展凱云，劉 冰，焦志勇

（中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，山東青島 266580）

0 引言

宇稱時間（Parity-Tme，PT）對稱系統(tǒng)中的光波傳播動力學(xué)行為，由于其獨(dú)特的物理性質(zhì)和潛在的應(yīng)用，成為近幾年非線性物理中一個備受關(guān)注的課題［1］。量子力學(xué)表明，對于非厄米哈密頓量，如果系統(tǒng)滿足宇稱時間對稱性，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，也可以有一個完全實(shí)數(shù)的功率譜，這就要求物理系統(tǒng)復(fù)勢的實(shí)部和虛部分別是坐標(biāo)的偶函數(shù)和奇函數(shù)，需要說明的是該物理?xiàng)l件是必要但不充分的［2］。實(shí)驗(yàn)表明，宇稱時間對稱系統(tǒng)可通過光學(xué)手段來實(shí)現(xiàn)［3］，即通過控制光學(xué)材料的復(fù)介電常數(shù)來調(diào)控，由于復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部和虛部分別對應(yīng)于材料的折射率和損耗/增益，為了滿足宇稱時間對稱性的要求，必須保證折射率是坐標(biāo)的偶函數(shù)，而損耗/增益是坐標(biāo)的奇函數(shù)。光學(xué)框架內(nèi)復(fù)雜宇稱時間對稱勢的實(shí)現(xiàn)為新穎光學(xué)控制方案的提供鋪平了道路，獲得了許多新穎的光傳輸特性和規(guī)律［4-8］，但是該類宇稱時間對稱系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法較為復(fù)雜，工藝要求高，調(diào)控自由度較小，使得光束在宇稱時間對稱系統(tǒng)中傳輸動力學(xué)行為的研究主要停留在理論預(yù)測方面。為了減少復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)難度和限制，最近幾年興起了一類新的人工網(wǎng)絡(luò)晶格的實(shí)現(xiàn)技術(shù)，該類技術(shù)是利用一個耦合器連接兩個可耦合的光纖環(huán)路構(gòu)成，利用光纖時間復(fù)用技術(shù)，可以靈活地構(gòu)造各類人工晶格，為研究周期離散結(jié)構(gòu)中的光束傳輸動力學(xué)行為提供了靈活可調(diào)的宏觀實(shí)驗(yàn)平臺。研究者相繼在該類系統(tǒng)中觀測到了多種光束傳輸動力學(xué)行為，如離散衍射、泰伯效應(yīng)、布洛赫振蕩［9］、局域模［10］、表面態(tài)［11］等現(xiàn)象。另外，基于該技術(shù)，通過兩次周期性的交換其損耗/增益路徑也實(shí)現(xiàn)了宇稱時間對稱系統(tǒng)［12-14］。

本文討論了采用光纖時間復(fù)用技術(shù)，利用耦合光纖環(huán)路設(shè)計(jì)宇稱時間對稱光子體系的方法，利用Matlab軟件分析了系統(tǒng)參數(shù)對該類光學(xué)系統(tǒng)能帶結(jié)構(gòu)的影響，并數(shù)值模擬了高斯光束和周期光場在該類光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性。結(jié)果表明，通過適當(dāng)選擇增損耗/益系數(shù)、光纖耦合系數(shù)、相位調(diào)制參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對宇稱時間對稱光學(xué)體系能帶結(jié)構(gòu)及光傳輸特性的有效控制，最終形成了一套宇稱時間對稱光學(xué)體系的設(shè)計(jì)及光傳輸數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)方法。

1 宇稱時間對稱光學(xué)系統(tǒng)數(shù)值實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)構(gòu)造

時間復(fù)用技術(shù)配置圖如圖1（a）所示，該系統(tǒng)由兩個長度相差為ΔL耦合光纖環(huán)路構(gòu)成，它們通過耦合強(qiáng)度為θ的定向耦合器進(jìn)行耦合。當(dāng)一個初始光信號入射進(jìn)入該系統(tǒng)，經(jīng)過耦合器之后分離成兩個信號，然后分別沿著長、短光纖環(huán)傳播，從而實(shí)現(xiàn)左右位置的橫向耦合，如圖1（b）所示，對應(yīng)于相應(yīng)的空間光學(xué)網(wǎng)絡(luò)晶格的橫向離散坐標(biāo)n。兩光纖長度差值將產(chǎn)生離散化的到達(dá)時間間隔，通過監(jiān)測這些環(huán)路中的往返次數(shù)m，獲得時間上的獨(dú)立離散化。利用電光調(diào)制器和波形發(fā)生器可以精確控制光路上的相位φn，光脈沖振幅調(diào)制的微調(diào)可以通過聲光調(diào)制器來實(shí)現(xiàn)，從而有效控制環(huán)路中的損耗/增益因子γ。該類時間晶格在空間上的等效結(jié)構(gòu)見圖1（b），通過使用周期性離散的波導(dǎo)陣列耦合而成，每個陣列位置n上可引入調(diào)制相位φn。研究表明，通過選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)宇稱時間對稱光學(xué)體系能帶結(jié)構(gòu)的有效控制。

