王鴻鵠, 周 洋

(上海電機(jī)系統(tǒng)節(jié)能工程技術(shù)研究中心有限公司，上海 200063)

0 引 言

電機(jī)是工業(yè)和民用設(shè)備中最常見(jiàn)的驅(qū)動(dòng)設(shè)備，電機(jī)包含發(fā)電機(jī)和電機(jī)，中國(guó)每年通過(guò)發(fā)電機(jī)提供了全國(guó)90%以上的發(fā)電量，并有超過(guò)總發(fā)電量60%的電量被電機(jī)消耗掉。在工業(yè)領(lǐng)域，電機(jī)廣泛應(yīng)用于發(fā)電機(jī)組、風(fēng)機(jī)、水泵、壓縮機(jī)和機(jī)床等設(shè)備中，為工業(yè)設(shè)備提供電力和基礎(chǔ)動(dòng)力；在生活領(lǐng)域，電機(jī)也被廣泛應(yīng)用于電梯、空調(diào)、冰箱等各種設(shè)備中，特別是目前國(guó)家大力推廣的新能源汽車(chē)，無(wú)論其儲(chǔ)能方式是鋰電池或氫燃料電池，其最終的驅(qū)動(dòng)設(shè)備均是電機(jī)。因此對(duì)電機(jī)產(chǎn)品進(jìn)行深入的設(shè)計(jì)和研究具有重要意義。

絕大多數(shù)電機(jī)為軸向一致結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)二維有限元仿真對(duì)電機(jī)內(nèi)的電磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算。與三維有限元仿真相比，二維有限元仿真的一個(gè)明顯的優(yōu)勢(shì)是計(jì)算速度快，通常情況下，在達(dá)到相近計(jì)算精度時(shí)，三維仿真的時(shí)長(zhǎng)一般是二維的幾倍甚至十幾倍，在相同的計(jì)算能力下，三維網(wǎng)格在仿真在計(jì)算效率上遠(yuǎn)低于二維網(wǎng)格，目前二維網(wǎng)格廣泛應(yīng)用于電機(jī)的工程設(shè)計(jì)中，三維網(wǎng)格一般用于軸向不一致電機(jī)電磁分析或?qū)δ承┨囟ㄑ芯糠较虻碾姍C(jī)電磁場(chǎng)仿真中。

有限元仿真應(yīng)用廣泛，除了電磁場(chǎng)領(lǐng)域外，在結(jié)構(gòu)、流體等方面有限元仿真均有廣泛應(yīng)用。模型網(wǎng)格是有限元仿真的基礎(chǔ)，網(wǎng)格的生成是一種通用的算法，其中三角形網(wǎng)格是適應(yīng)性最好的一種，同一組三角形網(wǎng)格往往可以應(yīng)用于電磁場(chǎng)、結(jié)構(gòu)場(chǎng)、流體場(chǎng)等多種類(lèi)型的仿真計(jì)算中。目前在三角形網(wǎng)格生成的算法方面已經(jīng)有了很多研究成果：文獻(xiàn)[1]提出了一種二維Delaunay三角網(wǎng)格的Bowyer-Watson自動(dòng)生成算法；文獻(xiàn)[2]提出一種從局部最小值點(diǎn)中跳出的方法，有效提高了網(wǎng)格的質(zhì)量；文獻(xiàn)[3]提出了一種基于三角形刪除的簡(jiǎn)化算法，提高了網(wǎng)格簡(jiǎn)化效率。在網(wǎng)格孔洞修復(fù)[4]和Delaunay 生成網(wǎng)格的優(yōu)化算法等方面[5-7]，很多學(xué)者也做了充分的研究。這些研究成果在各種仿真計(jì)算中有著廣泛和重要的應(yīng)用前景，但在電機(jī)電磁場(chǎng)計(jì)算網(wǎng)格的生成方面，很少有針對(duì)空氣包網(wǎng)格進(jìn)行優(yōu)化的方法。

與結(jié)構(gòu)、流體等有限元仿真計(jì)算相比，電磁場(chǎng)仿真有一個(gè)明顯的區(qū)別，在結(jié)構(gòu)、流體中的分析區(qū)域，相互分離的區(qū)域的計(jì)算是相互獨(dú)立的，而在電機(jī)電磁場(chǎng)仿真中，具有多種材料結(jié)構(gòu)件，這些結(jié)構(gòu)件彼此分離，但通過(guò)磁場(chǎng)連接在一起，所有分離的零部件中有同一個(gè)電磁場(chǎng)。這就要求在電磁場(chǎng)仿真中，分離的零部件網(wǎng)格必須通過(guò)中間過(guò)度網(wǎng)格連接起來(lái)，過(guò)渡網(wǎng)格的材質(zhì)為空氣，磁導(dǎo)率為真空磁導(dǎo)率，為了描述方便，一般稱(chēng)為空氣包。

