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        分式方程的四種特殊解法

        2021-12-12 01:24:19王紅梅
        關(guān)鍵詞:變形

        王紅梅

        一、拆項(xiàng)法

        例1 解方程[1x+2+4xx2-4+22-x=1].

        解析:將原方程變形為[1x+2+2·(x+2)+(x-2)(x+2)(x-2)+22-x=1],應(yīng)用關(guān)系式[x+yxy=1x+1y],

        則[1x+2+2x+2+2x-2-2x-2=1],即[3x+2=1],∴x = 1. 經(jīng)檢驗(yàn)x = 1是原分式方程的根.

        二、添項(xiàng)法

        例2 解方程[x-1x+1+x-4x+4=x-2x+2+x-3x+3].

        解析:分式方程兩邊項(xiàng)數(shù)相同,各項(xiàng)都同時添項(xiàng)加1.

        原分式方程化為[1+x-1x+1+1+x-4x+4=1+x-2x+2+1+x-3x+3],

        即[2xx+1+2xx+4=2xx+2+2xx+3],顯然,x = 0為原分式方程的根.

        當(dāng)x≠0時,上述方程可變形為[1x+1-1x+2=1x+3-1x+4],得[1(x+1)(x+2)=1(x+3)(x+4)],

        ∴(x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4),解得[x=-52]. 經(jīng)檢驗(yàn),x = 0,[x=-52]都是原分式方程的根.

        三、兩個分式相等,若分子相同,則分子為零或兩個分母相等

        例3 解方程[3x-2-4x-1=1x-4-2x-3].

        解析:將分式方程兩邊分別通分,得[5-xx2-3x+2=5-xx2-7x+12],由5 - x = 0,得x = 5.

        又由[x2-3x+2=x2-7x+12],得[x=52]. 經(jīng)檢驗(yàn),[x=5], [x=52]都是原分式方程的根.

        四、兩個分式相等,若分子相同,并且分母的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)相同,只有常數(shù)項(xiàng)不同,則化分子為1

        例4 解方程[x-8x-9+x-4x-5=x-5x-6+x-7x-8].

        解析:將原分式方程每個分式拆項(xiàng),得[1+1x-9+1+1x-5=1+1x-6+1+1x-8],

        ∴[1x-9+1x-5=1x-6+1x-8]. 兩邊分別通分得[2x-14x2-14x+45=2x-14x2-14x+48]

        ∴令2x - 14 = 0,得x = 7. 經(jīng)檢驗(yàn),x = 7是原分式方程的根.

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