宋建國(guó), 韓鵬杰, 盧 意

(北京工業(yè)大學(xué) 信息學(xué)部，北京 100000)

0 引 言

隨著生產(chǎn)自動(dòng)化程度的提高，流水線(xiàn)生產(chǎn)作業(yè)也越來(lái)越普遍，驅(qū)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)的電機(jī)在預(yù)設(shè)時(shí)間到達(dá)預(yù)設(shè)位置且運(yùn)行平滑準(zhǔn)確是流水線(xiàn)作業(yè)的核心，即定時(shí)間運(yùn)行定距離，其主要要求是力矩足夠，運(yùn)行時(shí)間和距離精確且一般行程較短。步進(jìn)電機(jī)以其控制簡(jiǎn)單，價(jià)格低廉，無(wú)累計(jì)誤差精度較高等優(yōu)勢(shì)廣泛用于電機(jī)控制生產(chǎn)領(lǐng)域。但步進(jìn)電機(jī)自身存在精度誤差，電機(jī)起動(dòng)時(shí)可能產(chǎn)生低頻共振，起動(dòng)停止速度突變時(shí)容易造成失步越步等，這些均會(huì)使系統(tǒng)最終運(yùn)動(dòng)效果不理想，使估計(jì)預(yù)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間和預(yù)設(shè)運(yùn)動(dòng)距離不匹配，因此開(kāi)環(huán)下合理規(guī)劃電機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程使其運(yùn)動(dòng)過(guò)程平穩(wěn)是能夠精確控制電機(jī)的先決條件，通常設(shè)計(jì)加減速曲線(xiàn)將電機(jī)起動(dòng)運(yùn)行停止過(guò)程進(jìn)行平滑控制，常用梯形、S型、指數(shù)型3種變速曲線(xiàn)進(jìn)行變速控制，保證電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行?，F(xiàn)階段對(duì)于變速曲線(xiàn)研究應(yīng)用主要側(cè)重于平穩(wěn)性，對(duì)于運(yùn)動(dòng)過(guò)程的時(shí)間距離準(zhǔn)確性沒(méi)有過(guò)多研究，但在實(shí)際應(yīng)用中往往需要同時(shí)考慮運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和時(shí)間距離準(zhǔn)確性。因此，本文針對(duì)于要求步進(jìn)電機(jī)固定距離精確起停的情況進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)，通過(guò)分析對(duì)比3種加速曲線(xiàn)[1]，選用S型加速曲線(xiàn)符合本設(shè)計(jì)要求，對(duì)比分析多種S曲線(xiàn)函數(shù)，提出了新型余弦S曲線(xiàn)，對(duì)于S變速階段實(shí)際運(yùn)動(dòng)距離難以計(jì)算的問(wèn)題提出了解決方案，結(jié)合本設(shè)計(jì)要求，搭建控制模型進(jìn)行仿真分析，搭建硬件測(cè)試平臺(tái)實(shí)踐驗(yàn)證，驗(yàn)證了控制算法的合理性，通過(guò)簡(jiǎn)單的參數(shù)設(shè)置，本設(shè)計(jì)可以滿(mǎn)足要求步進(jìn)電機(jī)固定距離精確起停的工況。

1 變速曲線(xiàn)的選取分析

1.1 步進(jìn)電機(jī)矩頻特性分析

步進(jìn)電機(jī)以脈沖頻率為控制信號(hào)，一個(gè)脈沖驅(qū)動(dòng)電機(jī)行進(jìn)一個(gè)步距角，理想條件下電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)速度與驅(qū)動(dòng)脈沖頻率成正比，因此脈沖頻率等效于電機(jī)速度，運(yùn)行脈沖數(shù)量等效于運(yùn)行距離。輸出轉(zhuǎn)矩隨頻率上升而下降，構(gòu)建步進(jìn)電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型[2]為

(1)

式中:θ為運(yùn)行角度；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和負(fù)載慣量之和；B為機(jī)械阻尼、電磁阻尼等系數(shù)之和；K為系統(tǒng)彈性系數(shù)；T為電機(jī)生成總力矩；Ta、TL為電機(jī)加速轉(zhuǎn)矩、負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Tf為電機(jī)摩擦和其他無(wú)關(guān)阻力矩。