相較于電機(jī)零部件建模，電機(jī)的空氣包建模有2個(gè)難點(diǎn)：(1)空氣包中含有多個(gè)模型，如果采用布爾運(yùn)算進(jìn)行剪裁，會(huì)將空氣包剪出多個(gè)孔洞，由于模型中每個(gè)孔洞和空氣包模型的參數(shù)相關(guān)聯(lián)，會(huì)導(dǎo)致空氣包數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，穩(wěn)定性不好且數(shù)據(jù)較多而不宜進(jìn)行調(diào)試；(2)考慮到在瞬態(tài)場(chǎng)計(jì)算中，每一個(gè)時(shí)刻電機(jī)的轉(zhuǎn)子部分位置均不相同，如果每個(gè)時(shí)刻均將空氣包進(jìn)行裁剪后再剖分，會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜度，增加計(jì)算時(shí)間，降低計(jì)算的穩(wěn)定性。

1 電機(jī)網(wǎng)格生成過(guò)程

電機(jī)零部件為實(shí)體物質(zhì)，零部件對(duì)應(yīng)模型不應(yīng)有交叉或重疊，剖分過(guò)程一般包含初始剖分、加密剖分2個(gè)過(guò)程。

1.1 初始剖分

首先將某個(gè)實(shí)體模型轉(zhuǎn)化為多邊形，再分割成初始三角形的網(wǎng)格，三角形網(wǎng)格的端點(diǎn)均為模型多邊形的頂點(diǎn)。如果多邊形為凸多邊形，則以任意一點(diǎn)為基點(diǎn)，連接基點(diǎn)和其他多邊形端點(diǎn)，即可得到初始三角形網(wǎng)格，如圖1(a)所示。如果多邊形不是凸多邊形，則可以通過(guò)“節(jié)點(diǎn)切除法”生成初始網(wǎng)格[8]。在節(jié)點(diǎn)切除法中，首先對(duì)多邊形節(jié)點(diǎn)逆時(shí)針編號(hào)，然后逐個(gè)切除多邊形中小于180°的頂點(diǎn)來(lái)生成初始網(wǎng)格。在切除多邊形頂點(diǎn)的過(guò)程中，切下的三角形應(yīng)不包含多邊形的其他節(jié)點(diǎn)，如果包含，則必然可以找到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，其角度小于180°且三角形中不包含其他多邊形節(jié)點(diǎn)。這種方法適應(yīng)性很強(qiáng)，不僅可以應(yīng)用于凸多邊形和非凸多邊形，而且可應(yīng)用于中間帶孔的模型中，這種情況下首先將多邊形外表面節(jié)點(diǎn)逆時(shí)針排序，孔洞中的節(jié)點(diǎn)順時(shí)針排序，然后采用節(jié)點(diǎn)切除法即可生成初始網(wǎng)格，如圖1(b)所示。

圖1 初始網(wǎng)格

從圖1中可以看出，孔洞的處理方法與非凸多邊形處理方法原理相同，通過(guò)這種節(jié)點(diǎn)切除法可以生成任意形狀的多邊形的三角初始網(wǎng)格。因?yàn)槌跏计史志W(wǎng)格的三角形節(jié)點(diǎn)均為多邊形的端點(diǎn)，所以網(wǎng)格尺寸較大，為了提高有限元計(jì)算結(jié)果的精度，需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密處理。

1.2 加密剖分

1.2.1 加密節(jié)點(diǎn)

對(duì)初始網(wǎng)格進(jìn)行加密，必然要引入新的節(jié)點(diǎn)來(lái)作為三角形網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)。考慮到電機(jī)電磁場(chǎng)有限元仿真的算法要求網(wǎng)格較為均勻，因此正三角形網(wǎng)格是一種較好的三角形網(wǎng)格，可引如正三角形節(jié)點(diǎn)作為加密點(diǎn)。在新節(jié)點(diǎn)生成過(guò)程中，可以先生成一個(gè)節(jié)點(diǎn)的集合，集合中所有節(jié)點(diǎn)與相鄰節(jié)點(diǎn)的距離均相等，如圖2(a)所示。然后找到并刪除不在模型中的節(jié)點(diǎn)，即可得到插入的加密節(jié)點(diǎn)。以圖1(b)的多邊形為例，加密節(jié)點(diǎn)如圖2(b)所示。

