王 艷

(長治學(xué)院電子信息與物理系,山西 長治 046011)

0 引言

近年來,對于玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)研究的熱點(diǎn)之一就是量子操控,有關(guān)冷原子實(shí)驗(yàn)技術(shù)的不斷提高實(shí)現(xiàn)了對各種不同形式的束縛外勢的調(diào)控[1,2],可通過調(diào)節(jié)BEC中原子間相互作用或外部囚禁勢阱來調(diào)控BEC的性質(zhì)[3-6],比如:可以通過控制原子間相互作用的強(qiáng)弱,實(shí)現(xiàn)對BEC雙孤子相互作用的操控[7]、通過調(diào)節(jié)周期性勢阱的驅(qū)動頻率和強(qiáng)度來控制孤子的位置[8]。另外還有利用超輻射散射實(shí)現(xiàn)對BEC動量的操控[9],以及通過調(diào)節(jié)原子有效質(zhì)量,可以在不改變雙阱勢的前提下操控凝聚體[10]。

本文考慮通過控制外勢場實(shí)現(xiàn)對BEC孤子的操控,關(guān)注的外勢是雙勢,對雙勢參數(shù)的調(diào)節(jié)可實(shí)現(xiàn)對其強(qiáng)度、寬度和位置等的改變。數(shù)值模擬研究發(fā)現(xiàn),BEC孤子在不同參數(shù)的雙勢中表現(xiàn)出不同的演化行為,因此可以通過控制雙勢實(shí)現(xiàn)對BEC孤子的操控。

1 理論基礎(chǔ)

當(dāng)凝聚體的橫向尺寸與其修復(fù)長度具有相同數(shù)量級且比縱向長度小得多時,吸引的凝聚體孤子沿縱向的動力學(xué)可用一維的非線性薛定諤方程描述為

式中:ψ(t,x)是凝聚體波函數(shù),V(x)是外勢,這里考慮的是兩個高斯勢組成的雙勢,可以由兩束激光形成,具體形式為

式中:p是外勢的強(qiáng)度,參數(shù)a和b分別表示單個高斯勢的寬度和位置。當(dāng)參數(shù)ε1=ε2=1時,外勢是雙勢壘;當(dāng)ε1=ε2=-1時,外勢是雙勢阱;當(dāng)ε1=ε2=±1時,外勢是混合勢。在方程(1)和(2)中引入了無量綱變量而是橫向諧振子長度,m是原子質(zhì)量,ω⊥是橫向諧振動角頻率,as是s波散射長度[11]。此處所考慮的是一個在諧振子磁勢阱中制備后被裝入激光場中的BEC,磁囚禁勢要遠(yuǎn)小于光學(xué)勢,因此外勢只保留了起主導(dǎo)作用的光學(xué)勢。

2 數(shù)值模擬

2.1 單孤子在雙勢中的演化

考慮選取孤子形式為ψ(0,x)=ηsech[η(x-x0)]exp[iξ(x-x0)],其中η、x0、ξ分別表示孤子的振幅、中心位置和中心頻率。選定孤子的參數(shù)η=1、x0=0、ξ=0.1,研究單孤子在雙勢中的演化行為。

當(dāng)孤子處于雙勢阱中時有比較復(fù)雜的演化行為,其演化與雙勢阱的各參數(shù)密切相關(guān),選取雙勢阱中單個勢阱寬度的參數(shù)a=1,勢阱強(qiáng)度參數(shù)p取不同的值時孤子的演化情況如圖1～5所示,當(dāng)p=0.1時,孤子能越過勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象,結(jié)果顯示在圖1中;當(dāng)p=0.2時,孤子會被單個勢阱俘獲,在被俘獲的勢阱內(nèi)其振幅會有波動,使得孤子的演化過程呈現(xiàn)了很強(qiáng)的呼吸行為,孤子中心位置有小幅度波動,結(jié)果顯示在圖2中,可以通過改變勢阱的位置參數(shù)b來控制孤子的位置;當(dāng)p=1.5時,孤子在兩勢阱之間擺動,結(jié)果顯示在圖3中;當(dāng)p=1.7時,孤子又越過了勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象,與p=0.1時不同的是勢阱最深的區(qū)域是孤子的禁區(qū),孤子在穿越勢阱時是一種“幽靈式”的遂穿,結(jié)果顯示在圖4中;當(dāng)p=2.5時,孤子又能被勢阱俘獲,與p=0.2時不同的是勢阱最深處是孤子的禁區(qū),BEC孤子被分裂成兩組分,而且孤子的演化過程呈現(xiàn)了一定的呼吸行為,結(jié)果顯示在圖5中。外勢參數(shù)a既表示高斯勢的寬度也表示勢阱壁的陡峭程度,當(dāng)a越大時勢阱壁越平緩,孤子越容易越過勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象;當(dāng)a越小時勢阱越窄,孤子也越容易越過勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象,如圖6所示。

