高仁祥

摘要：本文主要研究了布魯塞爾模型，討論了霍普夫分岔和圖靈分岔分別為超臨界和亞臨界時(shí)的情況，發(fā)現(xiàn)全局振蕩在空間上失穩(wěn)后形成了振蕩的圖靈圖案;在圖靈和霍普夫分岔都是亞臨界的區(qū)域，通過施加周期性外力也可產(chǎn)生振蕩的圖靈圖案。這些圖案大部分在時(shí)空上都呈周期性。本文首次在三維體系中探索了圖靈圖案的結(jié)構(gòu)、形成以及基本規(guī)律。

關(guān)鍵詞：圖靈圖案;振蕩;分岔

1. 引言

1952年，被后人稱為計(jì)算機(jī)理論之父的英國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿倫·圖靈 （ Alan Turing ） 在其論文“形態(tài)形成的化學(xué)基礎(chǔ)”中，從數(shù)學(xué)的角度表明在反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中，穩(wěn)定均態(tài)會(huì)在某些條件下失穩(wěn)，并自發(fā)產(chǎn)生空間定態(tài)斑圖，后人以其名字命名為圖靈圖案（ Turing Pattern ）。由于圖靈圖案和自然界中的某些圖案非常相似，如動(dòng)物體表的花紋和植物的花朵等。因此對(duì)圖靈圖案的研究有助于了解動(dòng)物體表花紋形成的過程和植物的花朵的形成機(jī)理，有助于我們?cè)缛战议_大自然的“神秘面紗”。三維圖靈圖案比起一維和二維更接近于真實(shí)的生物體系，因此對(duì)三維圖靈圖案的研究可以幫助我們深入探求生命體系中的非線性本質(zhì)和斑圖形成的基本規(guī)律，揭示生命體系中深層次的動(dòng)力學(xué)機(jī)理。通過對(duì)一些斑圖動(dòng)力學(xué)中建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值模擬和理論分析，可用于指導(dǎo)斑圖動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，揭示斑圖動(dòng)力學(xué)機(jī)理和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜化學(xué)反應(yīng)的調(diào)控，即現(xiàn)象的確證和調(diào)控。

2.模型計(jì)算

2.1 計(jì)算模型及理論分析

首先用原始的布魯塞爾子模型，然后在原始的布魯塞爾子模型上加了周期性外力項(xiàng)，來探索周期性外力對(duì)圖靈圖案的影響。

2.2 模擬結(jié)果

模擬使用128×128×128的空間網(wǎng)格，周期性邊界條件，時(shí)間步長(zhǎng)為 0.002 5，空間步長(zhǎng)為 0.5。如果 Du > 6.3，體系是全局振蕩，當(dāng) Du 在 6.0 和 5.7 附近時(shí)，分別為振蕩的立體網(wǎng)狀圖案（圖2（a）-2）和振蕩的缺陷網(wǎng)狀圖案（圖2（a）-3），物質(zhì)u的時(shí)間序列分別為周期2和準(zhǔn)周期如圖2（b），它們均為超臨界。隨著逐漸減少 Du 的值，規(guī)則的靜態(tài)圖靈圖案就會(huì)出現(xiàn)：由排列無歸的靜態(tài)圓球狀圖案到靜止的迷宮型圖案，最后為靜止的致密迷宮型圖案，它們都是在遠(yuǎn)離圖靈分岔線區(qū)域形成的。先前楊靈法等在二維體系中研究過布魯塞爾子，他們也在遠(yuǎn)離圖靈分岔線的區(qū)域得到了振蕩的四邊形、六邊形和全局振蕩圖案，并且這些圖案的時(shí)間序列都是周期二，在空間相位上相差半個(gè)相位，本實(shí)驗(yàn)在三維里模擬出來的振蕩圖案的時(shí)間序列與楊靈法等很相似，但是三維里的振蕩圖案和二維里的卻有很大差別，這主要是因?yàn)轶w系的模在相位的選擇上有都了一個(gè)維度，因此形成的圖案也更加復(fù)雜。另外一個(gè)三維體系不同于二維體系的顯著不同是三維體系里出現(xiàn)了準(zhǔn)周期（圖2（b）-1）。這些振蕩的區(qū)域都是出現(xiàn)在霍普夫分岔的超臨界區(qū)域。

在霍普夫分岔和圖靈分岔的亞臨界區(qū)域從理論上分析是穩(wěn)定區(qū)域，但是當(dāng)施加周期性外力后也能形成振蕩的圖靈圖案，即方程（1）中 > 0 時(shí)能形成周期性振蕩圖案。圖3所示圖案是圖1中第7點(diǎn)在施加外力時(shí)的振蕩圖案，我們施加的固定大小外力= 0.15，改變施加外力的頻率的大小。=0.38時(shí)出現(xiàn)粗大圓管立體網(wǎng)狀振蕩的圖案，=0.42和=0.43時(shí)的圖案均為普通的空間六邊形網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，繼續(xù)增加外力的頻率，=0.44時(shí)為類似與金剛石的立體網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖案，這些圖案的的對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列均為周期2。當(dāng)改變施加外力的大小時(shí)也能形成時(shí)間序列為周期2的振蕩的圖靈圖案，例如在α=0.12 ， 0.17和 0.20 時(shí)均可形成類似的圖案。圖3（b）所示的圖案是圖3（a）-4所對(duì)應(yīng)的圖案的完整周期，在這個(gè)完整的周期圖案中，與+T/2對(duì)應(yīng)的圖形很相似但并不完全相同，它們?cè)诳臻g的相位上相差 1/2 個(gè)相位，即=0.44時(shí)對(duì)應(yīng)的圖案為時(shí)空振蕩圖案，它們的振蕩模式均為周期2。同時(shí)改變 和時(shí)，出現(xiàn)的振蕩模式也是時(shí)空均為周期2振蕩的時(shí)空振蕩圖案。

3.結(jié)論

（1） 本文使用布魯塞爾模型研究了霍普分岔和圖靈分岔分別為超臨界和亞臨界的情況，全局振蕩在空間上失穩(wěn)后會(huì)形成振蕩的圖靈圖案。

（2） 在圖靈和霍普分岔都是亞臨界的區(qū)域，通過施加周期性外力也可產(chǎn)生振蕩的圖靈圖案，這些圖案大部分在時(shí)空上都呈周期性。

（3） 本文對(duì)如何在實(shí)驗(yàn)上產(chǎn)生三維的振蕩圖靈圖案也有一定的幫助。例如，對(duì)于凝膠反應(yīng)器中的次氯酸—碘化物—丙二酸反應(yīng)體系[8]，可以從略高于霍普夫分岔線的區(qū)域改變體系的參數(shù)，從均一穩(wěn)定的狀態(tài)變化到全局振蕩。然后，逐漸改變反應(yīng)器中反應(yīng)物的濃度接近圖靈分岔線（就如圖1（a）中從第1點(diǎn)變化到第4點(diǎn)）。

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