角度轉(zhuǎn)速加速度之間關(guān)系為

(2)

式中:ω為運(yùn)行轉(zhuǎn)速;ε為運(yùn)行加速度。

忽略系統(tǒng)彈性系數(shù)項(xiàng)聯(lián)立式(1)和式(2)進(jìn)行微分方程求解，得到轉(zhuǎn)矩加速度關(guān)系：

(3)

式中:T0為電機(jī)初始轉(zhuǎn)矩。

由于電機(jī)起動(dòng)階段慣性扭矩較大，加速轉(zhuǎn)矩較小[3]，隨著驅(qū)動(dòng)頻率上升兩相混合式步進(jìn)電機(jī)繞組電感形成的反向電動(dòng)勢(shì)逐漸增大，渦流損耗逐漸增加，電機(jī)輸出力矩變小。根據(jù)矩頻圖像與式(3)結(jié)合分析得到近似頻率加速度圖像。

圖1 加速頻率特性曲線(xiàn)

電機(jī)負(fù)載力矩與其他阻力矩一定的情況下，由圖1可知起動(dòng)階段電機(jī)提供的最大加速度很小，隨著頻率上升電機(jī)輸出的加速力矩，即能提供的電機(jī)升速的最大加速度逐漸下降，圖像與矩頻曲線(xiàn)相似，加速曲線(xiàn)加速度變化應(yīng)符合上述曲線(xiàn)規(guī)律，實(shí)時(shí)曲線(xiàn)加速度應(yīng)不超過(guò)電機(jī)提供的最大加速度，才能在提高加速效率的同時(shí)保證電機(jī)運(yùn)行的平穩(wěn)準(zhǔn)確性。圖1顯示了3種加速曲線(xiàn)運(yùn)行加速度情況，對(duì)比分析可知S曲線(xiàn)最符合電機(jī)加速度頻率曲線(xiàn)規(guī)律，起動(dòng)階段加速度逐漸上升，避免起動(dòng)階段加速力矩過(guò)小造成失步，減速時(shí)S曲線(xiàn)速度平滑到0避免由于急停慣性過(guò)大導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)沖擊過(guò)大和越步。對(duì)于本設(shè)計(jì)要求的精確起停，選用S型加速曲線(xiàn)最為合適。

1.2 S曲線(xiàn)分析及選型

S曲線(xiàn)常選用三角、Sigmoid和Bezier函數(shù)進(jìn)行擬合，函數(shù)原型如表1所示。

表1 3種S曲線(xiàn)函數(shù)原型

3種函數(shù)生成的S曲線(xiàn)圖像相似，區(qū)別在于運(yùn)算量、準(zhǔn)確度和復(fù)雜度。Sigmoid函數(shù)由于其函數(shù)特性，容易出現(xiàn)加速不完全的情況，導(dǎo)致最終速度小于預(yù)設(shè)速度；Bezier曲線(xiàn)函數(shù)不同情況下變形較繁瑣，移植性差；三角函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，運(yùn)算量一般且變速結(jié)果準(zhǔn)確。因此最終選用三角函數(shù)設(shè)計(jì)S曲線(xiàn)。上述函數(shù)運(yùn)用到步進(jìn)電機(jī)變速過(guò)程均需要進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化成脈沖數(shù)/頻率關(guān)系方便程序編寫(xiě)和移植。

2 余弦S曲線(xiàn)模型設(shè)計(jì)與仿真

2.1 變速曲線(xiàn)理論推導(dǎo)

對(duì)三角余弦函數(shù)進(jìn)行變換處理，建立電機(jī)脈沖頻率和時(shí)間的關(guān)系式：

(4)

式中:fa為實(shí)時(shí)加速脈沖頻率;fmax為運(yùn)行最高頻率;ts為加速時(shí)間。

式(5)、式(6)分別為勻速和減速段頻率與時(shí)間關(guān)系式：

fc=fmax,ts≤t≤tc+ts

(5)

tc+ts≤t≤tt

(6)

