陸紅力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維。”這就要求我們在設(shè)計(jì)課堂活動時(shí)，要圍繞知識主干尋求思維載體，設(shè)計(jì)積極的、有效的思維活動。前不久，筆者聽了兩節(jié)“與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題”的復(fù)習(xí)課，很有感觸。下面以此課題為例，圍繞“生長型”理念，將個(gè)人的一些思考進(jìn)行闡述。

一、課題分析

1.教學(xué)目標(biāo)分析。

（1）掌握反比例函數(shù)表達(dá)式中比例系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的基本圖形以及解決與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題的方法。

（2）通過開放性問題的設(shè)計(jì)培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力;通過圖形變式提升學(xué)生的觀察能力;通過一題多解、一題多變培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理的能力，滲透數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

（3）通過對開放性問題的自主探究、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生合作、創(chuàng)新、自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識，增強(qiáng)學(xué)生自信心，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性發(fā)展。

2.教學(xué)內(nèi)容分析。

本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊第11章“反比例函數(shù)”的專題復(fù)習(xí)課，屬于“數(shù)與代數(shù)”的范疇，是反比例函數(shù)知識的拓展與延伸，也是后面解決函數(shù)與面積問題的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課從某種意義上起到了承上啟下的作用。該內(nèi)容對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，形成數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)有著重要的作用?；谝陨戏治?，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是利用反比例函數(shù)表達(dá)式中比例系數(shù)k的幾何意義解決有關(guān)面積問題。

3.學(xué)情分析。

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“與一次函數(shù)有關(guān)的面積問題”和“反比例函數(shù)”等知識，積累了一定的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，有一定的聯(lián)想、探究能力。但學(xué)生對于解決較復(fù)雜的圖形或位置不特殊的圖形的面積有一定的困難，因此，可以將解決較復(fù)雜的圖形或位置不特殊的圖形的面積問題確定為本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)。

4.教學(xué)方法。

本節(jié)課面向全體學(xué)生，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過設(shè)計(jì)一系列直指問題本質(zhì)的問題串，找準(zhǔn)生長路徑，從不同方向?qū)⑺獜?fù)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行知識整合與創(chuàng)新應(yīng)用。因此，課堂教學(xué)中所采用的教學(xué)方法以啟發(fā)法、談話法、討論法、練習(xí)法為主。

二、“生長型”理念下的價(jià)值判斷

“生長型”理念架構(gòu)下的復(fù)習(xí)課的情懷源于生命，立意基于生長，本質(zhì)體現(xiàn)發(fā)展，它的價(jià)值就在于尊重生命，放飛思維，收獲素養(yǎng)。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，不僅僅是多講幾道題，讓學(xué)生多做幾道練習(xí)，而是要更多地考慮學(xué)生的主動參與、自主探究、情感向往，要以學(xué)生的發(fā)展為目的。教師可以選取與教學(xué)內(nèi)容相近或相鄰的知識，選準(zhǔn)一條復(fù)習(xí)的主干，采用“變式圖形”的生長路徑，用這一新視角將教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合、整體構(gòu)建;可以選擇動態(tài)性材料，引導(dǎo)學(xué)生從思考靜態(tài)問題轉(zhuǎn)向動態(tài)問題，發(fā)散學(xué)生的思維;還可以設(shè)計(jì)開放性問題，讓學(xué)生結(jié)合自己的知識經(jīng)驗(yàn)編制不同的問題，提高學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中又一次成長。

三、價(jià)值判斷下的活動設(shè)計(jì)

活動1：模型建構(gòu)。

問題1：如圖1，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=[2x]的圖像上且橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)A作x軸、y軸的垂線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)C，求矩形ABOC的面積。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)的求法和用坐標(biāo)求矩形面積的方法，為本節(jié)課的探究教學(xué)提供了基礎(chǔ)和有效的教學(xué)資源。

預(yù)設(shè)生成：這是本節(jié)課的起點(diǎn)，起點(diǎn)很低，絕大部分學(xué)生都能解答。

問題2：在問題1的條件下，將“點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2”改為“點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=2/x的圖像上運(yùn)動”，你還能求出矩形ABOC的面積嗎？

設(shè)計(jì)意圖：由靜態(tài)到動態(tài)，由特殊到一般，體會用字母代替數(shù)值的方法，感受解題方法與結(jié)論的不變性。

預(yù)設(shè)生成：如果學(xué)生說，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），則AC=x，AB=y，則SABOC=xy=2。教師可追問：“若點(diǎn)A在第三象限呢？”讓學(xué)生在自我反省中領(lǐng)悟坐標(biāo)與線段長度的區(qū)別，及時(shí)糾正，再總結(jié)出對于反比例函數(shù)y=k/x（k≠0），點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，矩形ABOC的面積始終為IkI。

