俞文雅，陶紅武，曾 順，譚躍剛

(武漢理工大學(xué)機電工程學(xué)院，湖北 武漢，430070)

四足機器人屬于移動機器人的一種，相比于傳統(tǒng)的輪式機器人和履帶式機器人，其軀干運動與腿足運動是分離的，因此具有更強的地形適應(yīng)能力，同時，其運動穩(wěn)定性比雙足機器人要強，而機械結(jié)構(gòu)又比六足機器人更簡單，因此受到研究者的大量關(guān)注，并取得豐碩成果[1]。其中，美國波士頓動力公司(Boston Dynamics)研發(fā)的一系列四足機器人樣機最具有代表性，尤其是BigDog四足機器人[2]，其強大的運動性能和地形環(huán)境適應(yīng)能力讓該公司在四足機器人領(lǐng)域名聲大噪；麻省理工學(xué)院推出的Mini Cheetah獵豹機器人更為小巧靈活，其采用的凸模型預(yù)測控制(cMPC)能夠滿足機器人大部分的步態(tài)控制需求，機器人甚至可以完成后空翻等高難度動作[3]。

地形適應(yīng)能力在很大程度上決定了四足機器人能否走出實驗室在自然環(huán)境下穩(wěn)定運動。在常見的自然地形中，許多特殊的凹凸地形都可以看作是具有不同坡度的斜面的疊加，因此，如何實現(xiàn)在斜坡上的自適應(yīng)穩(wěn)定運動控制對四足機器人來說十分關(guān)鍵。Bledt等[4]提出一種基于事件的接觸模型融合方法，在沒有添加外部力傳感器的情況下實現(xiàn)對MIT Cheetah 3機器人的運動控制，提高了其對非結(jié)構(gòu)化地形的適應(yīng)能力；Guo等[5]提出一種在爬行步態(tài)下通過保持支撐平面質(zhì)心投影點從而調(diào)整機器人姿態(tài)的算法，同時分析了不同步態(tài)序列對機器人爬坡的影響。

然而，對于四足或六足機器人這樣的非線性、高耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，想要進行精確的建模分析并不容易，于是許多研究者都選用一種不需要精確數(shù)學(xué)模型的控制方法——模糊控制來實現(xiàn)對機器人的運動控制。例如，Wang等[6]通過保持機器人重心的垂直投影在支撐多邊形內(nèi)并使用模糊控制器根據(jù)斜坡坡度調(diào)整機器人姿態(tài)，實現(xiàn)了六足機器人在斜面上的穩(wěn)定運動；Chung等[7]結(jié)合模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和卡爾曼濾波器對六足機器人進行控制，在調(diào)節(jié)姿態(tài)的同時實現(xiàn)機器人的避障運動，提升了機器人的靈活性與機動性；Zand等[8]通過讓操作員完成對四足機器人的控制任務(wù)從而獲得大量的專家經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗用于制定模糊控制規(guī)則，所設(shè)計的模糊控制器可以有效控制四足機器人在平坦與非平坦路面上的運動；孔垂麟等[9]通過一種控制機器人機身俯仰角的方法來實現(xiàn)四足機器人在斜面上的連續(xù)穩(wěn)定運動。

以上許多研究都是針對四足機器人靜步態(tài)下的斜坡運動控制。以爬行步態(tài)為例，雖然與對角步態(tài)相比，其穩(wěn)定性略高，但其速度較慢，往往不能滿足許多實際應(yīng)用中的運動需求。為拓寬四足機器人的應(yīng)用場合，本文研究運動效率較高的對角小跑步態(tài)，在此基礎(chǔ)上完成機器人的足端軌跡規(guī)劃來實現(xiàn)四足機器人的斜坡運動，同時設(shè)計一種采用模糊控制的姿態(tài)調(diào)整控制器，并通過仿真實驗來驗證其控制效果。

1 四足機器人運動學(xué)分析

1.1 四足機器人基本結(jié)構(gòu)

