陳 昊, 陳 園, 黎 明, 李軍華, 張聰炫

(1.南昌航空大學(xué)信息工程學(xué)院,江西南昌 330063;2.南昌航空大學(xué)無損檢測技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西南昌 330063)

1 引 言

在實(shí)際的工程應(yīng)用中,高維、超高維優(yōu)化問題普遍存在,決策變量超過100 維的此類問題被稱為大規(guī)模優(yōu)化問題[1].例如資源調(diào)度,交通網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃等約束弧路徑問題通常具有上千維的決策變量[2];生物計算中飽和系統(tǒng)優(yōu)化問題的維數(shù)約為2N(N+1),分量數(shù)N=50 時,問題規(guī)模為5 100 維.

大規(guī)模全局優(yōu)化(LSGO)問題可以被定義為

其中X ?Rn為n維的決策空間;n≥100;x=(x1,x2,...,xn)∈Rn為決策變量;f:Rn →R表示n元函數(shù).LSGO 問題中不同決策變量之間通常存在復(fù)雜的耦合關(guān)系,屬于不可分問題(non-separable problems)[2],如何處理該類復(fù)雜大規(guī)模優(yōu)化問題是當(dāng)前進(jìn)化計算研究領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).目前,解決LSGO 問題的算法主要分為兩大類,非分解算法和協(xié)同進(jìn)化算法,前者未對高維決策變量分解,通過改進(jìn)算法中進(jìn)化算子以提高算法的性能,后者通過分解LSGO 問題,并對分解后的低維子問題分別進(jìn)行優(yōu)化.

非分解算法[3]通過在進(jìn)化過程中針對收斂速度慢,變異策略失效,初始化種群差等問題進(jìn)行一系列改進(jìn)的方法,以顯著增強(qiáng)其在探索期間處理LSGO 問題的能力.Tizhoosh 等[4]提出一種基于反方向?qū)W習(xí)的算法OBL, 主要思想是對一個可行解, 同時計算并評估其反向解, 從中選擇較優(yōu)的解作為下一代個體, 反向解是指基于搜索空間中心對稱的可行解,可以加快收斂速度.Chu 等[5]發(fā)現(xiàn)在高維空間內(nèi),易出現(xiàn)“種群退化”現(xiàn)象,因此提出維度缺失的概念,發(fā)現(xiàn)未被樣本群體覆蓋維度,并在這些維度兩側(cè)生成新的個體代替種群最差個體達(dá)到維度恢復(fù)效果.Cheng 等[6]提出一種競爭學(xué)習(xí)的PSO 算法,隨機(jī)從當(dāng)前種群中抽取兩個個體比較適應(yīng)度值,失敗者向勝利者學(xué)習(xí),勝利者并不學(xué)習(xí)直接進(jìn)入下一次循環(huán).Mahdavi 等[7]發(fā)現(xiàn)中心點(diǎn)附近的點(diǎn)接近未知解的概率要高于其它點(diǎn),并提出基于中心的正態(tài)分布采樣,中央黃金區(qū)域和混合隨機(jī)中心正態(tài)分布采樣等有效初始化方法.

