王旭飛，張 靜，沈酉慶，寇子明

（太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024）

0 引言

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，平面薄膜結(jié)構(gòu)憑借其質(zhì)量輕、折展比高、易折疊等優(yōu)勢，逐漸成為太陽帆、遮陽罩、空間可展天線等航天器結(jié)構(gòu)的重要發(fā)展方向［1-4］。為了確保薄膜在軌展開后達(dá)到正常的工作狀態(tài)，其表面形狀需要滿足平衡條件和結(jié)構(gòu)要求。因此，對(duì)平面薄膜結(jié)構(gòu)的膜面形狀進(jìn)行找形分析具有重要意義。

平面薄膜結(jié)構(gòu)主要由薄膜、張緊結(jié)構(gòu)和邊框支撐結(jié)構(gòu)組成。其中張緊結(jié)構(gòu)主要分為一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)和二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)［5］。在一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中，分布在薄膜邊界的索（邊索）直接穿過薄膜邊緣處的索套，其兩端與角點(diǎn)支座相連，從而實(shí)現(xiàn)膜面的張拉；二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中的索主要包含內(nèi)索和外索等，兩者在每一跨通過連接點(diǎn)或中間索進(jìn)行連接，通過內(nèi)索、外索、固定支座在平面薄膜結(jié)構(gòu)角點(diǎn)處的配合，以實(shí)現(xiàn)薄膜膜面的張拉。在平面薄膜結(jié)構(gòu)中，評(píng)價(jià)膜面性能的主要指標(biāo)有膜面基頻、有效面積率以及應(yīng)力分布均勻度等［2］。

薄膜結(jié)構(gòu)的找形方法主要有力密度法［6-7］、動(dòng)態(tài)松弛法［8-9］和非線性有限元法［10］。由于有限元軟件的廣泛應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者大多使用非線性有限元法進(jìn)行找形分析，并對(duì)膜面性能的影響因素做了大量研究。汪有偉等［4］通過非線性有限元找形分析發(fā)現(xiàn)，較之一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)，二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)可以減緩褶皺的發(fā)生。肖薇薇等［11］采用非線性有限元法研究了不同邊緣索曲線形狀對(duì)平面薄膜結(jié)構(gòu)中膜面基頻和應(yīng)力分布均勻度的影響。丁瀟等［5］采用非線性有限元法對(duì)平面薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形分析，研究了索力和張緊形式對(duì)膜面有效面積率、基頻和支座反力的影響。項(xiàng)平等［12］采用非線性有限元法對(duì)不同張緊結(jié)構(gòu)的平面薄膜進(jìn)行了找形分析，結(jié)果表明二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的膜面應(yīng)力分布均勻度低于一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)。目前已有的研究主要集中于索力、結(jié)構(gòu)邊界形狀和張緊形式對(duì)膜面有效面積率以及應(yīng)力分布均勻度的影響，較少考慮膜面預(yù)應(yīng)力、厚度、跨數(shù)對(duì)膜面有效面積率、基頻和應(yīng)力分布均勻度的影響。

二次找形法則是對(duì)非線性有限元法的二次使用［13］，其具體分析過程為：第1 次采用非線性有限元法時(shí)，通常將薄膜和索的彈性模量降低2 個(gè)數(shù)量級(jí)，使膜面和索柔軟到可以自由變形，再對(duì)其施加初始預(yù)應(yīng)力和邊界條件，得到應(yīng)力分布相對(duì)均勻的初始近似曲面，此過程也被稱為小彈性模量法；之后，將初始近似曲面進(jìn)行第2 次非線性有限元分析，輸入薄膜和索的真實(shí)彈性模量，最終可得到較為精確的曲面［14］。由文獻(xiàn)［15］可知，二次找形法具有收斂速度快，收斂性好等優(yōu)點(diǎn)，且已廣泛應(yīng)用于建筑薄膜結(jié)構(gòu)找形，但在空間平面薄膜結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用卻極少。

本文采用二次找形法，對(duì)一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)和含中間索的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)時(shí)的平面薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行了找形分析，并通過改變膜面預(yù)應(yīng)力、厚度、跨數(shù)等參數(shù)，分析其對(duì)基頻、有效面積率以及應(yīng)力分布均勻度的影響，為結(jié)構(gòu)分析提供數(shù)值參考。

1 張緊結(jié)構(gòu)中預(yù)應(yīng)力計(jì)算方法

1.1 一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)

由胡克定律知，一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中邊索預(yù)張力T和膜面預(yù)應(yīng)力F［4］為：