本文以自然界的生物犬為參考對象建立四足機器人結(jié)構(gòu)模型。根據(jù)仿生、對稱、輕量的原則對生物犬的生理結(jié)構(gòu)進行簡化，將生物犬四段式的前肢和三段式的后肢均簡化為兩段式的腿部結(jié)構(gòu)，從而降低結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度，減少后期控制難度。四足機器人的驅(qū)動方式有很多種，主要包括液壓驅(qū)動、氣壓驅(qū)動與電機驅(qū)動。由于液壓與氣壓裝置的體積和質(zhì)量較大，不便于機器人攜帶運動，故本文選擇小型電機作為機器人的驅(qū)動裝置。所建立的三維結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。機器人整機由剛性脊柱與四條單腿組成，每條單腿均為由四根連桿組成的平行四邊形結(jié)構(gòu)。為降低腿部質(zhì)量，單腿的兩臺驅(qū)動電機均搭載在機器人髖部支撐板上，通過輕量齒輪驅(qū)動單腿機構(gòu)的運動。

圖1 四足機器人三維結(jié)構(gòu)

四足機器人的二維結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示，結(jié)構(gòu)尺寸見表1。機器人機身總長為L，總寬為W，每條單腿由連桿l1、l2、l3、l4構(gòu)成，并通過一個髖關(guān)節(jié)電機與一個膝關(guān)節(jié)電機完成運動，其中髖關(guān)節(jié)電機驅(qū)動角為θ1，膝關(guān)節(jié)電機驅(qū)動角為θ2。

圖2 四足機器人結(jié)構(gòu)簡圖

表1 四足機器人結(jié)構(gòu)尺寸

1.2 正運動學(xué)分析

采用D -H(Denavit-Hartenberg)方法建立四足機器人正運動學(xué)模型。為便于分析，在四足機器人結(jié)構(gòu)簡圖的基礎(chǔ)上對平行四邊形連桿進行簡化，將次要連桿l3、l4略去，留下主要連桿l1、l2。由于四足機器人采用完全對稱的結(jié)構(gòu)，四條腿相對于各自髖關(guān)節(jié)的正向運動學(xué)模型相同，因此以右后腿為例對機器人進行運動學(xué)分析。在右后腿髖關(guān)節(jié)處固定一個坐標系{0}作為基坐標系，其中X0為機身前進方向，Y0為豎直方向。φ1和φ2分別為髖關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度。在髖關(guān)節(jié)處和連桿l1、l2的末端，根據(jù)D -H法則分別建立坐標系{1}、{2}、{3}，如圖3所示。

圖3 基于D -H方法的四足機器人連桿坐標系

在坐標系基礎(chǔ)上可得到右后腿足端相對于髖關(guān)節(jié)的位姿變換矩陣：

(1)

將D -H參數(shù)代入式(1)，可得到：

(2)

式中：R為右后腿的足端坐標系{3}相對于固定坐標系{0}的旋轉(zhuǎn)矩陣；P為坐標系{3}相對于坐標系{0}的位置坐標；s1表示sinφ1，c1表示cosφ1，s12表示sin(φ1+φ2)，c12表示cos(φ1+φ2)。

建立好正運動學(xué)模型后，對于任意單腿，只要知道其俯仰髖關(guān)節(jié)角φ1、俯仰膝關(guān)節(jié)角φ2與腿部各連桿長度，就可以通過公式(2)得到該腿足端在該腿的髖關(guān)節(jié)坐標系下的位姿數(shù)據(jù)。

1.3 逆運動學(xué)分析

仍以機器人右后腿為例進行分析。為減少計算量與計算難度，本文采用幾何法進行逆運動學(xué)的求解。由正運動學(xué)的分析結(jié)果可以得到右后腿足端相對于髖關(guān)節(jié)的位置方程：

(3)

結(jié)合圖2和圖3可以得到電機驅(qū)動角θ1、θ2和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角φ1、φ2之間的幾何關(guān)系：

(4)

將式(4)代入式(3)，最終可將髖關(guān)節(jié)電機驅(qū)動角θ1、膝關(guān)節(jié)電機驅(qū)動角θ2與足端位置之間的關(guān)系寫為以下兩式：

