：1.

[2]? 朱紹志.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要追求“五精”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（35）：46-49.

[3]? 李軍.重視互逆命題教學(xué)，提高解題教學(xué)品位[J].中學(xué)教學(xué)，2014（14）：32-33.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）