協(xié)同進(jìn)化算法[8]通過設(shè)計不同的分解策略將LSGO 問題分解成多個低維子問題,對子問題分別進(jìn)行優(yōu)化,進(jìn)而通過合并獲得問題的完整解.Potter 等[9]最早提出靜態(tài)分組,將n維問題分為n個子問題,或?qū)維問題分為2 個子問題.但是,靜態(tài)分組不能達(dá)到分組的目的,Yang 等[10]提出一種隨機(jī)動態(tài)分組,將n維問題隨機(jī)分為m個s維的子問題,這種設(shè)計可以增加相互關(guān)聯(lián)變量分在一起的概率.在此基礎(chǔ)上,Yao 等[11]提出將s設(shè)計為一個集合,若當(dāng)前的s導(dǎo)致進(jìn)化停滯,則在集合中重新隨機(jī)選擇一個s值.由于隨機(jī)動態(tài)分組依舊不能完全區(qū)分決策變量,若能通過在優(yōu)化過程之前或期間獲得問題的特征經(jīng)驗(yàn)來了解識別變量間的相關(guān)性,根據(jù)相關(guān)性對問題分組可以增加分組的正確性.Omidvar 等[12]提出差分分組的分組方法,對所有的決策變量兩兩進(jìn)行相關(guān)性計算,根據(jù)獲得的相關(guān)性進(jìn)行分組.Mohammad 等[13]發(fā)現(xiàn)大規(guī)模優(yōu)化問題的維度間具有不平衡性,認(rèn)為平均計算資源不合理,提出一種基于變量效應(yīng)的多層優(yōu)化框架算法MOFBVE,根據(jù)靈敏度分析獲得每個維度對輸出的影響,并根據(jù)獲得的影響對維數(shù)進(jìn)行聚類,計算每類的貢獻(xiàn),優(yōu)先優(yōu)化貢獻(xiàn)大的類,能夠合理利用有限資源.

由于進(jìn)化算法在解決LSGO 問題時易出現(xiàn)“維度缺失、種群退化”現(xiàn)象,降低算法的搜索能力.維度缺失檢測與恢復(fù)策略可以增加種群多樣性,能夠有效跳出“種群退化”現(xiàn)象.本文針對LSGO 問題維度缺失檢測與恢復(fù)復(fù)雜度高,耗時長等問題,利用協(xié)同進(jìn)化算法框架,選擇差分分組方式,將高維問題分解成多個低維子問題,以達(dá)到降低復(fù)雜度的效果;對所有子問題進(jìn)行維度缺失檢測,選擇一定數(shù)量個體對所有缺失維度進(jìn)行維度恢復(fù),并替換種群中適應(yīng)度較差個體.

2 維度缺失

種群退化現(xiàn)象的發(fā)生是由于當(dāng)前種群中個體在絕大多數(shù)維度上出現(xiàn)趨同甚至重疊,導(dǎo)致種群多樣性降低,因此稱這種現(xiàn)象為維度缺失.如何有效檢測缺失維度是解決種群退化現(xiàn)象的關(guān)鍵所在,主成分分析[14]也稱主分量分析,旨在利用降維的思想,把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo),其中每個主成分都能夠反映原始變量的大部分信息,且所含信息互不重復(fù)[5].對于維數(shù)為n,個體數(shù)為p的種群C,R為種群標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差矩陣,特征分解R得到特征值λ和特征向量V,若存在λ小于設(shè)定閾值ε,則該特征值對應(yīng)的種群特征向量方向上存在缺失信息,稱為維度缺失現(xiàn)象.令C= [cij]n×p, 對C標(biāo)準(zhǔn)化得到C′如C′= [], 其中和vi是C中第i行元素的均值和方差,標(biāo)準(zhǔn)化可減少實(shí)際問題中不同參數(shù)單位差異影響.

特征向量對應(yīng)特征值是該特征向量方向上的方差,每個特征向量的期望方差是總方差的1/n.因此,如果一個特征向量的方差小于預(yù)期方差的10%,將其視為一個缺失維度.

特征值的大小代表了矩陣正交化之后所對應(yīng)特征向量對于整個矩陣的貢獻(xiàn)程度,因此特征值越大,對應(yīng)的特征向量包含的信息量越大.相反,當(dāng)特征值λi小于閾值ε,則特征值λi對應(yīng)的特征向量Vi視為缺失維度.圖1(a)是二維維度缺失圖,v1和v2為特征向量.可以發(fā)現(xiàn)圖中5 個個體在v1方向上呈線性,所以v1對應(yīng)的特征值大于v2對應(yīng)的特征值,當(dāng)v2對應(yīng)特征值小于設(shè)定閾值,視v2為缺失維度.