問題3：如圖2，在問題2的條件下，若將點(diǎn)C移動到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求此時(shí)△ABC的面積。

設(shè)計(jì)意圖：通過對圖形進(jìn)行特殊化處理，形成如圖2所示的三角形，此類三角形也是反比例函數(shù)中常見的具有面積不變性的圖形。以上問題的設(shè)計(jì)，一方面是讓學(xué)生了解圖形的變式過程，另一方面是加深學(xué)生對這個(gè)特殊圖形的認(rèn)識。學(xué)生不但要認(rèn)識它的特殊性，還要認(rèn)識它的用處。教師教學(xué)時(shí)可與問題1中的矩形一起作為基本圖形。

預(yù)設(shè)生成：在問題2的基礎(chǔ)上，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)△ABO的面積為矩形ABOC面積的一半，即S△ABO=k/2。

活動2：模型應(yīng)用。

問題4：如圖3，若點(diǎn)C在y軸上繼續(xù)運(yùn)動，△ABC的面積會發(fā)生改變嗎？

設(shè)計(jì)意圖：圖形由靜態(tài)向動態(tài)發(fā)展，更利于揭示問題的本質(zhì)，讓學(xué)生體會特殊到一般的轉(zhuǎn)化，感受圖形與圖形之間的神奇變化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

預(yù)設(shè)生成：當(dāng)點(diǎn)C在y軸上運(yùn)動時(shí)，此時(shí)△ABC的底AB與AB邊上的高都保持不變，所以△ABC的面積保持不變，始終與△ABO的面積相等，為IkI/2。若學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)△ABC和△ABO面積的關(guān)系，也可以引導(dǎo)學(xué)生利用坐標(biāo)法求解。

問題5：如圖4，若將問題4中“點(diǎn)B在x軸上”，改為“點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=-1/x（x>0）的圖像上”，其他條件不變，求此時(shí)△ABC的面積。

設(shè)計(jì)意圖：隨著點(diǎn)B位置的變化，圖形也發(fā)生了改變，但是轉(zhuǎn)化為基本圖形的思想方法不變，此設(shè)計(jì)進(jìn)一步提升學(xué)生的化歸能力。

預(yù)設(shè)生成：如果有學(xué)生從坐標(biāo)的角度去解決問題，教師首先要肯定學(xué)生的做法，并提出坐標(biāo)法是解決此類面積問題的萬能方法，再引導(dǎo)學(xué)生從整體性的角度去尋找?guī)缀谓夥?。如圖5，將△ABC的面積先轉(zhuǎn)化為△ABO的面積，且△ABO的面積為△AOD與△BOD的面積之和，再利用基本圖形可得△AOD的面積為1，△BOD的面積為1/2，所以△ABC的面積為3/2。

問題6：請同學(xué)們再改變點(diǎn)B的位置，提出一個(gè)與面積有關(guān)的問題。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)開放性問題，把所要研究的圖形串聯(lián)起來，一方面省時(shí)省力，另一方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

預(yù)設(shè)生成：這個(gè)環(huán)節(jié)，要給予學(xué)生足夠的時(shí)間，讓學(xué)生創(chuàng)造性地重新設(shè)計(jì)問題，感受學(xué)生的智慧，體會意外的驚喜。學(xué)生可能會產(chǎn)生如下想法。

想法1：如圖6，若把點(diǎn)B移到反比例函數(shù)y=1/x（x>0）的圖像上，求△ABC的面積。

想法2：如圖7，將問題3中的“AB⊥x軸”換成“△AOB為等腰三角形”，求△ABC的面積。

活動3：拓展延伸。

若點(diǎn)B也移到反比例函數(shù)y=2/x的圖像上，設(shè)置以下問題。

問題7：如圖8，若點(diǎn)A（1，y1）、點(diǎn)B（2，y2）在反比例函數(shù)y=k/x（k>0）的圖像上，且△AOB的面積為3，求k的值。

設(shè)計(jì)意圖：這是一道與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題的逆向問題，通過綜合運(yùn)用割補(bǔ)法以及利用反比例函數(shù)中的基本圖形的面積公式求圖形面積的方法，一題多解，培養(yǎng)了學(xué)生的求異思維。