式中:tt為總時(shí)間;tc為勻速時(shí)間。

以式(4)～式(6)規(guī)劃全路徑過(guò)程為S加速—?jiǎng)蛩佟猄減速，加減速時(shí)間相等皆為ts。對(duì)脈沖頻率積分處理得到運(yùn)行時(shí)間與脈沖數(shù)量(運(yùn)行距離)n的關(guān)系式：

(7)

聯(lián)立式(4)～式(7)得到運(yùn)動(dòng)最大頻率：

(8)

總時(shí)間：

tt=2ts+tc

(9)

2.2 余弦S曲線(xiàn)仿真模型搭建

根據(jù)上節(jié)推導(dǎo)在MATLAB/Simulink中進(jìn)行模型搭建，考慮到實(shí)際運(yùn)行情況應(yīng)對(duì)曲線(xiàn)離散化處理即進(jìn)行等時(shí)間分割，對(duì)于步進(jìn)電機(jī)控制驅(qū)動(dòng)芯片接受的脈沖頻率即控制速度，在不同離散時(shí)間段通過(guò)S曲線(xiàn)計(jì)算脈沖頻率，變換分割時(shí)間根據(jù)芯片計(jì)算能力和電機(jī)特性選取，本設(shè)計(jì)選用1 ms作為分割時(shí)間。運(yùn)動(dòng)開(kāi)始電機(jī)以0速起動(dòng)進(jìn)行S曲線(xiàn)加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到預(yù)設(shè)速度進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)，最后通過(guò)S曲線(xiàn)減速到0，其中減速段可經(jīng)過(guò)加速段翻轉(zhuǎn)平移得到，在合理規(guī)劃下整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程能夠平滑起停。

圖2 離散規(guī)劃運(yùn)動(dòng)過(guò)程

搭建S曲線(xiàn)仿真模型：

圖3 曲線(xiàn)仿真模型

模型設(shè)置入口參數(shù)設(shè)定運(yùn)動(dòng)距離、時(shí)間和勻速時(shí)間，在實(shí)際情況下每個(gè)分割時(shí)間段脈沖數(shù)只能為整數(shù)且時(shí)間段內(nèi)選用非連續(xù)頻率積分最終導(dǎo)致脈沖數(shù)與實(shí)際要求不等，造成運(yùn)動(dòng)位置不準(zhǔn)確，必須設(shè)計(jì)補(bǔ)償模塊二次規(guī)劃使最終運(yùn)動(dòng)距離等于預(yù)設(shè)距離。曲線(xiàn)規(guī)劃補(bǔ)償部分是整個(gè)控制部分核心，通過(guò)M語(yǔ)言在函數(shù)模塊中實(shí)現(xiàn)，通過(guò)控制最高脈沖頻率大小實(shí)現(xiàn)粗調(diào)、削減運(yùn)行時(shí)間實(shí)現(xiàn)微調(diào)。補(bǔ)償模塊以2.1節(jié)推導(dǎo)式(4)～式(6)為基礎(chǔ)，建立脈沖數(shù)量與脈沖頻率的關(guān)系式：

nx(t)=fx(t)·TS,x=a、c、d

(10)

式中:TS為分割時(shí)間，na、nc、nd分別為加速勻速減速段脈沖數(shù)。

計(jì)算每個(gè)時(shí)間段運(yùn)行脈沖數(shù)量n，考慮實(shí)際情況，時(shí)間段內(nèi)運(yùn)行脈沖數(shù)必須為整，以加速段舉例：

na=[fa(i·TS)·TS](0≤i≤ia)

(11)

其中,ia為加速段分割數(shù)目：

(12)

(13)

(14)

式中:id、ic分別為減速和勻速段分割數(shù)目;iall為總分割數(shù)目。

計(jì)算總運(yùn)行脈沖數(shù)量N：

(15)