圖1 維度缺失檢測與恢復(fù)Fig.1 Dimensional missing detection and recovery

維度缺失檢測是基于主成分分析方法的原理, 對于一個n維問題, 當(dāng)投影到k個主成分時復(fù)雜度為O(kn2),以二分組為例,子問題復(fù)雜度為O(kn2/4),對于整個問題,復(fù)雜度為O(kn2/2).所以當(dāng)結(jié)合分組策略后,組內(nèi)規(guī)模會更小,則維度缺失檢測的復(fù)雜度更低.

3 基于維度缺失檢測與恢復(fù)的協(xié)同進(jìn)化算法

由于LSGO 問題有上千維決策變量, 進(jìn)行維度缺失檢測復(fù)雜度高, 利用分解策略分解高維問題;對分解后的子問題進(jìn)行維度缺失檢測;針對缺失維度,選取種群中較差的q%個體,對所有缺失維度同時進(jìn)行恢復(fù),選擇優(yōu)異的個體進(jìn)入下一代.圖2 是基于分組的維度缺失檢測與恢復(fù)示意圖,圖中第一列是LSGO 問題的所有維數(shù),其中每一個小矩形代表一個維度,有相同灰度的矩形表示具有相關(guān)性;第二列是分組后的所有子問題,每個子問題由具有相關(guān)性的維度組成;第三列是對所有子問題進(jìn)行維度缺失檢測;第四列表示進(jìn)行維度恢復(fù)操作后的維度缺失情況,其中無色矩形表示缺失維度.

圖2 基于分組的維度缺失檢測與恢復(fù)示意圖Fig.2 Schematic diagram of group-based dimension missing detection and recovery

3.1 分解策略

協(xié)同進(jìn)化算法的關(guān)鍵是分解策略,已有分解策略主要分為靜態(tài)分組,隨機(jī)分組,動態(tài)分組.

靜態(tài)分組是最早的分解策略,不考慮維數(shù)間相關(guān)性,直接將n維決策變量硬性分為組內(nèi)規(guī)模為1 的n組子問題或組內(nèi)規(guī)模為n/2 的2 組子問題n →1(n)或n →n/2(2).

考慮到變量間相關(guān)性,提出隨機(jī)分組[12],將n維決策變量隨機(jī)分為組內(nèi)規(guī)模為s的m組子問題,意味著每個變量都有相同的機(jī)會被分配到任何子問題中,n=ms.

動態(tài)分組是通過在優(yōu)化過程之前或期間獲得問題的特征經(jīng)驗(yàn)來了解識別變量間的相關(guān)性,并根據(jù)變量間相關(guān)性進(jìn)行分組.以差分分組為例,從第一個變量開始,分別檢測其它變量與第一個變量之間的交互關(guān)系,如果不可分(即具有交互關(guān)系),從所有決策變量中將其排除,放到一個子成分中,重復(fù)這個過程,直到所有與第一變量交互的變量都被檢測出來,形成第一個子成分.對于不可分問題,?a,b1=b2,δ ∈R,δ= 0,若滿足ε=σ/ni,則xp與xq之間有相關(guān)性,為不可分變量,即

其中Δδ,xpf(x)=f(...,xp+δ,...)?f(...,xp,...)是f關(guān)于xp間隔δ的前向差分.從靜態(tài)分組,隨機(jī)分組到動態(tài)分組,分組正確性逐漸提升.

3.2 基于分組的維度缺失檢測

基于分組的維度缺失檢測旨在降低LSGO 問題維度缺失檢測復(fù)雜度.對于LSGO 問題,決策變量維數(shù)常達(dá)1 000 維以上,因此,將高維決策變量分解,對低維子問題進(jìn)行維度缺失檢測則不存在復(fù)雜度高問題.此處先標(biāo)準(zhǔn)化子種群并計算協(xié)方差矩陣,并對協(xié)方差矩陣特征分解,計算其特征值與特征向量,當(dāng)特征值小于閾值ε時,該特征值對應(yīng)的維度缺失,閾值為

其中ni為第i個子問題維數(shù),σ為比例系數(shù),σ=0.01.