預(yù)設(shè)生成：學(xué)生可能會有以下幾種不同的解法。如果方法不全，教師可設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)。解題結(jié)束后總結(jié)歸納，揭示方法，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)對圖形進(jìn)行拆分，找到基本圖形，讓學(xué)生整體上掌握解決這些問題的策略。

生1：如圖9，過點(diǎn)A、點(diǎn)B分別作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)D。因?yàn)镾OABD=S△AOC+SABDC=S△AOB+S△BOD，又因?yàn)镾△AOC=S△BOD，所以S△AOB=SABDC=1/2（k/2+k）=3，解得k=4。

生2：如圖10，過點(diǎn)A、點(diǎn)B分別作AC⊥y軸，BD⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)D，延長CA、DB交于點(diǎn)E。S△AOB=SODEC-S△AOC-S△BOD-S△ABE=2/k-k/2-k/2-1/2·k/2·1=3，解得k=4。

學(xué)生在解決問題后，教師要加以引導(dǎo)，歸納解法，揭示本質(zhì)。

四、活動設(shè)計(jì)下的教學(xué)思考

1.把握數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷實(shí)踐的過程，在課堂實(shí)踐過程中，對學(xué)生開展有價(jià)值的教學(xué)活動應(yīng)該是這樣的：學(xué)生在實(shí)踐中不斷形成并積累發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力和經(jīng)驗(yàn)。對于“生長型”理念架構(gòu)下的復(fù)習(xí)課，教師應(yīng)在相近或相鄰的知識銜接點(diǎn)、生長點(diǎn)上開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，不斷讓學(xué)生在活動中積累經(jīng)驗(yàn)，以此來增強(qiáng)學(xué)生觀察事物、探究規(guī)律和解決問題的能力。

本節(jié)課所承載的教學(xué)價(jià)值絕不是讓學(xué)生完成各種情境下與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題的解答。教師不應(yīng)在學(xué)生面前呈現(xiàn)靜態(tài)的情境，讓學(xué)生在一系列不同的情境中茫然且機(jī)械地完成解答。因此，本課例創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，將特殊點(diǎn)變?yōu)橐话泓c(diǎn)，讓定點(diǎn)變?yōu)閯狱c(diǎn)，通過一系列的變式圖形引出新問題，讓學(xué)生面對問題自然地做出選擇，不斷地優(yōu)化自己的想法與做法，在思維過程中積累經(jīng)驗(yàn)，增長智慧，實(shí)現(xiàn)教學(xué)價(jià)值。

2.凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過自身的實(shí)踐和認(rèn)知活動所獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學(xué)品質(zhì)和解決問題能力的總和。生長理念不僅僅在于讓學(xué)生獲得一些數(shù)學(xué)知識和技能，更在于讓學(xué)生通過領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本身蘊(yùn)含的智力價(jià)值和精神價(jià)值，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此，開展“生長型”理念架構(gòu)下的復(fù)習(xí)課教學(xué)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力抓手。

本課例中，教師要關(guān)注并挖掘教學(xué)資源，不斷改變認(rèn)識的對象，讓學(xué)生觀察這些圖形的特征，研究圖形的結(jié)構(gòu)，從宏觀到微觀、從整體到局部，來認(rèn)識基本圖形的本質(zhì)屬性。教師適時(shí)進(jìn)行方法性指導(dǎo)，通過整體轉(zhuǎn)化或割補(bǔ)轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生的觀察力。課例中設(shè)計(jì)的開放性問題，培養(yǎng)了學(xué)生提出問題的能力、自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的意識與能力以及創(chuàng)新意識。這些都是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段。

3.關(guān)注學(xué)生生命發(fā)展。

用“生長型”理念架構(gòu)復(fù)習(xí)課的教學(xué)，是關(guān)注人的生命成長的過程，是將知識生長與人的生命成長協(xié)同發(fā)展的教學(xué)理念的具體體現(xiàn)，也是彰顯個(gè)性發(fā)展的過程，更是體悟知識生長、生命成長的過程。

本課例從知識體系和知識結(jié)構(gòu)上把握與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，選準(zhǔn)問題的起點(diǎn)與終點(diǎn)，通過變式圖形凸顯生長過程，讓這些常見又有用的圖形，沒有遺憾地、全景式地暴露在學(xué)生的視野中。更重要的是，這些變式圖形是學(xué)生通過強(qiáng)化條件或弱化條件得來的，這是更高層次的思維方法，是無法通過解決一兩道習(xí)題所能達(dá)到的。這樣的教育是促進(jìn)學(xué)生全面成長、個(gè)性成長的過程，是教育的終極目標(biāo)。