(5)

(6)

式(5)、式(6)即為四足機器人的逆運動學(xué)方程，其解唯一。根據(jù)逆運動學(xué)模型，可以通過任意腿的足端在其髖關(guān)節(jié)坐標系下的坐標計算出髖關(guān)節(jié)電機驅(qū)動角和膝關(guān)節(jié)電機驅(qū)動角的大小。

2 對角小跑步態(tài)下足端軌跡規(guī)劃

2.1 步態(tài)規(guī)劃

對角小跑步態(tài)是自然界中四足哺乳動物最常見的運動步態(tài)之一，常常作為慢速與快速運動之間的過渡性步態(tài)，可以適應(yīng)各種復(fù)雜地形，也是眾多步態(tài)中功耗較為節(jié)省的，因此本文將其選為研究對象。

圖4 四足機器人對角小跑步態(tài)時序圖

2.2 擺動相軌跡規(guī)劃

四足機器人在運動過程中會因為擺動相與支撐相的頻繁切換而產(chǎn)生速度、加速度的突變，而由此產(chǎn)生的地面交互力突變也可能會對機器人的運動穩(wěn)定性產(chǎn)生一定影響，因此擺動相軌跡需要滿足在抬腿與著地切換的瞬間速度與加速度較小的條件，理想情況下兩者甚至可以為0。除此之外，足端軌跡還應(yīng)在水平和豎直方向上保證位置和速度變化的平滑與連續(xù)，從而使機器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和關(guān)節(jié)角速度平滑變化，避免四足機器人在運動過程中突然加、減速而導(dǎo)致穩(wěn)定性不佳。在上述條件下進行足端軌跡規(guī)劃，為了適應(yīng)一般的斜坡地形，本文選擇目前應(yīng)用較為廣泛的復(fù)合擺線模型作為四足機器人擺動相軌跡。

以四足機器人右后腿為例，在足端建立一個足端坐標系{OF}，如圖5所示。X方向為機器人前進方向，Y方向為豎直方向，X0為擺動腿的起點位置，S為擺動腿的跨步步長，X0+S為擺動腿的終點位置，也是支撐腿的起點位置，h為擺動腿的抬腿高度。

圖5 擺動相足端軌跡示意圖

根據(jù)相應(yīng)的約束條件，可得到半個運動周期(T/2)內(nèi)擺動相足端X方向與Y方向上的軌跡方程：

(7)

(8)

2.3 支撐相軌跡規(guī)劃

為保證擺動相和支撐相切換時足端的速度與加速度是平滑的，本文使用直線與復(fù)合擺線相結(jié)合的方法對支撐相軌跡進行規(guī)劃。當擺動相與支撐相切換時使用復(fù)合擺線作為過渡軌跡，當處于支撐相的中間時段時再將軌跡設(shè)置為直線，即將支撐相時間段分為3段，分別為加速、勻速、減速階段，其中，加速和減速時間段較短，使得支撐相階段可以近似看作勻速運動。

經(jīng)過計算，可得支撐相在半個運動周期內(nèi)X方向的足端軌跡：

(9)

在Y方向，支撐相足端始終與地面接觸，豎直方向沒有位移，因此Y方向上的軌跡方程為：

Y=0

(10)

結(jié)合擺動相軌跡與支撐相軌跡，最終可得到右后腿(RH)和左前腿(LF)足端相對于髖關(guān)節(jié)坐標系在一個步態(tài)周期內(nèi)的完整軌跡方程，如式(11)和式(12)所示，其中H為機身高度。同理可得如式(13)和式(14)所示的左后腿(LH)和右前腿(RF)足端相對于髖關(guān)節(jié)坐標系的完整軌跡方程。

XRH(LF)=

(11)

YRH(LF)=

(12)

XLH(RF)=

(13)

YLH(RF)=

(14)