基于分組的維度缺失檢測的算法步驟如下:

步驟1根據(jù)子種群生成矩陣C.

步驟2對矩陣C標(biāo)準(zhǔn)化,得到矩陣p.

步驟3計算p的協(xié)方差矩陣R.

步驟4對進(jìn)行特征分解的特征值λ和特征向量V.

步驟5將特征值降序排列,特征向量也作相應(yīng)排序.

步驟6將小于閾值的特征值對應(yīng)的特征向量視為缺失維度.

3.3 維度恢復(fù)

檢測出缺失維度后,用所有特征向量建立新坐標(biāo)系,計算種群在新坐標(biāo)系上的坐標(biāo)表示,在新坐標(biāo)系對種群所有缺失維度進(jìn)行恢復(fù).如圖1(b)所示,以v1和v2為新坐標(biāo)方向建立坐標(biāo)系,選擇部分個體在缺失維度v2上進(jìn)行恢復(fù),具體步驟如下:

步驟1對任意子問題,以特征向量為坐標(biāo)向量建立坐標(biāo)系空間V ni.

步驟2將子種群在基坐標(biāo)空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為V ni的坐標(biāo),如

其中t為子種群在V ni中的坐標(biāo),p為子種群在基坐標(biāo)空間中的坐標(biāo),C為過渡矩陣(基變換矩陣).

步驟3選擇t中q%較差個體在缺失維度同時進(jìn)行恢復(fù)得到t′,對第j個體第k維度恢復(fù),即

其中ajk為N(2,1)隨機(jī)數(shù),r為子種群最大半徑.

步驟4對恢復(fù)后的t′轉(zhuǎn)換為基坐標(biāo)空間中坐標(biāo)p′,p′ ←t′C.

步驟5從p和p′中選擇優(yōu)異個體進(jìn)入下一代.

維度恢復(fù)的算法步驟如下:

步驟1根據(jù)子種群適應(yīng)度的大小,對子種群作降序排列.

步驟2以特征向量為新的基,建立一個新的坐標(biāo)系.

步驟3將種群中的個體轉(zhuǎn)換到新的坐標(biāo)系.

步驟4選擇適應(yīng)度較差的部分個體在缺失維度上進(jìn)行擴(kuò)展恢復(fù).

步驟5將恢復(fù)后的個體轉(zhuǎn)換到原來的空間.以任意子種群中符合條件的第j個體pj為例,pj在基坐標(biāo)空間中坐標(biāo)為(xj1,xj2,...,xjni).根據(jù)式(2)轉(zhuǎn)換為V ni中坐標(biāo),即tj= (vj1,vj2,...,vjni),對個體在缺失維度同時進(jìn)行擴(kuò)展后坐標(biāo)為t′j=(vj1,vj2,...,vjk±ajkr,...,vjni ±ajnir).

根據(jù)式(3)將恢復(fù)后的種群坐標(biāo)轉(zhuǎn)換回基坐標(biāo)空間坐標(biāo),即p′j=(xj1,xj2,...,xjni).

3.4 基于維度缺失檢測與恢復(fù)的協(xié)同進(jìn)化算法

在對子問題分別進(jìn)行維度缺失檢測并進(jìn)行維度恢復(fù)后,結(jié)合協(xié)同進(jìn)化算法框架,進(jìn)一步優(yōu)化種群,提出一種基于維度缺失檢測與恢復(fù)的協(xié)同進(jìn)化算法(co-evolutionary algorithm based on dimension monitoring and recovery,CCDMR).全局維度恢復(fù)的協(xié)同進(jìn)化算法步驟如下:

步驟1初始化種群和所有參數(shù).

步驟2任選一種分組策略,對問題維數(shù)進(jìn)行分組.

