楊旭升

(蘭州文理學(xué)院 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

1956年，Calderón等[1]首次研究了奇異積分算子的Lp有界性.隨后，Stein[2]、Weiss等[3]和Fefferman[4]分別探討了奇異積分算子與Hardy-Littlewood極大算子、面積積分等的關(guān)系，并取得了許多重要成果，這些成果的涌現(xiàn)極大地推動(dòng)了近代調(diào)和分析的發(fā)展.奇異積分理論的產(chǎn)生與發(fā)展，不僅在調(diào)和分析中有著重要的影響，而且它的理論與方法已廣泛滲透和應(yīng)用到偏微分方程等領(lǐng)域.如Byun 等[5]應(yīng)用奇異積分算子的有界性等理論研究了非線性橢圓方程的相關(guān)問題.苗長興等[6]研究了Littilewood-Paley 理論在流體動(dòng)力學(xué)方程中的應(yīng)用.近年來, 關(guān)于奇異積分算子的有界性研究引起了廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注, 例如：2004年，Ding[7]等研究了變量核 Marcinkiewicz 積分算子的Lp(Rn)有界性；2016年，Colombo等[8]給出了一種特殊的奇異積分算子，并得到了該算子的有界性；2018年，Shao 和Tao[9]證明了變量核 Marcinkiewicz積分算子及其交換子在變指標(biāo) Morrey 空間上的有界性.更多相關(guān)文獻(xiàn)可參見文獻(xiàn) [10-13].

受以上研究的啟發(fā), 本文探討分?jǐn)?shù)次Calderón-Zygmund奇異積分交換子在Lebesgue函數(shù)空間上的有界問題，并得到了分?jǐn)?shù)次Calderón-Zygmund奇異積分算子與Lipschitz函數(shù)生成的交換子在Lebesgue函數(shù)空間上的 (Lp,Lp) 有界性和弱 (1,1) 有界性.

1 預(yù)備知識(shí)

先給出分?jǐn)?shù)次 Calderón-Zygmund 奇異積分算子及其交換子的定義.

設(shè)f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞，定義分?jǐn)?shù)次 Calderón-Zygmund 奇異積分算子為

T(f)(x)=

(1)

設(shè)b∈Lipβ(Rn)，f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞，定義高階分?jǐn)?shù)次 Calderón-Zygmund 奇異積分交換子為

[b(x)-b(y)]mdy.

(2)

定義1 稱函數(shù)f(x)∈Lipβ(Rn)，如果滿足

(3)

定義2 設(shè)f∈LLoc(Rn)是一個(gè)上Rn的任意局部可積函數(shù)，定義Hardy-Littlewood極大算子為

這里上確界取遍所有球(方體)B(x,r).

引理1 設(shè)S是一個(gè)度量空間，1≤p≤∞，f,g∈Lp(S), 則f+g∈Lp(S)，進(jìn)而‖f+g‖Lp≤‖f‖Lp+‖g‖Lp成立.

本文中k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1，記Ck的特征函數(shù)為χk=χCk.

2 主要結(jié)果

證明設(shè)b∈Lipβ(Rn)，f∈Lp(Rn), 則有

[b(x)-b(y)]mdy≤

(4)

當(dāng) 1

根據(jù)Lp(Rn)中范數(shù)的平移不變性，令x-y=x，于是有

從而有

C‖b‖Lipβ‖f‖Lp(Rn).

結(jié)合以上估計(jì)，定理1得證.

證明設(shè)b∈Lipβ(Rn)，f∈Lp(Rn), 當(dāng)p=1時(shí), 將

作用于(4), 則由引理2可得

y)|dxdy.

由范數(shù)的平移不變性，令x-y=x，有

綜上，定理2證畢.

3 結(jié)語

本文利用極大函數(shù)估計(jì)與硬分析方法得到了當(dāng)α滿足一定條件時(shí)，高階分?jǐn)?shù)次奇異積分算子與Lipβ(Rn)函數(shù)b生成的交換子在Lebesgue空間上的Lp(Rn) 有界性和弱 (1,1) 有界性，從而推廣了以往奇異積分算子和分?jǐn)?shù)次積分算子的相關(guān)結(jié)果.該結(jié)果對于帶光滑核的分?jǐn)?shù)次積分算子及其交換子仍然成立.可為以后研究光滑核以及變量核奇異積分算子及其交換子的有界性質(zhì)提供必要的理論依據(jù)，具有一定的理論參考價(jià)值和應(yīng)用現(xiàn)實(shí)意義.