圖1 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.1,ε1= ε2=-1,a=1,b=6Fig.1 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η =1,x0=0,ξ=0.1,p=0.1,ε1= ε2=-1,a=1,b=6

圖2 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1=ε2=-1,a=1,b=6。(a)等高線圖;(b)三維曲面圖Fig.2 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1= ε2=-1,a=1,b=6.(a)Contour plot;(b)3D surface

圖3 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.5,ε1=ε2=-1,a=1,b=6Fig.3 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.5,ε1= ε2=-1,a=1,b=6

圖4 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.7,ε1=ε2=-1,a=1,b=6Fig.4 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.7,ε1= ε2=-1,a=1,b=6

圖5 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=2.5,ε1=ε2=-1,a=1,b=6。(a)等高線圖;(b)三維曲面圖Fig.5 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=2.5,ε1= ε2=-1,a=1,b=6.(a)Contour plot;(b)3D surface

圖6 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1=ε2=-1。(a)a=0.05,b=20;(b)a=20,b=6Fig.6 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1= ε2=-1.(a)a=0.05,b=20;(b)a=20,b=6

考慮外勢強(qiáng)度參數(shù)p=0.2,當(dāng)孤子處于雙勢壘中時,演化結(jié)果如圖7所示,孤子在雙勢壘之間擺動,從圖7與圖2和圖6的比較可知,與在雙勢阱中相比孤子更難穿越勢壘,當(dāng)然如果雙勢壘的強(qiáng)度參數(shù)p比較小或者孤子的中心頻率參數(shù)ξ較大,孤子也能穿越勢壘,發(fā)生遂穿現(xiàn)象;在勢阱和勢壘組成的混合勢中,選擇合適的外勢寬度參數(shù)a=1,不論孤子參數(shù)ξ=0.1或ξ=-0.1,孤子都能被勢阱俘獲,結(jié)果如圖8所示,這樣更方便操控孤子的位置。

圖7 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1=ε2=1。(a)a=0.05,b=20;(b)a=1,b=6;(c)a=20,b=6Fig.7 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1= ε2=1.(a)a=0.05,b=20;(b)a=1,b=6;(c)a=20,b=6

圖8 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,p=0.2,a=1。(a)ξ=0.1,b=6,ε1=-ε2=-1;(b)ξ=-0.1,b=6,ε1=-ε2=1Fig.8 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,p=0.2,a=1.(a)ξ=0.1,b=6,ε1=-ε2=-1;(b)ξ=-0.1,b=6,ε1=-ε2=1

2.2 雙孤子在雙勢中的演化

考慮兩個等振幅且中心頻率為0的孤子形式ψ(0,x)=sech(x-x0)+sech(x+x0),其中2x0為孤子的初始間距。當(dāng)雙孤子的初始間距2x0=20時,考慮外勢參數(shù)p=0.2、a=1的情況,在雙勢阱中的演化如圖9所示,兩孤子可能會被兩個勢阱各自俘獲;在雙勢壘中的演化如圖10所示,若兩孤子在雙勢壘的外側(cè),就會相互遠(yuǎn)離,若兩孤子在雙勢壘的內(nèi)側(cè),就會發(fā)生相互作用?？傊?勢阱吸引孤子,勢壘排斥孤子。

圖9 雙勢中兩個BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:p=0.2,ε1=ε2=-1,x0=10,a=1。(a)b=6;(b)b=14Fig.9 Evolution of two BEC solitons in double potentials,here the parameters are as follows:p=0.2,ε1= ε2=-1,x0=10,a=1.(a)b=6;(b)b=14

圖10 雙勢中兩個BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:p=0.2,ε1=ε2=1,x0=10,a=1。(a)b=6;(b)b=14Fig.10 Evolution of two BEC solitons in double potentials,here the parameters are as follows:p=0.2,ε1= ε2=1,x0=10,a=1.(a)b=6;(b)b=14

3 結(jié)論

操控和管理勢場中的BECs是BEC動力學(xué)中的重要問題,討論了在雙勢作用下BEC孤子的動力學(xué)演化。孤子在雙勢阱的作用下表現(xiàn)出比較復(fù)雜的演化行為,有擺動、遂穿、被勢阱俘獲;可以利用BEC孤子在勢阱和勢壘中不同的演化行為,設(shè)計(jì)出混合勢來操控BEC孤子,可準(zhǔn)確控制其位置,為與BEC孤子操控相關(guān)的宏觀量子現(xiàn)象的應(yīng)用提供依據(jù)。