步驟3當(dāng)算法連續(xù)2 代進(jìn)行停滯,對所有子種群進(jìn)行維度缺失檢測.

步驟4對所有子種群進(jìn)行維度恢復(fù).

步驟5對所有恢復(fù)維度的子種群進(jìn)行恢復(fù).

步驟6若沒有達(dá)到終止條件,返回步驟3.

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為了分析CCDMR 算法的性能, 在本文中, 分別對算法的有效性、多樣性、參數(shù)選擇有效性以及收斂精度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較與分析.實(shí)驗(yàn)中僅限于CEC2013 LSGO[16]基準(zhǔn)函數(shù)(f411)等8 個不完全可分函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),未包含完全可分函數(shù)(f13),重疊函數(shù)(f1214)和完全不可分函數(shù)(f15).對所有實(shí)驗(yàn),設(shè)置自變量維數(shù)n= 1 000, 種群規(guī)模為100, 進(jìn)行全局維度恢復(fù)的個體數(shù)量q為50, 最大迭代次數(shù)為500.在DECC-G和CCDMR-G 中設(shè)定分組規(guī)模s=50,每個測試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30 次,記錄結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

4.1 有效性分析

CCDMR 算法有效性分析選擇以靜態(tài)分組, 隨機(jī)動態(tài)分組和動態(tài)學(xué)習(xí)分組等三種分組方式為代表的CCGA,DECC-G 和DECC-DG[15]算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn).比較算法在加入維度缺失檢測與恢復(fù)算子前后的結(jié)果,算法優(yōu)化函數(shù)均選擇差分進(jìn)化算法,實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1,兩兩比較將較好值用粗體顯示.

表1 CCDMR 結(jié)合三種不同分組方式與CCGA,DECC-G 和DECC-DG 優(yōu)化結(jié)果Table 1 CCDMR combines three different grouping methods with CCGA,DECC-G and DECC-DG optimization results

從表1 的求解結(jié)果均值看,與CCGA 算法相比,基于靜態(tài)分組的CCDMR 在8 個測試函數(shù)上均優(yōu)于CCGA;與DECC-G 算法相比,CCDMR-G 在6 個測試函數(shù)(f5,f6,f7,f9,f10,f11)上優(yōu)于DECC-G,2 個測試函數(shù)(f4,f8)上差于DECC-G;與DECC-DG算法相比,CCDMR-DG 在7 個測試函數(shù)(f4,f5,f6,f7,f9,f10,f11)上優(yōu)于DECC-DG,1 個測試函數(shù)(f5)上差于DECC-DG.這說明CCDMR 算法在求解LSGO 問題的數(shù)據(jù)結(jié)果要整體優(yōu)于CCGA,DECC-G 和DECC-DG.

比較CCDMR,CCDMR-G 和CCDMR-DG 三種算法的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),CCDMR 在選定的8 個測試函數(shù)上結(jié)果普遍表現(xiàn)最差,而CCDMR-DG 在大部分測試函數(shù)中結(jié)果要優(yōu)于CCDMR-G,僅在測試函數(shù)f6和f7上略差于CCDMR-G.表明在解決LSGO 問題時,靜態(tài)分組的分組準(zhǔn)確性最差,動態(tài)學(xué)習(xí)分組的分組準(zhǔn)確性最好,隨機(jī)動態(tài)分組的分組準(zhǔn)確性介于兩者之間.

圖3 是各算法在8 個測試函數(shù)上運(yùn)行30 次結(jié)果平均值的收斂曲線圖,橫軸為進(jìn)化代數(shù),縱軸為函數(shù)值.