圖1 雙光纖耦合配置圖（a）和宇稱時間對稱系統(tǒng)（b）

1.2 理論模型

為了實(shí)現(xiàn)宇稱時間對稱性結(jié)構(gòu)，要求勢函數(shù)的虛部即增益/損耗必須滿足奇對稱，可以通過聲光調(diào)制器調(diào)制環(huán)路的增益因子在γ 和-γ 之間交替變化，此時該類系統(tǒng)中光束演化可用下面的迭代方程定量表示［9，12］：

式中：、分別表示離散傳播距離m，波導(dǎo)陣列n處，長、短光纖環(huán)路中的光電場幅值。另一方面，為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全局宇稱時間對稱性要求勢函數(shù)實(shí)部的偶對稱性，可以調(diào)控相位值滿足關(guān)系：

式中：K為整數(shù)；φ0為選定的調(diào)制相位值。

為了分析該類光學(xué)系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)，引入下面的試探平面波解：

式中：β表示縱向波數(shù)，即平面波的傳播常數(shù)；k為橫向波數(shù)，相當(dāng)于空間周期晶格的布洛赫動量。對于考慮的宇稱時間對稱光學(xué)體系來講，每個原包中含有8 個獨(dú)立的格點(diǎn)，如圖1（b）中紅色矩形方框所示。所以系統(tǒng)的光傳輸動力學(xué)行為需要16 個方程來描述，這些方程可用下列耦合方程來描述：

式中：l=n-1，n，n+1，n+2；i，j=m，m+1，并且i≠j。通過數(shù)值求解上述耦合方程可以得到能帶結(jié)構(gòu)隨增益/損耗系數(shù)γ、光纖耦合系數(shù)θ、相位調(diào)制參數(shù)φ0的變化規(guī)律，從而數(shù)值闡明該類宇稱時間對稱光學(xué)體系的能帶結(jié)構(gòu)特性。

2 宇稱時間對稱光學(xué)體系能帶結(jié)構(gòu)分析

2.1 能帶結(jié)構(gòu)隨γ的變化規(guī)律

圖2 所示為θ=π/3，φ0=π/6 時，不同增益/損耗系數(shù)下的能級結(jié)構(gòu)變化圖。黑色和紅色實(shí)線分別表示能量譜的實(shí)部和虛部。由于光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的周期性，能級結(jié)構(gòu)在縱向（m）和橫向（n）向上均具有周期性，其周期分別為π和π/2，所以本文只給出了第一布里淵區(qū)β∈［-π/2，π/2］，k∈［-π/4，π/4］內(nèi)能級結(jié)構(gòu)圖。顯然，存在4 個能級，相對于β=0，k=0 均具有對稱性。當(dāng)γ值較小時，整個能帶的本征值均為實(shí)數(shù)，隨著γ的增大，處于正、負(fù)能量區(qū)的能級逐漸遠(yuǎn)離中心，但是處于正、負(fù)能量區(qū)域內(nèi)的兩條能級之間的間隔逐步減?。ㄒ妶D2（a）和（b））。當(dāng)γPT=0.55 時，上、下兩條能級在布里淵區(qū)邊緣（k=-π/4，π/4）發(fā)生了簡并，此時對應(yīng)著宇稱時間對稱系統(tǒng)的相變點(diǎn)（見圖2（c））。當(dāng)γ ＞0.55，能帶結(jié)構(gòu)的虛部開始大于0（見圖2（d）），當(dāng)0.55 ＜γ ＜0.795 5 時，能帶結(jié)構(gòu)是部分復(fù)數(shù)的。另外，損耗/增益系數(shù)存在另外一個臨界值γCI=0.795 5，當(dāng)γ ＞γCI時，整個能帶結(jié)構(gòu)所有的能級值均是復(fù)數(shù)。顯然，能帶結(jié)構(gòu)隨著增益/損耗系數(shù)γ的增大的變化規(guī)律為：全部實(shí)能量譜→部分復(fù)能量譜→全部復(fù)能量譜。