式中：Ec為邊索的彈性模量；Ac為邊索的截面面積；εc為邊索的應(yīng)變；Em為薄膜的彈性模量；hm為薄膜厚度；ν為薄膜的泊松比；εm為薄膜的應(yīng)變。

由于建模時(shí)邊索單元與膜單元之間共享節(jié)點(diǎn)，為了避免薄膜出現(xiàn)褶皺，同時(shí)減少膜面與邊索之間的摩擦［4］，應(yīng)使邊索與薄膜的應(yīng)變值保持一致。通過對(duì)應(yīng)變值進(jìn)行設(shè)定，可求得一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中薄膜和邊索的預(yù)應(yīng)力。

1.2 二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)

在一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中，相鄰兩支座之間計(jì)為一跨，如果薄膜的任意一條邊有S個(gè)支座，則此結(jié)構(gòu)的跨數(shù)為S-1；在含中間索的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中，相鄰兩中間索之間計(jì)為一跨，若此結(jié)構(gòu)的中間索數(shù)目為M，則其跨數(shù)為M-1。

在對(duì)張緊形式為二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)（含中間索）的薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體找形時(shí)，為使膜面能夠處于理想的平衡狀態(tài)，需確定各索的預(yù)張力，即索力大小。在此以中間索數(shù)目為6，跨數(shù)為5 的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)為例，進(jìn)行索力的分析計(jì)算。

為了簡化找形過程，將如圖1 所示的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)拆分成5 跨的一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)、中間索和外索三部分。首先取出內(nèi)索和膜面，將內(nèi)索與中間索的連接點(diǎn)處設(shè)置成固定支座，此結(jié)構(gòu)相當(dāng)于5 跨的一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)［5］，并對(duì)其完成找形分析；然后將結(jié)果中的各個(gè)支座反力作為中間索的預(yù)張力；最后，通過力的平衡分析以完成外索索力大小的確定。

圖1 跨數(shù)為5的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的初始模型（mm）

為使中間索在找形之后仍能基本維持豎直或水平狀態(tài)，對(duì)外索施加滿足平衡條件的預(yù)張力。假設(shè)索力平衡時(shí)張緊結(jié)構(gòu)形態(tài)如圖2 所示。

圖2 假設(shè)平衡時(shí)張緊結(jié)構(gòu)形態(tài)

若α1、α2中任意一個(gè)角度值為已知，即可求得外索預(yù)張力T1、T2和T3，即：

式中：Tn1、Tn2、T4為中間索的預(yù)張力；α1、α2為外索與水平線之間的夾角。

2 一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)下找形及數(shù)值分析

利用ABAQUS軟件，對(duì)平面薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形分析，薄膜采用聚酰亞胺材料，索采用Kevlar 材料，其中薄膜和索的具體參數(shù)見表1。

表1 薄膜和索的參數(shù)

有限元模型中，薄膜采用S3 殼單元，索采用T3D2桁架單元，薄膜和邊索進(jìn)行綁定約束，并對(duì)邊索處4 個(gè)角點(diǎn)施加完全固定約束。另外，對(duì)于含中間索的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)，內(nèi)索與中間索的連接點(diǎn)、中間索與外索連接點(diǎn)均進(jìn)行綁定約束。整個(gè)分析過程均涉及幾何非線性［15］。

2.1 一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)下的找形分析

建立如圖3 所示的初始模型，其中方形膜面邊長為1 000 mm。根據(jù)式（1），取εc=εm=0.20%，可計(jì)算得到薄膜的預(yù)應(yīng)力與邊索的預(yù)張力分別為1.23、31.60 N。利用降溫法［16］分別對(duì)薄膜和邊索施加預(yù)應(yīng)力。

圖3 一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的初始模型（mm）

經(jīng)過兩次找形后得到的膜面應(yīng)力分布結(jié)果分別如圖4 所示。

圖4 兩次找形后膜面應(yīng)力分布云圖

由圖4 可知，第1 次小彈性模量找形與第2 次找形后的幾何形態(tài)相似。第1 次找形后的膜面應(yīng)力分布范圍為0.715～3.931 MPa；第2 次找形后的膜面應(yīng)力分布范圍為0.720～3.520 MPa。由于第1 次找形時(shí)使用的彈性模量較小，使薄膜能夠柔軟地進(jìn)行張拉，因此造成兩次找形應(yīng)力分布范圍相差較大。