預(yù)設(shè)條件代入初次計(jì)算N，小于預(yù)設(shè)距離所需脈沖數(shù)，開(kāi)始進(jìn)行補(bǔ)償運(yùn)算，頻率粗調(diào)階段根據(jù)式(8)補(bǔ)償預(yù)設(shè)脈沖數(shù)量改變最高脈沖頻率,抬高每階段發(fā)送脈沖數(shù)使N逼近預(yù)設(shè)脈沖數(shù)。圖4對(duì)不同補(bǔ)償過(guò)程曲線(xiàn)實(shí)時(shí)發(fā)送脈沖數(shù)進(jìn)行比較，可看到粗調(diào)后比規(guī)劃前最高脈沖數(shù)圖像上移，微調(diào)后圖像左移。圖5顯示粗調(diào)后實(shí)際距離與預(yù)設(shè)距離仍存在微小誤差，但確定了新的脈沖數(shù)，在預(yù)設(shè)距離臨界值有上下2種補(bǔ)償脈沖數(shù)，代表多次補(bǔ)償?shù)那耙浑A段和后一階段，選擇接近臨界值的情況時(shí)間微調(diào)，改變勻速時(shí)間段或末段使實(shí)際距離等于預(yù)設(shè)距離，得到新的各段運(yùn)動(dòng)時(shí)間。在上述運(yùn)動(dòng)距離和各段運(yùn)動(dòng)時(shí)間條件下代入運(yùn)行模塊按照上式計(jì)算各段脈沖頻率最終實(shí)現(xiàn)距離時(shí)間精確運(yùn)行。

圖4 不同規(guī)劃段實(shí)時(shí)發(fā)送脈沖數(shù)對(duì)比

圖5 粗調(diào)、微調(diào)后位移曲線(xiàn)對(duì)比

利用搭建模型進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 仿真結(jié)果數(shù)據(jù)表

仿真條件下結(jié)果顯示運(yùn)行時(shí)間和距離精度很高，且無(wú)勻速情況下時(shí)間誤差更小。

2.3 運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)間分配分析

同一運(yùn)動(dòng)中，給定時(shí)間tt中勻速和變速段時(shí)間的占比直接影響最終運(yùn)動(dòng)效果和適用范圍，對(duì)總時(shí)間tt的分配問(wèn)題進(jìn)行分析討論，勻速和變速段時(shí)間分配邏輯關(guān)系如圖6所示。

圖6 時(shí)間分配邏輯關(guān)系圖

由以上可知ts的變化影響電機(jī)的運(yùn)行平穩(wěn)性和帶載能力，最高頻率太大會(huì)削減高速段運(yùn)動(dòng)力矩。在行進(jìn)距離較短的應(yīng)用場(chǎng)合，電機(jī)運(yùn)行轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)小于最高轉(zhuǎn)速且通過(guò)S曲線(xiàn)加速能到達(dá)的實(shí)際轉(zhuǎn)速大于電機(jī)額定轉(zhuǎn)速，在負(fù)載力矩有保證不失步前提下可以考慮去除勻速段，在電機(jī)負(fù)載大的情況下應(yīng)減少變速時(shí)間。通過(guò)預(yù)設(shè)穩(wěn)定工作頻率fs(不大于fs的情況下保證力矩足夠)結(jié)合式(8)輔助確定ts的最大值，能夠保證運(yùn)行效果。

為了驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的正確性和合理性，預(yù)設(shè)0.4 s運(yùn)行6 400脈沖，利用2.2節(jié)搭建模型對(duì)無(wú)勻速和0.2 s勻速2種情況進(jìn)行仿真對(duì)比，圖7顯示出無(wú)勻速較有勻速情況最高頻率更大，力矩更小，圖8通過(guò)加速度、位移曲線(xiàn)對(duì)比顯示出無(wú)勻速條件下最高加速度更小，位移運(yùn)動(dòng)更加平滑。

圖7 不同勻速時(shí)間仿真頻率對(duì)比

圖8 不同勻速時(shí)間仿真加速度/位移對(duì)比

3 硬件測(cè)試與結(jié)果分析

3.1 硬件選型

為了驗(yàn)證控制算法的合理性，選擇加裝角度傳感器的步進(jìn)電機(jī)對(duì)設(shè)計(jì)的算法進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證，選用STM32F042F6P6作為主控芯片，AS5600磁編碼器采集角度信息，A3979驅(qū)動(dòng)芯片驅(qū)動(dòng)電機(jī)，主控芯片通過(guò)CAN實(shí)現(xiàn)與Labveiw搭建的上位機(jī)通信，測(cè)試電機(jī)選擇兩相混合式步進(jìn)電機(jī)。