3 四足機器人斜坡運動控制

3.1 斜坡運動控制方法

斜坡是一種常見自然地形，四足機器人在沒有視覺系統(tǒng)輔助的情況下對未知斜坡的適應(yīng)能力在很大程度上反映了機器人的運動性能。根據(jù)經(jīng)驗，四足機器人常見的爬坡姿態(tài)有圖6所示兩種[10]。

(a)機身與水平面平行 (b)機身與斜面平行

第一種如圖6(a)所示，機器人機身與水平面平行，該姿態(tài)適用于裝載運輸物品的情況，但是會使前腿運動空間變小，在爬坡過程中受到的壓力更大，從而導(dǎo)致其抬腿困難。而與前腿相反，這種姿態(tài)下的后腿運動空間變大，可能會使后腿落足點超出機器人的運動范圍，易出現(xiàn)踏空等現(xiàn)象，影響機器人的運動穩(wěn)定性。

第二種如圖6(b)所示，機身姿態(tài)與斜面平行，這種情況下機器人前、后腿運動空間趨于一致，從腿部運動范圍與所受壓力的角度來分析，第二種姿態(tài)更適合四足機器人的斜坡運動。黃博等[11]也對此進行了仿真研究，結(jié)果表明機器人采用平行于斜面的姿態(tài)行走時的穩(wěn)定裕度比水平姿態(tài)下更大，因此本文采用第二種情況作為四足機器人上坡時的運動姿態(tài)。

如前所述，四足機器人作為一個非線性、高耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，對其運動進行精確建模是比較困難的，因此本文采用一種基于模糊控制的姿態(tài)調(diào)整方式來實現(xiàn)四足機器人在未知斜面上的穩(wěn)定運動。模糊控制是以專家經(jīng)驗為基礎(chǔ)的控制方法，通過設(shè)定合適的模糊集合與隸屬度函數(shù)，將控制經(jīng)驗集中體現(xiàn)在模糊規(guī)則中，不需要精確模型就可以達到對對象的控制要求，可以大大減少四足機器人的控制難度，提高控制效率。

由于對角步態(tài)的特殊性，機器人在此步態(tài)下的運動可能會受到支撐腿髖部關(guān)節(jié)的反作用力矩的影響而出現(xiàn)沿對角線傾翻的現(xiàn)象[12]，因此機器人在使用對角小跑步態(tài)進行爬坡的過程中，相比于俯仰角，橫滾角的變化更能反映其運動穩(wěn)定性。當橫滾角的波動程度變大時，機器人易受到各種因素的影響從而失穩(wěn)，甚至可能會發(fā)生跌落、傾翻等情況，若能減小機器人機身在斜坡運動中橫滾角的變化，將會提升四足機器人在斜坡上對角小跑的穩(wěn)定性。因此，本文主要使用基于模糊控制的姿態(tài)調(diào)整方法，通過對機器人支撐腿關(guān)節(jié)角的實時調(diào)節(jié)來實現(xiàn)對機身姿態(tài)的調(diào)整，從而減小橫滾角的波動，控制框圖如圖7所示。

圖7 四足機器人斜坡運動控制框圖

圖7中：x和y分別代表規(guī)劃后的足端在水平與豎直方向上的軌跡坐標；q為關(guān)節(jié)變量，在本文中是指軌跡坐標經(jīng)過逆運動學(xué)計算后的關(guān)節(jié)角度。模糊控制器利用四足機器人實時反饋的機身橫滾角α與期望橫滾角αd的偏差e計算出支撐相在Y方向(豎直方向)上關(guān)節(jié)角相應(yīng)的調(diào)整值Δq，最終將調(diào)整后的支撐相關(guān)節(jié)角輸入四足機器人控制系統(tǒng)中，從而實現(xiàn)對機身姿態(tài)的調(diào)節(jié)控制。