圖3 CCDMR,CCGA,CCDMR-G,DECC-G,CCDMR-DG 和DECC-DG 算法在CEC2013 中f4 ～f11 收斂曲線對比Fig.3 Comparison of convergence curves of f4 ～f11 in CEC2013 by CCDMR,CCGA,CCDMR-G,DECC-G,CCDMR-DG and DECC-DG algorithms

續(xù)圖3Fig.3 Continues

從圖3(a),圖3(b),圖3(c),圖3(d),圖3(f),圖3(g),圖3(h)可以看出在f4,f5,f6,f7,f9,f10,f11等7 個測試函數(shù)中,均是本文提出的CCDMR 結(jié)合不同分組方法的CCDMR-DG 和CCDMR-G 結(jié)果最優(yōu),CCGA 結(jié)果最差.8 個測試函數(shù)的求解結(jié)果說明CCDMR 優(yōu)于未加入維度缺失檢測與恢復(fù)算子的算法.由于選擇分組方法不同,CCDMR 的優(yōu)化結(jié)果也不同,從圖中可以看出,CCDMR-DG 優(yōu)于CCDMR-G 和CCDMR,所以動態(tài)學(xué)習(xí)分組要優(yōu)于隨機(jī)動態(tài)分組和靜態(tài)分組.從8 幅圖整體情況來看,收斂曲線依然支持以上數(shù)據(jù)分析結(jié)果.

圖4 是各算法在8 個測試函數(shù)上運(yùn)行30 次結(jié)果的Box Plot 圖,橫軸為對比算法,縱軸為函數(shù)值.

圖4 CCDMR,CCGA,CCDMR-G,DECC-G,CCDMR-DG,DECC-DG 算法在CEC2013 中f4 ～f11 box plot 圖Fig.4 Box plot of f4 ～f11 in CEC2013 by CCDMR,CCGA,CCDMR-G,DECC-G,CCDMR-DG and DECC-DG algorithms

續(xù)圖4Fig.4 Continues

從圖4(a),圖4(b),圖4(e),圖4(f),圖4(h)中可以看出在f4,f5,f8,f9,f11函數(shù)中,CCDMR-DG 不僅收斂性最好,并且最穩(wěn)定;對于圖4(c),圖4(d)中f6,f7函數(shù)結(jié)果,CCDMR-G 的收斂性最好,DECC-DG 最穩(wěn)定;對于圖4(g)中f10函數(shù)結(jié)果,CCDMR-DG 的收斂性最好,DECC-DG 最穩(wěn)定.整體來看,維度缺失檢測算子和維度恢復(fù)算子在各分組情況下對算法收斂性都有提升,不過對于不同測試函數(shù),效果也不一樣.

4.2 多樣性分析

CCDMR 算法在保證收斂的前提下,可以保持種群多樣性,比較維度缺失檢測與恢復(fù)前后種群多樣性.此處用種群熵表征種群多樣性,分別計算各算法在所選測試函數(shù)全局維度恢復(fù)前后種群熵的相對偏差,選擇不同分組方式,分別為不分組,靜態(tài)分組,隨機(jī)分組和差分分組,對應(yīng)種群熵的相對偏差如表2 所示.

表2 CCDMR 結(jié)合四種不同分組方式種群熵的相對偏差Table 2 CCDMR combines the relative deviation of population entropy in four different grouping methods

從表2 的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),全局維度恢復(fù)方法結(jié)合不同分組方式在所有選取測試函數(shù)上種群熵均有所增大,說明種群多樣性得以維持.其中f5,f9函數(shù)在CCDMR 結(jié)合四種不同分組方式上種群熵的相對偏差較大,f6,f10函數(shù)在CCDMR 結(jié)合四種不同分組方式上種群熵的相對偏差不明顯,因?yàn)閒5,f9函數(shù)的基函數(shù)是單峰函數(shù),而f6,f10函數(shù)的基函數(shù)是多峰函數(shù),有大量局部最優(yōu)值.

圖5 是CCDMR 在f5和f11函數(shù)全局恢復(fù)前后種群熵變化曲線,橫軸為進(jìn)化過程中出現(xiàn)的停滯次數(shù),縱軸為種群熵值.