圖2 θ=π/3時，不同增益/損耗系數(shù)的能帶結(jié)構(gòu)

通過改變系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)一步研究能帶結(jié)構(gòu)隨γ的變化規(guī)律，如圖3 所示。與圖2 相比，固定φ0值，選取不同的耦合強(qiáng)度，θ=0.26π，此時能帶結(jié)構(gòu)變化規(guī)律與圖2 情況類似，仍然存在4 個相對于β=0，k=0 均對稱的能級。隨著γ的增加，能帶結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律仍然為：全部實(shí)能量譜→部分復(fù)能量譜→全部復(fù)能量譜，即能帶結(jié)構(gòu)變化過程存在3 個階段，當(dāng)γ ＜γPT=0.233時，整個能帶譜均為實(shí)數(shù)［見圖3（a），（b）］，當(dāng)γPT＜γ ＜γCI=1.34 時［見圖3（c），（d）］，能帶結(jié)構(gòu)是部分復(fù)數(shù)的，而在γ ＞γCI范圍內(nèi)［見圖3（e），（f）］，整個能帶譜均為復(fù)數(shù)。圖3 與圖2 的不同點(diǎn)在于，隨著γ 的增加，簡并點(diǎn)出現(xiàn)的位置不同，當(dāng)θ=0.26π，γPT=0.233 時，最上端和最低端的兩條能級在布里淵區(qū)中心（k=0）開始發(fā)生簡并，如圖3（c）所示，隨后在正、負(fù)傳播常數(shù)區(qū)域的兩條能級才會在布里淵區(qū)邊緣發(fā)生簡并［見圖3（d）］。

圖3 當(dāng)θ=0.26π時，不同增益/損耗系數(shù)的能帶結(jié)構(gòu)

2.2 能帶結(jié)構(gòu)隨耦合強(qiáng)度θ的變化規(guī)律

下面研究宇稱時間對稱光學(xué)體系的能帶結(jié)構(gòu)隨耦合強(qiáng)度θ的變化規(guī)律。當(dāng)φ0=π/6，γ=0.5 時，不同耦合強(qiáng)度θ=0，0.15π，0.25π，0.347π，0.36π，0.377 6π，0.5π和0.64π的能帶結(jié)構(gòu)分別繪制在圖4（a）～（h）中。當(dāng)θ=0 時，兩個光纖回路之間沒有任何的耦合過程，整個系統(tǒng)退化為只含有長光纖環(huán)路的光纖系統(tǒng)，此時系統(tǒng)禁帶寬度為0。當(dāng)θ ＞0 時，布里淵區(qū)邊緣處能級發(fā)生分裂，而布里淵區(qū)中心處能級簡并程度加強(qiáng)，使得能量譜為部分復(fù)數(shù)［見圖4（b）］，當(dāng)θ=0.25π時，虛部值達(dá)到最大值，之后，虛部的幅值逐步降低，當(dāng)θPT1=0.334π 時，能譜的第1 相變點(diǎn)出現(xiàn)［見圖4（c）］，也就是說能量譜開始變?yōu)槿繉?shí)數(shù)，該特性一直持續(xù)到第2 個相變點(diǎn)θPT1=0.347π［見圖4（d）］，之后，能級開始在布里淵區(qū)邊緣處發(fā)生簡并，相應(yīng)的能量譜又變?yōu)椴糠謴?fù)數(shù)，如圖4（e）所示，當(dāng)θ ＞θCI=0.377 6π時能帶結(jié)構(gòu)變?yōu)槿繌?fù)數(shù)能量譜［見圖4（g）］。顯然在0～0.5π 范圍內(nèi)，能帶結(jié)構(gòu)隨耦合強(qiáng)度θ的變化規(guī)律為部分復(fù)數(shù)能量譜→全部實(shí)能量譜→部分復(fù)能量譜→全部復(fù)能量譜。根據(jù)能帶結(jié)構(gòu)的周期性，當(dāng)θ ＞0.5π時，能量譜會重復(fù)上述過程，如圖4（h）所示，當(dāng)θ=0.64π時其能帶結(jié)構(gòu)與θ=0.36π時的能帶結(jié)構(gòu)完全相同。

圖4 當(dāng)φ0=π/6時，不同耦合強(qiáng)度的能帶結(jié)構(gòu)

