◆俞鐘行/ 文

很多DOE（試驗(yàn)設(shè)計(jì)）專家的著作都只講單指標(biāo)的DOE，如Montgomery、Box、田口玄一、任露泉、吳建福等，但在我們的實(shí)際工作中經(jīng)常面臨多指標(biāo)的DOE。而現(xiàn)在介紹多指標(biāo)DOE文獻(xiàn)所采用的方法，基本是在獲得單指標(biāo)最佳參數(shù)組合的基礎(chǔ)上，根據(jù)有關(guān)試驗(yàn)的專業(yè)知識(shí)（如精礦粉造球、注塑成型、焊接工藝等）來(lái)做取舍。本文完全根據(jù)數(shù)據(jù)本身的情況，即根據(jù)“算法”做出分析和優(yōu)化的流程，便于用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)施和標(biāo)準(zhǔn)化。

1.原例介紹[1]

為了提高鋼簾線的抗拉強(qiáng)度Y和斷面收縮率Z，選擇4個(gè)因素，每個(gè)因素4個(gè)水平（見(jiàn)表1），施行中科院推薦正交試驗(yàn)L16（45），試驗(yàn)方案、所得數(shù)據(jù)與極差分析結(jié)果，列于表2。

表1 因素水平表

原文獻(xiàn)的弱點(diǎn)是缺乏處理多指標(biāo)DOE數(shù)據(jù)的手段。它采取的策略是：在抗拉強(qiáng)度大于833MPa的情況下選擇各因子水平中斷面收縮率最大的結(jié)果是A2B4C3D3。實(shí)際上就是表2第3次試驗(yàn)的參數(shù)組合。原文獻(xiàn)選出的最佳參數(shù)組合具體為——A：退火電流取51A；B：退火時(shí)間取8s；C：保溫電流取26A；D：保溫時(shí)間取12s。做3次試驗(yàn)抗拉強(qiáng)度Y平均值為959.42MPa，斷面收縮率Z平均值為65.2%，滿足生產(chǎn)要求。

2.用“因素趨勢(shì)法”[2]分析數(shù)據(jù)

下面基于excel，用“因素趨勢(shì)法”來(lái)分析上例所得數(shù)據(jù)。分為3步：⑴畫出每個(gè)指標(biāo)的因素趨勢(shì)圖；⑵通過(guò)“插項(xiàng)”，用excel的“回歸”模塊獲得每個(gè)指標(biāo)擬合優(yōu)度高的回歸方程；⑶把兩個(gè)指標(biāo)各自的回歸方程合在一起（即相加），用excel的“規(guī)劃求解”選優(yōu)。

⑴先求抗拉強(qiáng)度Y的回歸方程，為此，根據(jù)表2畫出它的因素趨勢(shì)圖（圖1）。因素A和C都呈倒V型形狀，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，它們是“2次項(xiàng)”。Excel上最后界面如表3所示。上述情況在“插項(xiàng)”后通過(guò)回歸結(jié)果都可以看到擬合優(yōu)度有顯著提升，最后的回歸結(jié)果如圖2所示。在“插項(xiàng)”前，Multiple R=0.544515、標(biāo)準(zhǔn)誤差=152.0385、Significance F= 0.380225、殘差= 254272.7，因素A、B、C和D的P-value= 0.365234、0.427139、0.398818和0.158097?，F(xiàn)在僅因素B的P-value較高，但它也正是最弱的因素。得到的回歸方程的常數(shù)項(xiàng)及各變量系數(shù)可從圖2下表中Coefficients列讀出?？估瓘?qiáng)度Y的回歸方程為：