圖5 f5,f11 全局維度恢復(fù)前后種群熵對比曲線圖Fig.5 f5,f11 global dimension before and after population entropy comparison curve

從圖5(a)中可以看出f5函數(shù)恢復(fù)后的種群熵明顯大于恢復(fù)前的種群熵,且恢復(fù)前的種群熵曲線較為平滑,而恢復(fù)后的種群熵曲線出現(xiàn)上下波動.這是由于算法在迭代過程中,個體向最優(yōu)值靠近,種群熵減小,導(dǎo)致種群多樣性減小,而全局恢復(fù)可以增大種群熵,從而達(dá)到維持種群多樣性的效果.從圖5(b)中也可以看出種群多樣性得以維持.

4.3 比例系數(shù)對算法影響分析

比例系數(shù)σ大小決定維度缺失被檢測的程度,決定需要被恢復(fù)的維度,對算法收斂速度有較大影響.σ越大,缺失維度門檻會對應(yīng)提高,則有較少維度被視為缺失維度,反之,較多維度被視為缺失維度.對此,分別對σ=0.005,σ=0.05,σ=0.1 和σ=0.01 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析,結(jié)果對比如表3 所示

表3 比例系數(shù)對比結(jié)果Table 3 Scale factor comparison results

根據(jù)表3 的結(jié)果顯示,當(dāng)σ= 0.01 時,在所選擇的8 個測試函數(shù)上均獲得最優(yōu)結(jié)果.則當(dāng)σ= 0.01 時,維度缺失檢測與恢復(fù)效果較好,可以跳出進(jìn)化停滯概率,提高算法收斂精度與收斂速度.

4.4 CCDMR與MOFBVE,CBCC3,CC-CNS對比

結(jié)合目前研究情況,選擇在CEC2013 測試函數(shù)上進(jìn)行評估的已有算法MOFBVE,CBCC3 和CC-CNS與之進(jìn)行比較.比較結(jié)果如表4 所示,其中CCDMR 算法的優(yōu)化函數(shù)選擇自適應(yīng)的基于鄰域搜索的差分進(jìn)化算法(SaNSDE),分組方式選擇差分分組.

表4 為本文方法數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)[7,13,17]中的數(shù)據(jù)對比.

表4 CCDMR 與MOFBVE,CBCC3 和CC-CNS 結(jié)果比較Table 4 Comparison of CCDMR with MOFBVE,CBCC3 and CC-CNS results

從表4 中可以看到,本文方法在4 個測試函數(shù)(f5,f7,f9,f11)上優(yōu)于另外三個算法;CC-CNS 在2 個測試函數(shù)(f6,f10)上優(yōu)于另外三個算法;CCBC3 在2 個測試函數(shù)(f4,f8)上優(yōu)于另外三個算法.在所選測試函數(shù)中,本文方法在一半測試函數(shù)上優(yōu)于其它算法,收斂精度高于其它算法.

5 結(jié)束語

為了解決LSGO 問題中維度缺失、進(jìn)化停滯問題, 對進(jìn)化停滯種群進(jìn)行維度缺失檢測與恢復(fù).由于優(yōu)化問題搜索空間隨著維數(shù)增加成指數(shù)倍增長, 將維度缺失檢測與恢復(fù)結(jié)合協(xié)同進(jìn)化算法框架, 提出一種CCDMR 算法.根據(jù)理論分析及仿真結(jié)果可知: 1)CCDMR 算法結(jié)合協(xié)同進(jìn)化算法框架,可以降低維度缺失檢測與全局維度恢復(fù)的復(fù)雜度,加快收斂速度;2)CCDMR 算法能夠避免種群陷入局部最優(yōu),維持種群多樣性,提高了算法的收斂精度.

本文提出的基于維度缺失檢測與恢復(fù)的協(xié)同進(jìn)化算法選用了已有的三種分組策略,這三種分組策略尚不能夠準(zhǔn)確地將高維問題進(jìn)行分組,需研究出更加準(zhǔn)確的分組策略,這也是本文后續(xù)的研究內(nèi)容.