3.2 模糊控制器設(shè)計

本文采用一種典型的二輸入、二輸出模糊控制器來實現(xiàn)對機身姿態(tài)的調(diào)節(jié)。為最大限度提高運動控制效果，將期望橫滾角αd設(shè)為0，則輸入量分別為機身橫滾角α以及橫滾角隨時間的變化率ωα，單位均為rad。根據(jù)仿真結(jié)果與實驗經(jīng)驗，設(shè)定α的基本論域為[-0. 15,0. 15]，ωα的基本論域為[-1,1]。為使機身橫滾角盡可能保持為0，左右兩側(cè)腿采用相同的控制策略，輸出量分別為左側(cè)后腿膝關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)角的調(diào)整值ΔLH與右側(cè)后腿膝關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)角調(diào)整值ΔRH，基本論域均為[-0.4,0.4]，單位為rad。

要將基本論域模糊化，需要確定模糊語言變量集合。常用的語言變量劃分有3種集合：A={NB,NS,Z,PS,PB}、A={NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}、A={NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB}，其中，NB、NM、NS、NZ、Z、PZ、PS、PM、PB分別表示負大、負中、負小、負零、零、正零、正小、正中、正大。在實際應(yīng)用中，模糊語言變量的等級不宜劃分得過細，否則會大大增加核心控制器運算與模糊推理過程中的計算量，甚至可能會丟失某些重要信息，因此本文采用{NB,NS,Z,PS,PB}作為輸入變量的模糊集合，采用{NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}作為輸出變量的模糊集合。

本文選擇較為常用的三角形對稱隸屬度函數(shù)作為輸入量、輸出量模糊推理的重要組成部分。輸入及輸出量的隸屬度函數(shù)如圖8與圖9所示，其中輸入量的模糊論域為[-2,2]，輸出量的模糊論域為[-3,3]。

圖8 輸入量的隸屬度函數(shù)

圖9 輸出量的隸屬度函數(shù)

模糊控制器最重要的組成之一是模糊規(guī)則庫，其中的規(guī)則根據(jù)專家知識或操作經(jīng)驗制定。規(guī)則庫通過一系列關(guān)系詞表達輸入與輸出的映射關(guān)系，例如if-then結(jié)構(gòu)，if表示輸入條件，then表示結(jié)論。由于本文所設(shè)計的控制器為多輸入、多輸出，故使用if-and-then-and結(jié)構(gòu)建立模糊規(guī)則。例如if ‘A1’ and ‘A2’，then ‘B1’ and ‘B2’，即如果輸入量1滿足A1條件，并且輸入量2滿足A2條件，則控制器輸出的輸出量1就會滿足B1，并且輸出量2滿足B2。

根據(jù)一般控制經(jīng)驗，可以建立控制器的模糊控制規(guī)則如表2所示。

表2 ΔLH和ΔRH的模糊控制規(guī)則

按照之前設(shè)定好的模糊參數(shù)如隸屬度函數(shù)等以及表2中的模糊控制規(guī)則，在Matlab中使用模糊控制工具箱建立模糊控制器，即可獲得如圖10和圖11所示的模糊控制器輸出量的控制曲面。

圖10 控制器輸出量ΔLH的控制曲面

圖11 控制器輸出量ΔRH的控制曲面

4 仿真實驗

為驗證所規(guī)劃的足端軌跡與所設(shè)計的姿態(tài)調(diào)節(jié)控制器的可行性與效果，本文分別在平地與斜坡地形上先后進行開環(huán)及加入姿態(tài)調(diào)節(jié)控制的仿真實驗，通過Adams-Matlab聯(lián)合實現(xiàn)，仿真模型如圖12所示。

圖12 四足機器人Adams仿真模型

首先將模糊控制器應(yīng)用在較為簡單的平坦地形仿真中，初步驗證足端軌跡與步態(tài)規(guī)劃的可行性，同時測試控制器對機器人姿態(tài)調(diào)節(jié)的效果，為之后的斜坡地形仿真提供測試經(jīng)驗。