經(jīng)過兩次找形后的薄膜更加真實(shí)且更能滿足結(jié)構(gòu)要求，同時(shí)也驗(yàn)證了二次找形法的可行性和實(shí)用性。此外，找形后的膜面并非等應(yīng)力分布，造成此現(xiàn)象的原因主要有兩點(diǎn)：①薄膜和邊索的連接方式會(huì)影響膜面應(yīng)力分布；②角點(diǎn)處為完全約束形式，極易導(dǎo)致此處的薄膜出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，進(jìn)而使膜面應(yīng)力分布不均勻。

2.2 基頻的影響因素

基頻是結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的重要參數(shù)。對(duì)于平面薄膜結(jié)構(gòu)來說，基頻越大，其剛度也就越大。本文分析了一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中薄膜厚度不同時(shí)，膜面預(yù)應(yīng)力、跨數(shù)對(duì)膜面基頻的影響。

（1）膜面預(yù)應(yīng)力對(duì)基頻的影響。邊索預(yù)張力保持31.60 N不變，對(duì)薄膜厚度為26.50～200 μm、膜面預(yù)應(yīng)力分別為0.5、0.75、1、1.23、1.50 和2 MPa 時(shí)的平面薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形分析，結(jié)果如圖5 所示。

由圖5 可知，當(dāng)薄膜厚度保持不變，且膜面預(yù)應(yīng)力由0.5 MPa增大到2 MPa 時(shí)，膜面基頻呈現(xiàn)較快的增長態(tài)勢。當(dāng)膜面預(yù)應(yīng)力保持不變時(shí)，基頻隨薄膜厚度增大而減小。

圖5 不同薄膜厚度下基頻隨膜面預(yù)應(yīng)力的變化曲線

（2）跨數(shù)對(duì)基頻的影響。在保證一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中膜面預(yù)應(yīng)力與邊索預(yù)張力不變的前提下，分析了跨數(shù)對(duì)膜面基頻的影響，結(jié)果見表2。

表2 不同跨數(shù)下的膜面基頻

由表2 可知，在一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中，基頻隨著跨數(shù)的增多而增大，意味著薄膜的膜面剛度也隨之增大。

2.3 有效面積率的影響因素

平面薄膜結(jié)構(gòu)的有效面積是指找形分析完成后索膜邊界曲線所圍形狀的內(nèi)切矩形面積，有效面積率是指該面積與邊框圍成的矩形面積之比，它是平面薄膜結(jié)構(gòu)的重要設(shè)計(jì)指標(biāo)［5］。

（1）膜面預(yù)應(yīng)力對(duì)有效面積率的影響。在薄膜厚度為26.50～200 μm、邊索預(yù)張力為1.23 MPa 時(shí)，對(duì)平面薄膜結(jié)構(gòu)的有效面積率進(jìn)行分析，其中膜面預(yù)應(yīng)力的取值與2.2（1）節(jié)中相同。結(jié)果曲線如圖6 所示。

圖6 不同薄膜厚度下有效面積率隨膜面預(yù)應(yīng)力的變化曲線

由圖6 可知，當(dāng)邊索預(yù)張力保持不變時(shí)，有效面積率隨膜面預(yù)應(yīng)力的增大而減小，且不同厚度薄膜對(duì)應(yīng)的有效面積率的變化趨勢是相同的。當(dāng)膜面預(yù)應(yīng)力保持不變，薄膜厚度從26.50 μm 增大到200 μm 時(shí)，膜面有效面積率的變化幅度不大；但隨著膜面預(yù)應(yīng)力增大，相近厚度薄膜的有效面積率的變化幅度也隨之增大。

（2）跨數(shù)對(duì)有效面積率的影響。在膜面預(yù)應(yīng)力為1.23 MPa和邊索預(yù)張力為31.60 N不變的情況下，研究跨數(shù)對(duì)有效面積率的影響，結(jié)果如圖7 所示。

圖7 不同跨數(shù)下的有效面積率

由圖7 可知，當(dāng)跨數(shù)從1 增大到6 時(shí)，膜面有效面積率也隨之增大，但其增長速率逐漸放緩。當(dāng)一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的跨數(shù)為6 時(shí)，其有效面積率高達(dá)98.50%。

2.4 應(yīng)力分布均勻度的影響因素

采用膜面所有節(jié)點(diǎn)的Mises應(yīng)力均方差值與其均值的比值作為膜面應(yīng)力分布是否均勻的衡量標(biāo)準(zhǔn)，并將此比值稱為應(yīng)力波動(dòng)系數(shù)φ。φ 越小，表明膜面應(yīng)力分布越均勻［11］。膜面所有節(jié)點(diǎn)的Mises 應(yīng)力均方差值σ計(jì)算公式如下：

