張端金， 王鐘堃

(鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)以網(wǎng)絡(luò)作為信息傳輸?shù)拿浇?，將傳感器獲得的數(shù)據(jù)經(jīng)由網(wǎng)絡(luò)發(fā)送至控制設(shè)備，控制設(shè)備對收到的信息進(jìn)行處理后交由執(zhí)行器執(zhí)行[1]。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)改善了傳統(tǒng)控制系統(tǒng)布線復(fù)雜、系統(tǒng)不穩(wěn)定等諸多問題[2]。然而，隨著網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變得越來越復(fù)雜，節(jié)點(diǎn)的數(shù)量持續(xù)增加，信號在網(wǎng)絡(luò)中傳輸易受到噪聲干擾從而引起數(shù)據(jù)丟失和系統(tǒng)的不穩(wěn)定[3-4]。因此，對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行濾波估計以還原真實(shí)傳輸信號就顯得尤為重要。

卡爾曼濾波[5]可以處理非平穩(wěn)信號和隨機(jī)信號，倘若噪聲信號的統(tǒng)計信息未知，那么卡爾曼濾波將失去最佳觀測性能。而H∞濾波不需要確切已知噪聲信號的種類和統(tǒng)計特性[6]，其將濾波問題與系統(tǒng)的H∞范數(shù)相結(jié)合，確保系統(tǒng)在受到噪聲干擾時，估計誤差的能量增益小于預(yù)選定的性能指標(biāo)。相對于卡爾曼濾波，H∞濾波具有更好的魯棒性[7]。

馬爾可夫跳變系統(tǒng)(Markov jump systems，MJSs)通過一組馬爾科夫鏈來描述系統(tǒng)在多個不同模態(tài)之間的跳變過程[8-9]。MJSs中跳變的模態(tài)可以很好地表示網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中不確定的系統(tǒng)狀態(tài)。Niu等[10]在轉(zhuǎn)移概率完全已知的情況下，研究具有丟包及不確定參數(shù)的離散時間MJSs魯棒H∞濾波問題。然而，在實(shí)際的MJSs中難以準(zhǔn)確獲得系統(tǒng)模態(tài)轉(zhuǎn)移概率。不僅如此，對于魯棒性能較差的閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)丟包概率超過某一固定值時會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此研究具有丟包的MJSs魯棒濾波及穩(wěn)定性控制已成為當(dāng)前主要任務(wù)。

作為對普通移位算子的改進(jìn),Delta算子在高速采樣下能避免出現(xiàn)極限環(huán)振蕩等不穩(wěn)定狀態(tài)。然而，目前采用Delta算子描述具有通信丟包和不確定參數(shù)的馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波的研究尚不多見。

基于以上討論，本文主要研究具有通信丟包和不確定參數(shù)的轉(zhuǎn)移概率部分未知的Delta算子馬爾可夫跳變系統(tǒng)H∞濾波問題。

1 問題描述

Delta算子定義：

(1)

式中：h為采樣周期。

考慮具有通信丟包及不確定參數(shù)的離散MJSs，建立基于Delta算子的狀態(tài)空間模型：

(2)

式中：x(k)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)矢量；y(k)∈Rm為測量輸出；ω(k)∈l2[0,+∞)為外部干擾信號；z(k)∈Rp為被估計的目的信號。{rk,k≥0}為離散時間MJSs模態(tài)，在有限集合S={1,2，…,N}中取值,當(dāng)rk=i,rk+1=j時，對應(yīng)的馬爾可夫跳變系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率Pr(rk+1=j|rk=i)=uij,uij≥0。

為簡化起見，將與模態(tài)相關(guān)的系統(tǒng)矩陣參數(shù)Ei∶=E(rk=i);Fi∶=F(rk=i);Hi∶=H(rk=i);Li∶=L(rk=i);Gi∶=G(rk=i)。ΔE(k,rk)和ΔF(k,rk)為未知的實(shí)矩陣，滿足范數(shù)有界不確定性：

(3)

式中：M(rk)、Na(rk)和Nb(rk)為已知具有適當(dāng)維度的實(shí)矩陣；X(k,rk)為滿足范數(shù)有界條件的未知矩陣。

式(2)中隨機(jī)變量α(k)服從Bernoulli分布，取值為0或1，即：

(4)

且β∈[0 1]是一個已知正常量，E為數(shù)學(xué)期望，滿足：

(5)

顯然，α(k)=0表示信道傳輸中發(fā)生丟包。

考慮以下形式的濾波器模型：

(6)

式中：xF(k)∈Rn為濾波器的狀態(tài)矢量；yk∈Rm為濾波器的輸入；zF(k)為信號z(k)的估計；CFi、DFi、BFi為待確定的濾波器參數(shù)。聯(lián)立式(2)、(6)可得以下濾波誤差系統(tǒng)：

(7)

定義1[11]若對于每個初始條件x0∈Rn和rk∈S，在ω(k)≡0的情況下，有以下不等式成立，則系統(tǒng)(見式(7))具有魯棒隨機(jī)穩(wěn)定性：

(8)

定義2[12]給定標(biāo)量γ>0，如果在零初始條件下對于所有非零ω(k)∈l2[0,+∞)，有以下不等式成立，則系統(tǒng)(見式(7))魯棒隨機(jī)穩(wěn)定，且滿足給定的H∞性能。