表3 電機(jī)參數(shù)表

3.2 硬件測(cè)試平臺(tái)搭建

以3.1選型器件搭建硬件測(cè)試平臺(tái)。測(cè)試平臺(tái)框圖和硬件實(shí)物圖分別如圖9、圖10所示。

圖9 測(cè)試平臺(tái)框圖

圖10 硬件實(shí)物圖

為了便于程序編寫(xiě)，將推導(dǎo)的時(shí)間/頻率關(guān)系轉(zhuǎn)換成脈沖數(shù)/頻率關(guān)系，生成的脈沖數(shù)/頻率關(guān)系固化在ROM中，運(yùn)行時(shí)通過(guò)查表法讀取裝載值[4]，減少CPU運(yùn)行時(shí)間，提升響應(yīng)速度。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

驅(qū)動(dòng)芯片16細(xì)分下驅(qū)動(dòng)選型電機(jī)，電機(jī)穩(wěn)定工作頻率為19 200 Hz，運(yùn)行1周需3 200個(gè)脈沖驅(qū)動(dòng)，預(yù)設(shè)0.4 s運(yùn)行1周，上述值代入式(8)計(jì)算出穩(wěn)定最大變速時(shí)間為0.23 s，設(shè)定變速時(shí)間0.2 s。脈沖數(shù)/頻率生成部分?jǐn)?shù)據(jù)如表4所示。

表4 脈沖數(shù)/頻率數(shù)據(jù)表

由表4知最大頻率11 413 Hz遠(yuǎn)小于穩(wěn)定工作頻率，從脈沖頻率變化規(guī)律可以看出曲線(xiàn)平滑啟停且基本對(duì)稱(chēng)。以上述數(shù)據(jù)進(jìn)行路徑規(guī)劃，采集輸出脈沖頻率變化波形，如圖11所示。

圖11 脈沖頻率輸出波形

每5 ms讀取1次AS5600磁編碼器角度寄存器，其轉(zhuǎn)動(dòng)1周輸出范圍為0～4 095，將角度信息經(jīng)過(guò)求導(dǎo)變換得到速度，經(jīng)過(guò)累加變換得到位置，經(jīng)CAN通信將位置信息發(fā)送到上位機(jī)，得到實(shí)時(shí)位置曲線(xiàn)，如圖12所示。

圖12 步進(jìn)電機(jī)位置曲線(xiàn)

多次改變初始設(shè)定參數(shù)，選用不同運(yùn)動(dòng)策略試驗(yàn)，對(duì)運(yùn)動(dòng)效果進(jìn)行分析比較，如表5所示。

表5 運(yùn)動(dòng)效果對(duì)比

對(duì)上述結(jié)果分析，證明采用余弦S曲線(xiàn)進(jìn)行路徑優(yōu)化，較優(yōu)化前運(yùn)行穩(wěn)定性和準(zhǔn)確度均有明顯提升，可以實(shí)現(xiàn)電機(jī)在預(yù)設(shè)時(shí)間和距離里準(zhǔn)確起停，符合設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)理論分析、仿真模擬、硬件驗(yàn)證設(shè)計(jì)余弦S變速曲線(xiàn)控制算法，不僅可以應(yīng)用于常見(jiàn)的優(yōu)化步進(jìn)電機(jī)起停運(yùn)動(dòng)，而且針對(duì)于較少研究的步進(jìn)電機(jī)曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)距離時(shí)間控制策略，設(shè)計(jì)控制算法能夠?qū)r(shí)間距離準(zhǔn)確控制，只需設(shè)定運(yùn)動(dòng)距離、運(yùn)動(dòng)時(shí)間、變速時(shí)間即可規(guī)劃整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，最終實(shí)現(xiàn)在滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)距離情況下運(yùn)動(dòng)時(shí)間誤差小于1.5%，滿(mǎn)足大部分應(yīng)用場(chǎng)景。且曲線(xiàn)在不同負(fù)載情況可以靈活判定調(diào)節(jié)，參數(shù)設(shè)定簡(jiǎn)單移植方便，有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景和較高的實(shí)用價(jià)值，已在全自動(dòng)號(hào)碼機(jī)項(xiàng)目中實(shí)現(xiàn)應(yīng)用。