王其申，王大鈞，何北昌

（1.安慶師范大學數(shù)理學院，安徽安慶246133；2.北京大學工學院湍流與復雜系統(tǒng)國家重點實驗室，北京100871；3.Consulting Seattle，WA，USA)

文獻[1-2]闡明了充分約束的桿和梁具有靜變形振蕩性質(zhì)A和B，它們在闡述相應(yīng)系統(tǒng)具有振動的振蕩性質(zhì)方面起到了重要作用。實際工程問題中存在大量約束不足的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)是否也具有靜變形振蕩性質(zhì)？如果是，那么在這類系統(tǒng)中，靜變形振蕩性質(zhì)A和B的陳述是否需要加以改變？這就是本文所要回答的兩個問題。

1 兩端自由桿的靜變形振蕩性質(zhì)

桿的約束不足系統(tǒng)只有一種支承方式，即兩端自由的直桿。對于兩端自由的桿，下面將證明它具有如下的靜變形振蕩性質(zhì)A和B。需要說明的是，本文以下討論的桿可以是變截面的，但一定存在縱向?qū)ΨQ軸，下面所稱的軸力，必沿桿的縱向?qū)ΨQ軸作用。

性質(zhì)A兩端自由桿在一對平衡軸向外力作用下，其任意橫截面的形心的軸向位移僅發(fā)生一次正負號改變。

性質(zhì)B兩端自由桿在一組n個軸向外力組成的平衡力系作用下，其任意橫截面的形心的軸向位移發(fā)生正負號改變的次數(shù)（以下簡稱符號改變數(shù)）不超過n-1。

為了證明上述靜變形振蕩性質(zhì)，需要給出如下兩個命題。

命題1設(shè)φ′(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且以(i=1,2,3,…,n)為其自左至右順序排列的節(jié)點而無別的零點，則φ(x)在子區(qū)間內(nèi)至多各有一個零點，從而φ(x)在(a,b)內(nèi)最多共有n+1個零點。如果

命題2設(shè)φ′(x)在區(qū)間[a,b]上分段連續(xù)且以(i=1,2,3,…,n)為其自左至右順序排列的可能的變號點，而在每個子區(qū)間內(nèi)正負號不變，則命題1的結(jié)論同樣成立。

命題2顯然只是命題1的推廣，它們的證明可以參看文獻[2]的引理5.4，這里從略。

性質(zhì)A的證明考察圖1所示自然長度為l的兩端自由桿，取未受外力從而未發(fā)生變形時的左端點為坐標原點，其縱向?qū)ΨQ軸為x軸。設(shè)在其上d1、d2兩處桿受到一對平衡軸向外力F1和F2=-F1的作用，這里0≤d1＜d2≤l。顯然，桿上各點的位移必為其原始平衡狀態(tài)時的各橫截面的形心坐標x的函數(shù)，記為u(x)?？疾?＜d1＜d2＜l的情況。在此種情況下，由材料力學可知，桿的變形方程和軸力分布為

圖1 兩端自由桿的連續(xù)系統(tǒng)示意圖

由此即有

其中，C1和C2是兩個積分常數(shù)。式（2）表明，u(x)只可能在區(qū)間(d1,d2)內(nèi)出現(xiàn)正負號改變，注意到u′(x)在區(qū)間(d1,d2)內(nèi)恒正或恒負，即u(x)在區(qū)間(d1,d2)內(nèi)單調(diào)增或單調(diào)減，所以它最多只能改變正負號一次。由理論力學的質(zhì)心運動定理可知，當一對平衡軸向外力在同時緩慢均勻加載時，兩力作用點之間必存在某一橫截面的位移為零，因而性質(zhì)A成立。

對于d1=0或d2=l的情況，上述式（1）和式（2）的左或右端子區(qū)間將不存在，顯然并不影響相應(yīng)結(jié)論的成立，故性質(zhì)A得證。

性質(zhì)B的證明自然長度為l的兩端自由桿坐標原點和x軸的取法同上。設(shè)在其上di處桿受到n個軸向外力Fi所組成的平衡力系作用，這里i=1,2,3,…,n并滿足0≤d1＜d2＜…＜dn≤l。同樣，桿上各點的位移仍為其原始平衡狀態(tài)時的各橫截面的形心坐標x的函數(shù)，記為u(x)。仍然先考察d1＞0和dn＜l的情況。此時，由材料力學可知，桿的變形方程和軸力分布為

所有試劑屬分析純，均未進一步純化處理。紅外光譜使用Nicolet Avatar360型紅外光譜儀測定，溴化鉀壓片，4000-400cm-1波數(shù)范圍掃描；元素分析是用Perkin-Elmer 2400Ⅱ型元素分析儀完成；TG熱分析是在Perkin-Elmer-7熱分析儀(空氣氣氛，升溫速度10℃/min)上測定的。

式（3）表明，u′(x)只可能在外力作用點di(i=2,3,4,…,n-1)處出現(xiàn)正負號改變，而在d1和dn處沒有正負號改變，從而u′(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)改變正負號不多于n-2次。由命題2可知，u(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)改變正負號不多于n-1次，即性質(zhì)B成立。

對于d1=0或dn=l的情況，式（3）的左或右端子區(qū)間將不存在，顯然并不影響結(jié)論的成立，故性質(zhì)B得證。

2 約束不足梁的靜變形振蕩性質(zhì)

由于梁的約束不足系統(tǒng)有多種支承方式，必須分別討論。

2.1 一端鉸支一端自由梁的靜變形振蕩性質(zhì)

性質(zhì)A一端鉸支一端自由梁受到一對橫向外力作用，且當這對橫向外力與其鉸支端的支反力組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線的正負號改變不超過1次。

