張靜

（南京財經(jīng)大學 應用數(shù)學學院，江蘇 南京 210023）

0 引言

非線性偏微分方程廣泛應用于數(shù)學和物理學的各個分支，尤其是流體學、非線性光學.目前，已有很多方法用于獲得非線性偏微分方程的精確解［1-11］.為找到一種求解方法簡單直接，并能獲得更豐富的精確解.楊健等［12］利用輔助函數(shù)法，借助數(shù)學軟件Maple獲得Benjamin-Bona-Mahonye（簡稱BBM）方程和Burgers方程的新精確解.此外，王書敏等人［13］利用修正的輔助函數(shù)法對非線性BBM方程進行求解，獲得形式更為豐富的行波解.受此啟發(fā)，考慮對輔助函數(shù)法進行推廣，借助分數(shù)階復變換和整合的分數(shù)階導數(shù)的性質(zhì)，研究時間分數(shù)階modified Benjamin-Bona-Mahony（簡稱mBBM）方程和（3+1）維非線性分數(shù)階Jimbo-Miwa方程的精確行波解.

1 預備知識

首先給出幾個概念，為后續(xù)研究做準備.整合的分數(shù)階導數(shù)定義及基本性質(zhì)如下.

設f:(0,∞)→R，f的α階導數(shù)定義為：，t＞0，0＜α≤1.

基本性質(zhì)［14］設α∈(0,1]，f=f(t)，g=g(t)，在t＞0時可微并有

性質(zhì)1，a,b∈R,

性質(zhì)2，μ∈R,

性質(zhì)3,

性質(zhì)4.

2 擴展的輔助函數(shù)法

對于分數(shù)階非線性偏微分方程

其中u=u(x,t)，是u關于x和t的整合分數(shù)階導數(shù)，P是u和u的關于x和t的各階偏導數(shù)的多項式.

擴展的輔助函數(shù)法分為3步.

步驟1對方程（1）作分數(shù)階復變換，

其中k、l是任意非零常數(shù).將方程（1）轉(zhuǎn)化為常微分方程，

步驟2假設方程（3）的精確解具有如下形式，

其中ai為待定系數(shù)，而冪級數(shù)的最高次冪n通過平衡常微分方程的非線性項和最高階導數(shù)項來確定.

F(ξ)滿足一般的Riccati方程

對應的輔助方程的解有，

①當A=B=0時，

②當A=0,B≠0時，

③當C≠0，Δ=B2-4AC＞0時，

④當C≠0，Δ=B2-4AC＜0時，

⑤當C≠0，Δ=B2-4AC=0時，

其中C1，C2為積分常數(shù).

步驟3通過常微分方程獲得非線性代數(shù)方程組.把假設的具有式（4）形式的解和一般Riccati方程（5）代入方程（3）中，合并F(ξ)的同次冪項，并令其各項系數(shù)和為零，由此得到形式解（4）中各項的含系數(shù)ai，c，l的非線性代數(shù)方程組，利用吳消元法求解這組代數(shù)方程組，并將ai代入解（4），c，l代入式（6）～（12）中，結(jié)合式（2），即得分數(shù)階偏微分方程的精確行波解.

3 方法應用

3.1 時空分數(shù)階mBBM方程

考慮如下時空分數(shù)階mBBM方程

對方程（13）做分數(shù)階復變換，

其中k、l是任意非零常數(shù).將式（14）代入式（13）并化簡可得，

由式（15）中的φ2φ'(ξ)和φ?(ξ)，得到n=1.可設方程解的形式如下，

將式（16）和方程（5）代入式（15），然后合并F(ξ)的同次冪項系數(shù)，得到非線性代數(shù)方程組并求解得，

其中k為任意常數(shù).將所求得的式（17）代入式（16）得到時空分數(shù)階mBBM方程的形式解為，

再將式（6）～（12）的結(jié)果分別代入式（18）可獲得如下5組解：

①當A=B=0時，

②當A=0,B≠0時，

③當C≠0，Δ=B2-4AC＞0時，

④當C≠0，Δ=B2-4AC＜0時，

⑤當C≠0，B2-4AC=0時，

圖1 取正向u7(x,t)的三維圖

圖2 取負向u7(x,t)的三維圖

3.2 （3+1）維非線性分數(shù)階Jimbo-Miwa方程

考慮如下分數(shù)階Jimbo-Miwa方程

對方程（19）做分數(shù)階復變換，

其中ω是任意非零常數(shù).將式（20）代入式（19），令φ'=v并化簡可得，

由式（21）中的vv'(ξ)和v?(ξ)，得到n=2.可設方程解的形式如下，

將式（22）和方程（5）代入式（21），然后合并F(ξ)的同次冪項系數(shù)，得到非線性代數(shù)方程組并求解得，

情形1

將所求得的式（23）代入式（22）得到分數(shù)階Jimbo-Miwa方程的形式解為，

再將式（6）～（12）的結(jié)果分別代入式（24）可獲得5組解：

①當A=B=0時，

②當A=0,B≠0時，

③當C≠0，Δ=B2-4AC＞0時，

④當C≠0，Δ=B2-4AC＜0時，

⑤當C≠0，B2-4AC=0時，

情形2

將所求得的式（25）代入式（22）得到分數(shù)階Jimbo-Miwa方程的形式解為

再將式（6）～（12）的結(jié)果分別代入式（26）同樣可獲得如下5組解：

①當A=B=0時，

②當A=0,B≠0時，

③當C≠0，Δ=B2-4AC＞0時，

④當C≠0，Δ=B2-4AC＜0時，

取A=B=C=2,η=β=γ=1,y=0,z=2,的圖像如圖3、圖4所示.

圖3 u12(x,y,z,t)的三維圖

圖4 u13(x,y,z,t)的三維圖

⑤當C≠0，B2-4AC=0時，

4 結(jié)語

綜上，本文推廣輔助函數(shù)法，將F(ξ)滿足的方程F'(ξ)=F(ξ)2+λF(ξ)+μ推廣到滿足一般的Riccati方程F(ξ)'=A+BF(ξ)+CF(ξ)2上，利用該方法得到時間分數(shù)階mBBM方程以及（3+1）維非線性分數(shù)階Jimbo-Miwa方程的新精確解.并運用mathematica繪出部分精確解取不同值的三維波形圖.同樣的該方法也可以運用到求其他時間分數(shù)階、空間分數(shù)階微分方程（組）的精確行波解中.