李婷婷，薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

傳染病動力學(xué)的研究，在幫助我們理解傳染病的傳播機(jī)制和對疾病的有效防控方面做出了貢獻(xiàn)。而數(shù)學(xué)模型是研究傳染病動力學(xué)行為的有效工具，通過建立模型對其進(jìn)行分析，可以預(yù)測疾病變化的發(fā)展趨勢，從而制定科學(xué)合理的預(yù)防措施[1]。

近年來，許多學(xué)者通過引入隨機(jī)波動，將經(jīng)典的傳染病模型從確定性模型轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)模型，利用隨機(jī)微分方程進(jìn)行傳染病動力學(xué)的建模[2-7]。Allen[8]介紹了多種類型的隨機(jī)微分方程流行病模型的推導(dǎo)方法。Jiang等[9]研究了一個具有兩類隨機(jī)擾動的DI-SIR傳染病模型，說明了兩個隨機(jī)模型的長時間行為。Korobeinikov等[10]研究了非線性發(fā)病率對流行病模型的動力學(xué)影響，在總規(guī)模不變的情況下，發(fā)病率相對于感染人數(shù)的凹形是穩(wěn)定性的一個充分條件。Gray等[11]建立了一個SDE SIS流行病模型，證明了該模型具有唯一的全局正解，并為傳染病的滅絕和持續(xù)建立了條件。Zhao等[12]研究了一類帶有免疫接種的隨機(jī)SIS流行病模型的動力學(xué)性質(zhì)，討論了噪聲大小對疾病是否流行的影響。Lahrouz等[13]研究了在不同規(guī)模人口中具有非線性發(fā)病率的隨機(jī)SIRS流行病模型，得到了滅絕和存在唯一平穩(wěn)分布的充分條件。張等[14]分析了媒體報道和隨機(jī)噪聲共同影響的傳染病模型的隨機(jī)滅絕。Yang等[15]研究了疾病傳播系數(shù)和移出率都受噪聲影響的隨機(jī)SIRS模型，證明了隨機(jī)模型具有唯一正解，并為疾病的滅絕和持續(xù)創(chuàng)造了條件。Liu等[16]研究了帶有免疫接種的隨機(jī)時滯SIR流行病模型的閾值動力學(xué)，得到了這種疾病滅絕和持續(xù)的充分條件，并給出了隨機(jī)模型滅絕和持續(xù)的閾值。

由于各種原因，均勻混合的基本假設(shè)可能并不總是成立。在這種情況下，必要的種群結(jié)構(gòu)和異質(zhì)性混合可以被納入一個具有非線性發(fā)病率的流行病模型。研究發(fā)現(xiàn)，具有非線性發(fā)病率的流行病模型比具有雙線性或標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率的流行病模型具有更復(fù)雜的動力學(xué)特性。

如果疾病的發(fā)病率是非線性發(fā)病率βSI/ψ(I)，可建立如下SIRS傳染病模型：

(1)

式中：Λ為出生率，μ為自然死亡率，γ為感染個體的恢復(fù)率，δ為恢復(fù)個體喪失免疫功能而恢復(fù)到易感人群的比率，β為傳播率，ε為因病死亡率，βSI/ψ(I)為發(fā)病率，其中ψ(I)滿足ψ(0)=1，ψ′(I)≥0。上述參數(shù)均為非負(fù)。

(2)

式中：B(t)是強(qiáng)度為σ2>0的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

首先，給出了模型(2)的一個閾值，進(jìn)而分別在第2節(jié)與第3節(jié)得到了疾病滅絕與疾病持續(xù)的充分條件；其次，基于數(shù)值模擬驗(yàn)證了這些結(jié)論；最后，給出了一些結(jié)論。

是模型(2)的一個正向不變集。

1 疾病滅絕

本節(jié)研究疾病滅絕的條件，令

式中，R0為確定性模型(1)的基本再生數(shù)。

為方便起見，引入符號：

證明模型(2)積分得到

(3)

根據(jù)式(3)，可得

(4)

由式(4)可得

(5)

其中

(6)

模型(2)第2式由伊藤公式可得

對上式從0到t積分，并且兩邊同時除以t，得到

(7)

將式(5)代入式(7)得

(8)

其中

由鞅的大數(shù)定理和式(6)可知

(9)

根據(jù)式(7)，得到

即

(10)

根據(jù)模型(2)，通過求解d(S+I+R)/dt=Λ-μ(S+I+R)-εI得

2 疾病持續(xù)

(11)

成立，則對于任意初值(S(0)，I(0)，R(0))∈Γ*，模型(2)的解(S(t)，I(t)，R(t))具有如下性質(zhì)

(12)

其中

(13)

證明根據(jù)式(8)的最后一個等式，有

(14)

將式(14)改寫為

若滿足式(11)，根據(jù)式(9)和文獻(xiàn)[7]附錄中引理A.2，可得

(15)

將式(5)代入式(7)，則

(16)

根據(jù)式(6)和式(9)，取式(16)兩邊的下限得

(17)

因此，根據(jù)式(15)和式(17)得到式(12)。證明完畢。

3 數(shù)值模擬和討論

為了驗(yàn)證以上結(jié)果，使用文獻(xiàn)[18]中的方法對模型(1)和(2)的解進(jìn)行數(shù)值模擬。選擇相同的初值(S(0)，I(0)，R(0))=(0.9，0.1，0)，且ψ(I)=1+αI2。選擇模型(2)的參數(shù)如下：Λ=1，β=0.1，μ=0.2，γ=0.1，δ=0.25，ε=0.05，α=0.001。

圖1 疾病滅絕曲線

圖2 疾病持續(xù)曲線

4 結(jié)論