性質(zhì)B一端鉸支一端自由梁在受到一組n個橫向外力作用，且當這組橫向外力與其鉸支端的支反力組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線發(fā)生正負號改變的次數(shù)不超過n-1次。

證明首先，當長為l的一端鉸支一端自由梁僅受一對集中外力作用時，無論外力作用點d2是否重合于自由端，由材料力學可知，其撓曲線如圖2所示，顯然撓曲線的正負號改變數(shù)不超過1，即靜變形振蕩性質(zhì)A成立。

圖2 一端鉸支一端自由梁受一對橫向外力作用時撓曲線的兩種情況

其次，考察一端鉸支一端自由梁在其上di(0＜d1＜d2＜…＜dn≤l)處受n個集中外力作用時的撓度u(x)的正負號改變次數(shù)。如果dn＜l，由材料力學可可知，u(x)滿足以下剪力方程：

上式表明，τ′(x)最多只在外力作用點處di(i=1,2,3,…,n-1)改變正負號一次，從而其變號數(shù)不超過n-1。在一端鉸支一端自由的情況下，τ(0)=τ(l)=0，由命題2可可知，τ(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)的變號數(shù)不超過n-2；由命題1可知，相應(yīng)的u′(x)和u(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)的變號數(shù)不超過n-1和n。但因u(0)=0，將使u(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)的變號數(shù)減少1，這樣，u(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)的變號數(shù)不超過n-1。

如果dn=l，梁的最后一個分段(dn＜x≤l)不存在，顯然這不影響上面的討論。因此，一端鉸支一端自由梁的撓度在其跨度范圍內(nèi)的變號數(shù)不超過n-1，即靜變形振蕩性質(zhì)B成立。

2.2 一端滑支一端自由梁的靜變形振蕩性質(zhì)

性質(zhì)A一端滑支一端自由梁受到一對橫向外力作用，且當這對橫向外力與其滑支端的支反力偶組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線的正負號改變不超過1次。

性質(zhì)B一端滑支一端自由梁在受到一組n個橫向外力作用，且當這組橫向外力與其滑支端的支反力偶組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線變號數(shù)不超過n-1。

一端滑支一端自由梁的靜變形振蕩性質(zhì)A同樣可以通過畫出它的撓度示意圖驗證，只是注意這種情況下，u′(0)=τ′(0)=0，這里從略。

當一端滑支一端自由梁在其上di(0≤d1＜d2＜…＜dn≤l)處受n個集中外力作用時，如果d1＞0和dn＜l，由材料力學可知，其撓度函數(shù)u(x)滿足以下剪力方程：

上式表明，τ′(x)最多只在外力作用點處di(i=2,3,4,…,n-1)改變正負號一次，從而其變號數(shù)不超過n-2。在一端滑支一端自由的情況下，τ(l)=0，由命題2可知，τ(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)的變號數(shù)也不超過n-2；因u′(0)=0，由命題1可知，相應(yīng)的u′(x)和u(x)在區(qū)間(0,l)內(nèi)的變號數(shù)不超過n-2和n-1。

如果d1=0或dn=l，梁的首尾分段0≤x＜d1或dn＜x≤l不存在，仍然不影響上述討論。因此，一端滑支一端自由梁在其跨度范圍內(nèi)的變號數(shù)不超過n-1，即靜變形振蕩性質(zhì)B成立。

2.3 兩端滑支梁的靜變形振蕩性質(zhì)

性質(zhì)A兩端滑支梁受到一對橫向外力作用，且當這對橫向外力與其兩個滑支端的支反力偶組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線的正負號改變不超過1次。

性質(zhì)B兩端滑支梁在受到一組n個橫向外力作用，且當這組橫向外力與其滑支端的支反力偶組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線變號數(shù)不超過n-1。

兩端滑支梁的靜變形振蕩性質(zhì)A和B可以完全類似于一端滑支一端自由梁的情況予以證明，只是需要注意該情況下，u′(0)=τ′(0)=0，u′(l)=τ′(l)=0，因此它的剪力τ′(x)、彎矩τ(x)、轉(zhuǎn)角u′(x)和撓度u(x)的變號數(shù)分別不超過n-2、n-1、n-2和n-1。具體討論這里從略。

2.4 兩端自由梁的靜變形振蕩性質(zhì)

性質(zhì)A兩端自由梁受到三個橫向外力作用，且當這組橫向外力組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線的正負號改變不超過1次。

性質(zhì)B兩端自由梁在受到一組n個橫向外力作用，而這組橫向外力組成一個平面平衡力系時，則梁的撓曲線變號數(shù)不超過n-1。

兩端自由梁的靜變形振蕩性質(zhì)A仍然可以通過畫出它的撓度示意圖來驗證，這里從略。

注意到兩端自由梁的邊界條件τ(0)=τ′(0)=0，τ(l)=τ′(l)=0，利用命題1和命題2，可以發(fā)現(xiàn)它的剪力τ′(x)、彎矩τ(x)、轉(zhuǎn)角u′(x)和撓度u(x)的變號數(shù)分別不超過n-2、n-3、n-2和n-1。

3 結(jié)論

以上給出了約束不足的桿和梁的靜變形振蕩性質(zhì)。推理發(fā)現(xiàn)，對于約束不足的系統(tǒng)，要討論它的靜變形，所施加的外力系必須是平衡外力系；而有關(guān)性質(zhì)A的表述顯然與充分約束系統(tǒng)不盡相同；但有關(guān)性質(zhì)B的表述，其結(jié)論部分與充分約束系統(tǒng)則是完全一致的。該研究結(jié)論也可以擴展到約束不足的桿、梁離散系統(tǒng)。