圖5 為結(jié)構(gòu)參數(shù)φ0=0.4π和γ=0.5 時，不同耦合強(qiáng)度θ的能帶結(jié)構(gòu)圖。研究結(jié)果表明第1 個相變點(diǎn)發(fā)生在θPT=0.347π 處，當(dāng)θ ＜0.347π 時能帶為全實(shí)數(shù)（見圖5（b））。當(dāng)γPT＜γ ＜γCI=0.360 8π時（見圖5（d）），能帶結(jié)構(gòu)是部分復(fù)數(shù)的，而在γ ＞γCI范圍內(nèi)（見圖5（e）、（f）），整個能帶譜均為復(fù)數(shù)。該類情況下能帶結(jié)構(gòu)隨耦合強(qiáng)度θ的變化規(guī)律為全部實(shí)能量譜→部分復(fù)能量譜→全部復(fù)能量譜。圖5（g）和（h）分別為θ=0.645π和θ=0.8π時的能帶圖，由于其周期性，它們與θ=0.355π 和θ=0.2π 時的能帶圖結(jié)構(gòu)完全相同。此外，不同于圖4 情況，當(dāng)φ0=0.4π和γ=0.5時，位于正、負(fù)能量譜區(qū)域的兩條能級相對于各自的帶隙中心具有對稱性。

圖5 當(dāng)φ0=0.4π時，不同耦合強(qiáng)度的能帶結(jié)構(gòu)

2.3 能帶結(jié)構(gòu)隨φ0 的變化規(guī)律

固定損耗/增益系數(shù)γ=0.5，圖6 給出了當(dāng)θ=π/3 時，不同相位調(diào)制參數(shù)φ0的能帶結(jié)構(gòu)圖。結(jié)果表明，當(dāng)θ=π/3 時，在0～π 范圍內(nèi)能帶結(jié)構(gòu)隨相位調(diào)制參數(shù)φ0的變化規(guī)律為部分復(fù)能量譜→全部實(shí)能量譜→部分復(fù)能量譜。兩個相變點(diǎn)分別為φ0PT=0.266π和φ0PT=0.834π，當(dāng)φ0＜0.266π和φ0＞0.834π時能帶為部分復(fù)能量譜（見圖6（a）、（b）、（h）），另外，處于正、負(fù)能帶區(qū)域的兩條能級不存在水平對稱軸。當(dāng)0.266π ＜γ ＜0.834π時（見圖6（c）～（g）），能帶結(jié)構(gòu)是全部實(shí)數(shù)的，而且正、負(fù)能帶區(qū)域的兩條能級相對于其帶隙中心具有對稱性。另一個顯著的特點(diǎn)是當(dāng)選擇φ0=π/2 兩側(cè)兩個距離相同的相位調(diào)制參數(shù)φ0時，正、負(fù)能帶區(qū)域的能級分別相對于β=0.25π 和-0.25π對稱，如圖6（b）、（h）和圖6（c）、（g）所示。

圖6 θ=π/3時，不同相位調(diào)制參數(shù)對應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)

圖7 為當(dāng)θ=0.36π，γ=0.5 時，不同相位調(diào)制參數(shù)對應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)圖。與圖6 對比，能帶結(jié)構(gòu)相對于φ0=π/2 仍然具有對稱性，但是不同的是，當(dāng)θ=0.36π時，能帶結(jié)構(gòu)在整個相位φ0的變化范圍內(nèi)，不存在完全的實(shí)能量譜值。當(dāng)φ0=0 時，能級簡并發(fā)生在布里淵中心區(qū)域，隨著相位參數(shù)的增加，能級開始在布里淵邊緣發(fā)生簡并，當(dāng)φ0=0.5π，能帶結(jié)構(gòu)變?yōu)槿珡?fù)數(shù)，之后能帶結(jié)構(gòu)又變?yōu)椴糠謴?fù)數(shù)，顯然在整個變化區(qū)域部分復(fù)數(shù)能量譜主要來自能級在布里淵邊緣處的簡并帶來的。

圖7 θ=0.36π時，不同相位調(diào)制參數(shù)對應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)