(9)

2 主要結(jié)果

定理1考慮離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)，給定常數(shù)γ>0，如果存在矩陣Pi>0，使得以下不等式成立，則濾波誤差系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定，并滿足給定的H∞性能。

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：

當(dāng)ω(k)=0時，由式(10)可得

(14)

由Schur補(bǔ)引理可知，式(14)等價于：

(15)

同理可得

當(dāng)ω(k)=0時，由不等式(11) 及Schur補(bǔ)引理可得

(16)

因此，將式(15)、(16)代入式(13)得

(17)

式中:a1、a2分別為式(15)、(16)的最小特征值下界。

定義a=a1+a2,則由式(17)可得，對于任意

因此，由定義1可知，該系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的。

為證明系統(tǒng)的H∞性能，有以下等式：

(18)

(19)

由Schur補(bǔ)引理可知，不等式(10)與式(11)成立，可得φi<0。

定理2對于給定γ>0，若存在矩陣Pi>0,且Qi使得以下不等式成立，則濾波誤差系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的，并滿足給定的H∞性能。

(20)

證明不等式(10)等價于：

(21)

<0。

(22)

定理3給定常數(shù)γ>0，對于式(3)中參數(shù)的整個不確定域，若存在矩陣Pi>0,Qi和正標(biāo)量εi使得以下不等式成立，則濾波誤差系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定且滿足H∞性能。

(23)

式中：

證明式(19)可寫成如下形式：

(24)

式中：

當(dāng)存在正標(biāo)量εi使得不等式(23)成立，由Schur補(bǔ)引理可得不等式(20)成立。

定理4對于具有通信丟包和不確定參數(shù)的離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)(見式(2))，若存在矩陣P1i、P2i、P3i、Cfi、Dfi、Bfi、Ui、Vi、Wi及正標(biāo)量εi滿足以下不等式，則濾波誤差系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定且滿足給定的H∞性能指標(biāo)γ。

(25)

式中：

Λ16=Ui(hEi+I)+hβDfiHi;

Λ17=Λ27=hCfi-hβDfiHi+Wi;

Λ26=Vi(hEi+I)+hβDfiHi;

濾波器的參數(shù)為

證明矩陣Pi和Qi具有以下形式：

其中,Wi為可逆矩陣。將濾波器參數(shù)代入不等式(25)可得不等式(23)，證畢。

3 數(shù)值仿真

考慮具有4個模態(tài)的離散MJSs(見式(2))，代入以下初始數(shù)據(jù)：

L1=0.800 0;L2=0.900 0;L3=0.810 0;L4=0.850 0;

Nb1=Nb2=Nb3=Nb4=0.1。

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下所示：

(26)

式中：p表示存在但不可預(yù)知的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率。

表1為不同傳輸概率下系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能指標(biāo)。其中γ1、γ2分別為移位算子系統(tǒng)、Delta算子系統(tǒng)的最優(yōu)H∞性能指標(biāo)。由表1可知：β取值越高，系統(tǒng)對于干擾的抑制度γ越小，即系統(tǒng)的性能越好。在相同傳輸率下，Delta算子系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能總是優(yōu)于移位算子系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能。當(dāng)β=0.6時，選擇初始條件x0=[0.4 0.6 0 0]T,能量有限噪聲信號ω(k)=0.5exp(-0.1k),則濾波系統(tǒng)誤差響應(yīng)如圖1所示。圖1表示在MJSs中4個模態(tài)的濾波誤差響應(yīng)分別收斂。

表1 不同傳輸概率下系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能指標(biāo)Table 1 OptimalH∞performance index under different transmission probabilities

圖1 4個模態(tài)的濾波誤差響應(yīng)Figure 1 Four-mode filtering error responses

圖2表明,在按照表1所示的部分未知轉(zhuǎn)移概率跳變?yōu)V波誤差系統(tǒng)的濾波誤差響應(yīng)可以在給定時間內(nèi)收斂。圖3中曲線分別表示MJSs的輸出響應(yīng)z(k)及模態(tài)相關(guān)濾波器的輸出響應(yīng)zF(k)。圖4表示傳輸概率取值為0.1～1.0時，Delta算子系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能指標(biāo)γ2取值分布。

圖2 跳變系統(tǒng)濾波誤差響應(yīng)(β=0.6)Figure 2 Filtering error response of jumping system(β=0.6)

圖3 跳變系統(tǒng)及濾波器輸出響應(yīng)(β=0.6)Figure 3 Jump system and filter output responses(β=0.6)

圖4 Delta算子系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能指標(biāo)Figure 4 Optimal H∞performance index of Delta operator system

4 結(jié)論

本文對具有通信丟包和不確定參數(shù)的離散MJSsH∞濾波器進(jìn)行分析與設(shè)計。離散MJSs的模態(tài)轉(zhuǎn)移概率部分未知且丟包概率服從伯努利分布，在相同丟包概率下Delta算子系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能總是優(yōu)于移位算子系統(tǒng)最優(yōu)H∞性能。轉(zhuǎn)移概率部分未知的Delta算子MJSs隨機(jī)穩(wěn)定且滿足給定的H∞性能。