式中：σi為膜面節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的仿真值；σm為所有節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的均值；N為節(jié)點(diǎn)總個(gè)數(shù)。

（1）膜面預(yù)應(yīng)力對(duì)應(yīng)力分布均勻度的影響。膜面預(yù)應(yīng)力對(duì)應(yīng)力分布均勻度的影響分析是在薄膜厚度為26.50～200 μm、邊索預(yù)張力保持1.23 MPa不變的情況下進(jìn)行的，其中膜面預(yù)應(yīng)力的取值與2.2（1）節(jié)中相同。結(jié)果如圖8 所示。

圖8 不同薄膜厚度下φ隨膜面預(yù)應(yīng)力的變化曲線

由圖8 可知，當(dāng)薄膜厚度一定時(shí)，應(yīng)力波動(dòng)系數(shù)隨膜面預(yù)應(yīng)力的增大而減小，表明當(dāng)膜面預(yù)應(yīng)力在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，膜面應(yīng)力分布隨著膜面預(yù)應(yīng)力增大會(huì)越均勻，此時(shí)薄膜越不易形成褶皺。保持邊索預(yù)張力和膜面預(yù)應(yīng)力不變，隨著薄膜厚度增大，膜面應(yīng)力波動(dòng)系數(shù)也隨之增大，則膜面應(yīng)力分布越不均勻。

（2）跨數(shù)對(duì)應(yīng)力分布均勻度的影響。保證一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中膜面預(yù)應(yīng)力為1.23 MPa 與邊索預(yù)張力為31.60 N不變的前提下，研究了跨數(shù)對(duì)φ的影響，結(jié)果曲線如圖9 所示。

圖9 跨數(shù)對(duì)φ的影響曲線

由圖9 可知，當(dāng)跨數(shù)為1～6 時(shí)，膜面應(yīng)力波動(dòng)系數(shù)隨著跨數(shù)的增多而減小，表明膜面應(yīng)力分布越均勻。

3 二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)下的找形及結(jié)果對(duì)比分析

3.1 二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)下的找形分析

在膜面預(yù)應(yīng)力為1.23 MPa 不變的條件下，通過1.2 節(jié)中索力計(jì)算方法得出各個(gè)索力大小，采用二次找形法對(duì)如圖1 所示的模型進(jìn)行找形，其中，方形薄膜邊長為1 m，結(jié)構(gòu)中角點(diǎn)處中間索長度為，其余中間索長度均為80 mm。圖10 為跨數(shù)為5 的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)找形后的膜面Mises應(yīng)力分布云圖。

圖10 膜面Mises應(yīng)力分布云圖

通過圖10 可得，薄膜結(jié)構(gòu)找形后膜面應(yīng)力分布范圍為0.723～5.602 MPa，其中膜面在中間索與內(nèi)索連接點(diǎn)處以及4 個(gè)角點(diǎn)處的應(yīng)力值較大。

3.2 不同張緊形式下找形結(jié)果對(duì)比

對(duì)4、5、6 跨的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形，并將其與同等跨數(shù)下的一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的找形結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果見表3。

表3 跨數(shù)為4、5、6 的一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)與二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的找形結(jié)果對(duì)比

由表3 可知，在膜面預(yù)應(yīng)力相同條件下，相同跨數(shù)的二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)與一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)相比，其有效面積率和基頻均較小，但應(yīng)力波動(dòng)系數(shù)較大。

4 結(jié)論

本文利用ABAQUS軟件，針對(duì)膜面尺寸為1 m×1 m的平面薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行了找形分析。探究了一定條件下，不同的張緊形式、膜面預(yù)應(yīng)力等參數(shù)對(duì)膜面有效面積率、基頻和應(yīng)力分布均勻度等性能指標(biāo)的影響，得出了以下結(jié)論：

（1）在一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)中，基頻和應(yīng)力分布均勻度與膜面預(yù)應(yīng)力和跨數(shù)的變化均成正相關(guān)。隨著跨數(shù)增多，有效面積率也隨之增大，但當(dāng)膜面預(yù)應(yīng)力逐漸增大時(shí)，有效面積率反之減?。?/p>

（2）相同的膜面預(yù)應(yīng)力和跨數(shù)下，與二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)相比，一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的有效面積率和基頻較大，應(yīng)力波動(dòng)系數(shù)較小，表明在此條件下，一級(jí)張緊結(jié)構(gòu)的膜面性能要優(yōu)于二級(jí)張緊結(jié)構(gòu)。