根據(jù)表1的尺寸參數(shù)在Solidworks中建立四足機器人簡化三維模型，將其導(dǎo)入Adams軟件，并建立固定的水平地形，為模型添加連接、驅(qū)動、支撐等。同時，在Matlab中搭建控制系統(tǒng)，構(gòu)建足端軌跡規(guī)劃與步態(tài)規(guī)劃模塊，添加模糊控制器模塊，并設(shè)定四足機器人運動參數(shù)：在運動過程中保持機身距地面的垂直高度為0.32 m，抬腿高度為0.03 m；采用對角小跑步態(tài)，步態(tài)周期為0.4 s，初始狀態(tài)為四足支撐相，隨著時間變化，對角腿完成交替運動。

設(shè)定仿真時間為2 s，一共為5個步態(tài)周期。仿真時四足機器人在平地上完成對角小跑運動的一個步態(tài)周期過程如圖13所示。機器人在仿真時行走平穩(wěn)，未出現(xiàn)明顯的滑動與偏移。

圖13 四足機器人平地運動仿真過程

經(jīng)過仿真得到四足機器人在水平地形下開環(huán)與增加基于模糊控制的姿態(tài)調(diào)整環(huán)節(jié)后的橫滾角結(jié)果對比，如圖14所示。

由圖14可見，加入模糊控制器后，機身橫滾角的整體變化幅值比開環(huán)時更小，波動也更加平緩，表明此控制器在水平地形條件下可以有效抑制機身橫滾角的波動，有利于增加四足機器人平地行走時的穩(wěn)定性。

圖14 四足機器人平地運動機身橫滾角仿真對比

下面驗證姿態(tài)調(diào)節(jié)控制器在斜坡地形條件下的作用。在Adams中將平地更換為斜面，設(shè)定斜面傾角為10°，將足端與地面接觸的靜摩擦系數(shù)設(shè)為0.6，動摩擦系數(shù)設(shè)為0.2。同樣在Matlab中搭建對角小跑步態(tài)的控制系統(tǒng)，步態(tài)參數(shù)與平地仿真一致。四足機器人在斜坡上運動的一個步態(tài)周期過程如圖15所示。

從仿真過程來看，四足機器人可以順利爬上斜面，沒有發(fā)生側(cè)翻等現(xiàn)象，表明本文所規(guī)劃的足端軌跡是合理可行的。經(jīng)過仿真，最終得到如圖16所示的斜坡地形下開環(huán)與增加姿態(tài)調(diào)整反饋控制后的橫滾角結(jié)果對比。

從圖16可以看出，在使用姿態(tài)調(diào)整控制器后，四足機器人在斜坡上完成對角小跑運動時產(chǎn)生的機身橫滾角波動明顯變小，表明此時機器人的運動穩(wěn)定性相比于開環(huán)控制有較大改善。因此本文所設(shè)計的模糊控制器的控制效果較好，可以有效減少機身橫滾角的變化幅值，增加四足機器人斜坡運動時的穩(wěn)定性與地形適應(yīng)能力。

圖15 四足機器人斜坡運動仿真過程

圖16 四足機器人斜坡運動機身橫滾角仿真對比

5 結(jié)語

為實現(xiàn)四足機器人以對角小跑步態(tài)在未知斜坡地形上的穩(wěn)定運動，本文建立了四足機器人結(jié)構(gòu)簡化模型并對其進行運動學(xué)分析，在此基礎(chǔ)上完成了對角小跑步態(tài)下適應(yīng)斜坡地形的擺動相與支撐相的足端軌跡規(guī)劃。同時，設(shè)計了一種基于模糊控制的姿態(tài)調(diào)節(jié)控制器，將機器人的機身橫滾角引入反饋，通過調(diào)整支撐相關(guān)節(jié)角實現(xiàn)對機身的姿態(tài)調(diào)節(jié)。仿真實驗結(jié)果顯示，所規(guī)劃的足端軌跡可以滿足機器人在斜面上的對角小跑運動要求，所提出的姿態(tài)控制方法可以有效減少機器人機身的橫滾角波動，從而提高機器人在斜坡地形上運動時的穩(wěn)定性。后續(xù)研究將會考慮更復(fù)雜的地形條件下四足機器人的穩(wěn)定運動控制，從多個角度提升四足機器人對環(huán)境的適應(yīng)能力。