圖2 加密節(jié)點(diǎn)

1.2.2 Delaunay三角網(wǎng)格

Delaunay三角網(wǎng)格[9]是目前研究最廣的一種網(wǎng)格，其核心原則是任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)不在相鄰三角形的外接圓內(nèi)。在電機(jī)電磁場(chǎng)有限元仿真中，為了縮短剖分的時(shí)間，插入節(jié)點(diǎn)的方式為逐點(diǎn)插入式，僅要求當(dāng)前插入節(jié)點(diǎn)不在原網(wǎng)格的相鄰三角形的外接圓內(nèi)，如不滿(mǎn)足要求，則將相鄰的三角形分解，與新插入點(diǎn)重新生成三角形，直至符合要求。新插入的節(jié)點(diǎn)可能在多個(gè)相鄰三角形的外接圓內(nèi)，這就需要原三角形網(wǎng)格的連鎖分解，下面以圖3(a)的初始網(wǎng)格為例進(jìn)行說(shuō)明。

圖3 插入新節(jié)點(diǎn)

圖3中的1～6為初始剖分的三角形節(jié)點(diǎn)，也是多邊形的端點(diǎn)，圖3(a)中的X點(diǎn)為新插入節(jié)點(diǎn)，在△1-2-6中，顯然△1-2-6的外接圓包含X點(diǎn)，分解△1-2-6，形成3個(gè)新的三角形：△1-X-6、△1-2-X、△2-6-X，如圖3(b)所示。此時(shí)△2-5-6變成含節(jié)點(diǎn)X的△2-6-X相鄰三角形，其外接圓包含了點(diǎn)X如圖4(a)所示，分解△2-5-6和△2-6-X，得到了新三角形△2-5-X和△5-6-X，如圖4(b)所示。

圖4 分解與生成三角形

同理依次判斷相鄰三角形，直至相鄰三角形的外接圓不包含X或無(wú)相鄰三角形，最終得到新的網(wǎng)格剖分如圖4(c)所示。這種循環(huán)迭代可采用二叉樹(shù)的前序遍歷[10]來(lái)處理，軟件實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，傳統(tǒng)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)一般采用構(gòu)建二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，通過(guò)遞歸來(lái)實(shí)現(xiàn)，考慮到剖分的計(jì)算性質(zhì)和系統(tǒng)棧的大小，可采用創(chuàng)建棧和人工設(shè)定遍歷條件的形式，二叉樹(shù)前序遍歷的計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 二叉樹(shù)前序遍歷流程

1.2.3 三角形網(wǎng)格的優(yōu)化

由于插入的三角形節(jié)點(diǎn)為正三角形，因此剖分后位于模型中心部分的網(wǎng)格為正三角形，而靠近邊界或孔洞部分的三角形的三邊長(zhǎng)度相差很大，和中心部分網(wǎng)格過(guò)渡不均勻，不利于計(jì)算結(jié)果的精度。為了使各部分網(wǎng)格連貫，在加密剖分后需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行優(yōu)化。網(wǎng)格優(yōu)化的核心是調(diào)整加密節(jié)點(diǎn)的位置，可采用下面2種方法進(jìn)行操作。

(1) 桁架等效優(yōu)化法。

桁架等效優(yōu)化法方法將三角形各邊等效成組合式桁架結(jié)構(gòu)，其中邊界部分為固定結(jié)構(gòu)不能移動(dòng)，而非邊界的三角形的邊等效成彈性結(jié)構(gòu)[11]。以圖4(c)為例，圖4(c)中線段1-2、2-3、3-4、4-5、5-6、6-1為固定結(jié)構(gòu)，而線段1-X、2-X、3-X、4-X、5-X、6-X為彈性結(jié)構(gòu)，設(shè)定彈性結(jié)構(gòu)每個(gè)桿的初始長(zhǎng)度和彈性系數(shù)，則X節(jié)點(diǎn)會(huì)在彈性桿的合力作用下移動(dòng)，當(dāng)X節(jié)點(diǎn)達(dá)到受力平衡，此時(shí)即完成了網(wǎng)格優(yōu)化。這種優(yōu)化算法具有思路清晰、效果顯著、操作靈活的優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算量稍大。

(2) 形心優(yōu)化法。

因?yàn)椴迦氲娜切喂?jié)點(diǎn)為正三角形，絕大部分網(wǎng)格的形狀質(zhì)量?jī)?yōu)秀，所以可以通過(guò)形心優(yōu)化法對(duì)節(jié)點(diǎn)位置進(jìn)行調(diào)整[12]。同樣以圖4(c)為例，找到X共節(jié)點(diǎn)的三角形所構(gòu)成的多邊形1-2-3-4-5-6的形心，然后用該形心取代X點(diǎn)的坐標(biāo)。在生成的網(wǎng)格中，非邊界網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)均應(yīng)通過(guò)此方法進(jìn)行移動(dòng)和迭代，迭代公式為