圖2 抗拉強(qiáng)度Y的回歸分析結(jié)果

表2 L16（45）試驗(yàn)結(jié)果和極差分析

圖1 抗拉強(qiáng)度Y的因素趨勢(shì)圖

⑵再求斷面收縮率Z的回歸方程，為此根據(jù)表2畫出它的因素趨勢(shì)圖（圖3）。因素B和C是最強(qiáng)的兩個(gè)因素，且變化趨勢(shì)基本相反，有交互作用，“插項(xiàng)”后回歸證實(shí)成功。B和A變化趨勢(shì)相反，有交互作用，“插項(xiàng)”后回歸亦證實(shí)成功。Excel上最后界面如表3所示。上述情況在“插項(xiàng)”后通過(guò)回歸結(jié)果都可以看到擬合優(yōu)度有顯著提升，D因素的p值太大，刪去。最后的回歸結(jié)果如圖4所示。在“插項(xiàng)”前，Multiple R= 0.613544、標(biāo)準(zhǔn)誤差=21.7879、Significance F=0.2285811、殘差=5221.838，因素A、B、C和D的P-value=0.638832、0.086116、0.126432和0.735335。得到的回歸方程的常數(shù)項(xiàng)及各變量系數(shù)可從圖4下表中Coefficients列讀出。斷面收縮率Z的回歸方程為：

圖3 收縮率Z的因素趨勢(shì)圖

圖4 收縮率Z的回歸分析結(jié)果

表3 抗拉強(qiáng)度Y“插項(xiàng)”后的excel界面

⑶根據(jù)“運(yùn)籌學(xué)”的“多目標(biāo)決策”的“線性加權(quán)和法”，因?yàn)楸纠龑?duì)兩個(gè)指標(biāo)未賦權(quán)，直接把兩個(gè)回歸方程相加即可：W=Y+Z，并用excel的“規(guī)劃求解”選優(yōu)。由于“規(guī)劃求解”是局部選優(yōu)的，分別以初值為0與初值為表2中第3次試驗(yàn)（結(jié)果中最好的一次試驗(yàn)）選優(yōu)，得到的結(jié)果都是：當(dāng)A=51.80951、B=8、C=25.29205、D=10時(shí)，有最大值W=1189.739，且抗拉強(qiáng)度Y=1134.494、收縮率Z=55.24561。當(dāng)然需要驗(yàn)證。

若希望如原文獻(xiàn)表明的那樣，使收縮率更大些，可以設(shè)Z的權(quán)重為1.2，這樣W=Y+1.2Z，并用excel的“規(guī)劃求解”選優(yōu)。分別以初值為0與初值為表2中第3次試驗(yàn)選優(yōu)，得到的結(jié)果都是：當(dāng)A=51.81814、B=8、C=25.29194、D=10時(shí)，有最大值W=1200.793，且抗拉強(qiáng)度Y=1134.445、收縮率Z=66.74819，需要驗(yàn)證。若考慮仍用原來(lái)因素水平值，又靠近最優(yōu)組合的情況，即A=52（A3）、B=8（B4）、C=25（C2）、D=10(D1)，用W=Y+1.2Z擬合的結(jié)果是：W=1192.672、Y=1125.174、Z=67.49833，需要驗(yàn)證。如以原文所選最佳組合擬合，得W=1021.461，且抗拉強(qiáng)度Y=960.2488、收縮率Z=61.21187，與實(shí)測(cè)值頗為接近。

表4 收縮率Z“插項(xiàng)”后的excel界面

3.討論

客觀地講，回歸方程Y和Z里面雖然包含了有意識(shí)插入的平方項(xiàng)、交互作用項(xiàng)，比未“插項(xiàng)”前擬合優(yōu)度改進(jìn)很多，但嚴(yán)格來(lái)說(shuō)不是擬合得很好的。如Y的圖2方差分析表中，殘差平方和占總計(jì)平方和的比例=31.4%，Z的相應(yīng)比例=37.0%，這都說(shuō)明回歸方程是“失擬”的（工程上一般要求這個(gè)比例在5%～10%之間）。之所以未能擬合得更好，可能跟這個(gè)試驗(yàn)性質(zhì)本身有關(guān)，與4個(gè)水平的因素趨勢(shì)圖還不善于“插項(xiàng)”有關(guān)。本文用“因素趨勢(shì)法”獲得的最佳參數(shù)組合，無(wú)論是Y和Z等權(quán)的，還是Z加權(quán)為1.2的，都是L16（45）中原沒(méi)有的。不但追求的兩個(gè)指標(biāo)可能更好，而且還能兼顧能耗、時(shí)耗，因此值得關(guān)注和驗(yàn)證。