3 宇稱時間對稱光學(xué)系統(tǒng)中光傳輸特性

3.1 點(diǎn)光源光束傳輸特性

選取一個點(diǎn)光源在n=0 格點(diǎn)處入射該光學(xué)體系，固定增益/損耗系數(shù)、光纖耦合系數(shù)、相位調(diào)制參數(shù)其中的兩個，改變第3 個體系參數(shù)，相應(yīng)的光束傳輸特性如圖8 所示，最上一行為當(dāng)θ=π/3、φ0=π/6 時，不同增益/損耗系數(shù)γ=0.2、0.55 和0.6 的光束強(qiáng)度演化圖；中間一行為當(dāng)φ0=π/6、γ=0.5 時，不同耦合強(qiáng)度θ=0.2π、0.34π和0.36π 的光束強(qiáng)度演化圖；第3 行為當(dāng)θ=π/3、γ=0.5 時，不同相位調(diào)制參數(shù)φ0=0.1π、0.3π和0.7π的光束強(qiáng)度演化圖。與上述能帶結(jié)構(gòu)討論類似，選擇其能量譜分別為全實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)時的情況。由該圖可知，對于特定的體系參數(shù)，當(dāng)相應(yīng)的能量譜為全實(shí)數(shù)時，宇稱時間對稱性得以維持，光束能量能夠連續(xù)的色散（衍射）至相鄰晶格，表現(xiàn)為典型的線性展寬現(xiàn)象，如圖8（a）、（e）、（h）、（i）所示；而當(dāng)系統(tǒng)宇稱時間對稱性被破壞以后，光束能量不僅分散而且隨著距離呈指數(shù)增長。在數(shù)值模擬過程中，選擇了很多的系統(tǒng)參數(shù)，研究結(jié)果表明，光束的演化規(guī)律均表現(xiàn)出上述特性。

圖8 點(diǎn)光源光束傳輸特性

3.2 周期性光場傳輸特性

周期性光場在空間傳輸時可表現(xiàn)為自成像現(xiàn)象，即經(jīng)過一定的縱向傳播距離后初始光場分布會完全重現(xiàn)，該現(xiàn)象又稱之為泰伯效應(yīng)，相應(yīng)的光場重現(xiàn)處的距離稱之為泰伯長度或自成像距離［15］。而對于離散波導(dǎo)來講，理論和實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)激發(fā)的波導(dǎo)周期為特定值時，也可以在波導(dǎo)觀測到離散的自成像現(xiàn)象［16］。下面簡單闡明在本文中設(shè)計(jì)的宇稱時間對稱光學(xué)體系，當(dāng)入射的周期性光場周期N=4 時，通過選擇合適的體系參數(shù)時也會觀測到自成像現(xiàn)象。圖9 給出了周期性光場傳輸過程中光強(qiáng)演化圖，白色虛線為相應(yīng)的自成像位置。當(dāng)γ=0.2、θ=π/3 和φ0=π/6，周期性光場的自成像效應(yīng)，其泰伯長度為mT=36，而當(dāng)選擇γ=0.2，θ=π/3，φ0=π/2，和γ=0.4，θ=π/4，φ0=π/2，時其泰伯長度大約都為mT=75，但是傳播過程中光強(qiáng)分布發(fā)生了明顯的變化。這就表明，通過選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)可以觀測到光場分布和泰伯長度不同的自成像現(xiàn)象。

圖9 周期性光場傳輸特性

4 結(jié)語

本文分析了一種采用光纖時間復(fù)用技術(shù)，利用耦合光纖環(huán)路設(shè)計(jì)宇稱時間對稱光學(xué)體系的方法。利用Matlab軟件，系統(tǒng)討論了該系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)，通過引入增益/損耗系數(shù)、光纖耦合系數(shù)、相位調(diào)制參數(shù)3 個系統(tǒng)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了該類系統(tǒng)能帶結(jié)構(gòu)的有效控制；數(shù)值模擬了點(diǎn)光源光束和周期光場在該類系統(tǒng)中的傳輸特性，結(jié)果表明，通過適當(dāng)選擇系統(tǒng)參數(shù)可觀測到光場分布和泰伯長度不同的自成像現(xiàn)象。該類宇稱時間對稱光學(xué)體系實(shí)現(xiàn)方法具有實(shí)現(xiàn)方法簡單、調(diào)控自由度高等特點(diǎn)?；谠撓到y(tǒng)，人們可以進(jìn)一步研究其他的一些光學(xué)現(xiàn)象如布洛赫振動、光局域效應(yīng)等。該文形成了一套宇稱時間對稱光學(xué)體系的設(shè)計(jì)及光傳輸數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)方法，為人們系統(tǒng)認(rèn)識宇稱時間對稱體系的特性及光波傳播動力學(xué)行為提供了新的方法。