(1)

式中：Ni為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)Pi的個(gè)數(shù)；Pj為與節(jié)點(diǎn)Pi相連接的節(jié)點(diǎn)。

這種優(yōu)化算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，可以滿(mǎn)足電機(jī)電磁場(chǎng)仿真的需求。

2 空氣包剖分

從上述剖分流程可以看出，零部件是作為一個(gè)獨(dú)立的實(shí)體進(jìn)行剖分的，如果空氣包中包含若干個(gè)電機(jī)零部件，按照上述剖分流程，需要通過(guò)布爾運(yùn)算除去空氣包中零部件的部分，把空氣包變成一個(gè)類(lèi)似零部件的實(shí)體，這樣一方面會(huì)導(dǎo)致空氣包中含有大量的孔洞，各個(gè)孔洞和空氣包邊界的連接處容易出現(xiàn)干涉，計(jì)算中容易出現(xiàn)異常；另一方面如果電機(jī)有旋轉(zhuǎn)零部件，每次旋轉(zhuǎn)均要進(jìn)行一次布爾運(yùn)算，增加了計(jì)算量。

為了避免空氣包的布爾運(yùn)算，考慮采用一種空氣包直接剖分法，思路是：首先不考慮電機(jī)零部件，對(duì)空氣包進(jìn)行整體剖分，得到空氣包的三角形初始網(wǎng)格，然后對(duì)空氣包網(wǎng)格進(jìn)行加密，最后刪除電機(jī)零部件對(duì)應(yīng)的空氣包網(wǎng)格，即得到了空氣包中的網(wǎng)格。此方法可不進(jìn)行空氣包的布爾運(yùn)算而直接對(duì)空氣包進(jìn)行剖分，一方面避免了出現(xiàn)大量孔洞引起異常，另一方面也能夠減少計(jì)算量提升計(jì)算速度。采用該方法編制了軟件“電機(jī)協(xié)同設(shè)計(jì)電磁場(chǎng)有限元仿真軟件EMFTest V1.0”，下面結(jié)合軟件建模功能進(jìn)行說(shuō)明。

為了便于說(shuō)明問(wèn)題，先采用簡(jiǎn)易模型加以說(shuō)明。設(shè)定電機(jī)某個(gè)零部件和電機(jī)空氣包的模型如圖6所示。

圖6 簡(jiǎn)易模型

以簡(jiǎn)易模型的結(jié)構(gòu)，按流程對(duì)空氣包剖分，步驟如下。

(1) 生成空氣包的初始網(wǎng)格。

在生成空氣包的初始網(wǎng)格時(shí)，暫不考慮零部件結(jié)構(gòu)。首先按照空氣包網(wǎng)格大小將空氣包的邊界分段，并按照“節(jié)點(diǎn)切除法”生成空氣包的初始網(wǎng)格，邊界分段和初始網(wǎng)格如圖7所示。

圖7 空氣包初始網(wǎng)格

“節(jié)點(diǎn)切除法”切除的節(jié)點(diǎn)順序可按照需求選擇，切除順序?qū)ψ罱K網(wǎng)格加密效果影響不大。

(2) 插入空氣包網(wǎng)格加密節(jié)點(diǎn)。

在空氣包內(nèi)部插入加密節(jié)點(diǎn)，對(duì)空氣包內(nèi)部網(wǎng)格加密。插入的加密節(jié)點(diǎn)分為2個(gè)部分，一部分是空氣包內(nèi)部的零部件邊界尺寸分段的節(jié)點(diǎn)；另一部分是插入在空氣包范圍內(nèi)的且不在零部件范圍內(nèi)的正三角形節(jié)點(diǎn)。2部分加密節(jié)點(diǎn)如圖8所示。

圖8 插入的2部分加密節(jié)點(diǎn)

(3) 生成空氣包加密網(wǎng)格。

以圖8中的加密節(jié)點(diǎn)插入到圖7(b)的空氣包初始網(wǎng)格中，通過(guò)二叉樹(shù)算法得到Delaunay三角網(wǎng)格如圖9(a)所示。

