段麗靜,謝景力,劉晗嫣
(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000)
目前,眾多學者對Caputo和Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)進行了研究[1-5],發(fā)現(xiàn)有時Caputo和Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)的性質(zhì)無法準確描述某些物理現(xiàn)象,因此引入一些新的分數(shù)階導數(shù)算子來解決這一難題.特別地,Hilfer[6]給出了一種階為q(q∈(0,1))的p(p∈[0,1])型廣義分數(shù)階導數(shù),稱為Hilfe分數(shù)階導數(shù).這類導數(shù)是在Caputo和Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)之間進行插值,p=0時,是Caputo型分數(shù)階導數(shù),p=1時,是Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù). 2019年,Saengthong等[7]研究了一類Hilfer-Hadamard型分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性和唯一性;2020年,Wongcharoen等[8]討論了一類具Hilfer型分數(shù)階導數(shù)的分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性和唯一性.受這些文獻的啟發(fā),筆者擬研究如下邊值問題解的存在性和唯一性:
(1)
定義1[9]函數(shù)f:[a,+∞)→R的q(q>0)階Hadamard型分數(shù)階積分定義為
其中l(wèi)og(·)=loge(·).
定義2[9]函數(shù)f:[a,+∞)→R的q(q>0)階Hadamard型分數(shù)階導數(shù)定義為
其中:n=[q]+1,[q]表示q的整數(shù)部分;log(·)=loge(·).
(2)
(3)
事實上,若p=0,則(3)式變?yōu)?2)式.
引理3[13](Leray-Schauder二擇一定理) 設(shè)X是賦范線性空間,A:X→X是一個全連續(xù)算子,記ε(A)={x∈X:x=λA(x),0≤λ≤1},則集合ε(A)是無界的或A至少存在1個不動點.
引理4[14](Banach不動點定理) 設(shè)E是一個Banach空間,D?E是閉集,F(xiàn):D→D是一個壓縮映射,即對于?x,y∈D,有‖F(xiàn)x-Fy‖≤k‖x-y‖,其中k∈(0,1),則F在D上有1個不動點.
定理1設(shè)y∈C([1,e],R),則ψ∈C([1,e],R)是方程組
(4)
的解,當且僅當ψ滿足分數(shù)階積分方程
(5)
由引理2可得
由定義3可得
即
(6)
其中c1,c2是任意常數(shù).通過邊值條件ψ(1)=0,可得c2=0,即
接著,通過邊值條件ψ(e)=aψ(ξ),可得
將c1,c2代入(6)式,即得(5)式.相反地,對(5)式求導可得(4)式.證畢.
假設(shè)以下條件成立:
(H1)對于?t∈[1,e],ψ∈R,存在實常數(shù)d1>0,d2≥0,使得|f(t,ψ(t))|≤d1+d2|ψ|.
(H2)M∶=(1-a(logξ)γ-1-3k)Γ(q+1)-3d2>0,a(logξ)γ-1∈[0,1).
(H3)對于?t∈[1,e],ψ∈R,存在正常數(shù)L,使得|f(t,ψ1(t))-f(t,ψ2(t))|≤L|ψ1-ψ2|.
定理2假設(shè)條件(H1),(H2)成立,則邊值問題(1)在[1,e]上至少存在1個正解.
證明這里將利用引理3證明算子A存在不動點.首先,證明算子A是全連續(xù)的.設(shè)ψn是X上使得ψn→ψ的序列,則對于?t∈[1,e],有
由f是連續(xù)的可知,當ψn→ψ時,|f(s,ψn(s))-f(s,ψ(s))|→0,于是當ψn→ψ時,‖A(ψn)-A(ψ)‖→0,從而算子A是連續(xù)的.設(shè)Ω∈X是有界的,則對于?ψ∈Ω,存在常數(shù)L1>0,使得|f(t,ψ(t))|≤L1.設(shè)ψ∈Ω,存在η使得‖ψ‖≤η,即
((log e)q+(log e)q+1),
從而
記
則有‖(Aψ)(t)‖≤N,于是A是一致有界的.
取t1,t2∈[1,e]且t1 于是當t2→t1時,有|(Aψ)(t2)-(Aψ)(t1)|→0,因此A是等度連續(xù)的.由Arzla-Ascpli定理可知算子A在Ω上是緊的,即A是全連續(xù)算子. 接著,證明集ω={ψ∈X|ψ=μA(ψ),0≤μ≤1}是有界的.設(shè)ψ∈ω,對于?t∈[1,e],有ψ=μA(ψ),則由條件(H1),可得 因此 即 由條件(H2)可知集ω是有界的.根據(jù)引理3可知算子A至少有1個不動點,故邊值問題(1)在[1,e]上至少有1個解.證畢. 定理3假設(shè)條件(H3)成立,且 則邊值問題(1)在[1,e]上有唯一解. |f(t,ψ(t))|=|f(t,ψ(t))-f(t,0)+f(t,0)|≤L‖ψ‖+P1. (7) 令 首先證明A(Bτ)?Bτ,其中Bτ={ψ∈X:‖ψ‖≤τ}.設(shè)ψ∈Bτ,則由(7)式可得 于是 因此A(ψ)∈Bτ,即A(Bτ)?Bτ. 接著證明A是壓縮的.設(shè)ψ1,ψ2∈X,則對于?t∈[1,e],有 于是 即A是壓縮映射的.通過Banach不動點定理可知算子A存在唯一的不動點,故邊值問題(1)在[1,e]上有唯一解.證畢. 例1求證如下分數(shù)階微分方程邊值問題至少存在1個解: (8) 和 M=(1-a(logξ)γ-1-3k)Γ(q+1)-3d2≈0.315 96>0, 例2求證如下分數(shù)階微分方程邊值問題存在唯一解: (9) 所以根據(jù)定理3可知,問題(9)在[1,e]上有唯一解.證畢.4 舉例