圖9 有缺陷的加密網(wǎng)格

可以看出加密后的網(wǎng)格較為均勻，但會(huì)出現(xiàn)缺陷，體現(xiàn)為部分網(wǎng)格橫跨了空氣包和零部件，本例中出現(xiàn)的缺陷網(wǎng)格位置如圖9(b)所示，L1和L2線段均為零部件的邊界，但這2條線段不是任何三角形網(wǎng)格的邊，這顯然與事實(shí)不符。

(4) 網(wǎng)格修復(fù)。

圖10 修復(fù)后的加密網(wǎng)格

找到所有構(gòu)成零部件邊的分段線段，然后與加密三角形進(jìn)行對(duì)比，找出所有有缺陷的網(wǎng)格。網(wǎng)格修復(fù)中，以L1處的網(wǎng)格為例，首先應(yīng)找到邊與邊界相交的三角形，然后分解相關(guān)三角形網(wǎng)格，形成1個(gè)包含零部件邊的線段端點(diǎn)的新多邊形a-b-c-d，如圖10(a)所示，最后通過(guò)生成初始網(wǎng)格中用到的“節(jié)點(diǎn)切除法”，在這個(gè)多邊形中重新生成三角形網(wǎng)格，切除節(jié)點(diǎn)需要包含端部線段的節(jié)點(diǎn)b和d，構(gòu)成△b-d-a和△b-c-d，如圖10(b)所示。實(shí)際應(yīng)用中模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，修復(fù)的多邊形包含但不限于四邊形，修復(fù)方法相同。

(5) 網(wǎng)格優(yōu)化。

在加密網(wǎng)格修復(fù)完畢后，通過(guò)桁架等效優(yōu)化法或形心優(yōu)化法對(duì)網(wǎng)格的均勻度進(jìn)行優(yōu)化，本例中采用的是形心優(yōu)化法，如圖11所示。

圖11 修復(fù)后的加密網(wǎng)格

3 電機(jī)網(wǎng)格生成實(shí)例

為了驗(yàn)證本文采用的網(wǎng)格生成方法能夠用于電機(jī)的電磁場(chǎng)計(jì)算，對(duì)電機(jī)進(jìn)行了二維網(wǎng)格剖分，電機(jī)模型和多邊形模型如圖12所示。

圖12 電機(jī)模型

對(duì)電機(jī)進(jìn)行初始剖分，結(jié)果如圖13所示。

圖13 初始剖分

本例模型的空氣包包含2部分，一個(gè)是包含所有電機(jī)零部件的全局空氣包,另一個(gè)是包含了轉(zhuǎn)子部分的轉(zhuǎn)子空氣包。按照本文方法進(jìn)行網(wǎng)格加密，結(jié)果如圖14所示。

圖14 加密剖分

可以看出電機(jī)網(wǎng)格剖分較為均勻，網(wǎng)格過(guò)渡平滑，為了驗(yàn)證是否能夠進(jìn)行電磁場(chǎng)仿真，進(jìn)行電磁場(chǎng)仿真驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果如圖15所示。

圖15 有限元仿真結(jié)果

通過(guò)有限元仿真結(jié)果可以看出，磁密分布合理，磁密矢量方向符合預(yù)期。Maxwell為ANSYS旗下的電磁場(chǎng)仿真軟件，在電機(jī)行業(yè)有較廣泛的應(yīng)用，EMFTest V1.0和Maxwell計(jì)算結(jié)果的磁感線圖對(duì)比如圖16所示，可見(jiàn)相同模型下計(jì)算得到的磁通分布基本相同。

圖16 磁感線圖對(duì)比

圖17為EMFTest V1.0和Maxwell的氣隙磁密計(jì)算結(jié)果對(duì)比，波形為2款軟件的后處理輸出波形，可見(jiàn)波形基本一致，平均值均約為0.42 T。

圖17 氣隙磁密波形

從上述剖分結(jié)果和與其他軟件的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可以看出，基于本文的網(wǎng)格生產(chǎn)方法適用于電機(jī)的電磁場(chǎng)仿真分析。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)電機(jī)電磁場(chǎng)有限元仿真用2D網(wǎng)格的特點(diǎn)分析，提出了一種空氣包網(wǎng)格直接生成的實(shí)用剖分算法，闡述了算法了流程和對(duì)空氣包的處理方法，并通過(guò)計(jì)算機(jī)編程對(duì)剖分方法進(jìn)行了計(jì)算驗(yàn)證。

本文提出的空氣包網(wǎng)格生成方法，一方面避免了空氣包剖分過(guò)程中出現(xiàn)多孔洞的結(jié)構(gòu)，提升了計(jì)算的穩(wěn)定性，另一方面避免了布爾運(yùn)算，提升了剖分的速度，提高了電機(jī)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)效率。