肖仁鑫，李 斌，黃志強，賈現(xiàn)廣

(1.昆明理工大學交通工程學院，云南昆明 650500；2.云南中石油昆侖燃氣有限公司，云南 昆明 650000)

電池荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)估計用于估算汽車剩余續(xù)駛里程[1]，其可以提高電池的安全性、延長電池的壽命[2]。電池模型的選擇很大程度上決定著電池狀態(tài)的可靠性和估計精度。

廣泛使用的電池模型有電化學模型、智能數(shù)學模型、等效電路模型等[3]。電化學模型由于狀態(tài)估計時收斂性差，結(jié)構(gòu)復雜，因此實用性不強；智能數(shù)學模型通常使用人工智能數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，能自適應(yīng)學習模型參數(shù)不確定的情況，但由于使用復雜而不適合工程應(yīng)用；等效電路模型運算量小、實時性好和魯棒性好，由于二階RC 等效電路模型具有電池的歐姆內(nèi)阻特性和極化特性，本文采用二階RC等效電路模型。

SOC通常用來表征動力電池的剩余電量，常用的SOC估計方法有庫侖計數(shù)法、基于特征參數(shù)的方法和基于模型的方法。庫侖計數(shù)法由于簡單容易實現(xiàn)而在BMS 中廣泛應(yīng)用，但電池老化和容量的衰減會導致誤差和精度；基于特征參數(shù)的方法主要有內(nèi)阻法和開路電壓法等，但該方法靜置時間長，因此不適合在線估計；基于模型的方法精度高、實時性好，其方法通常結(jié)合電路模型與濾波算法使用[3]。

通常，采用電化學阻抗儀實驗和基于模型辨識的方法，可以得到電池模型參數(shù)，其中，阻抗儀實驗時將不同頻率的小幅交流電流輸入電池，阻抗儀根據(jù)測量相應(yīng)輸出電壓繪制出其交流阻抗譜圖，由交流阻抗譜在不同頻率點上阻抗特性分析計算得到電化學參數(shù)。這種方法實驗量大，需要專業(yè)的測量儀器，但電池參數(shù)會隨著其使用溫度、壽命等發(fā)生變化。該方法得到的測量值不能根據(jù)電池狀態(tài)變化，難于反應(yīng)其真實狀態(tài)；基于模型辨識法結(jié)合特征實驗和在線辨識的方法可實時更新電池參數(shù)。

容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter，CKF)比無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)的計算量要少，且CKF 容易受到不準確的初始差分和擾動的影響，為了避免濾波發(fā)散對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成的影響，本文采用平方根容積卡爾曼濾波(SRCKF)算法估算電池SOC[4]。SRCKF 使用協(xié)方差矩陣的平方根形式進行迭代更新計算，從而消除濾波器在計算中的發(fā)散[5]。

1 電池建模與參數(shù)辨識

1.1 電池等效模型

本文采用二階RC 等效電路模型，如圖1 所示。

圖1 電池二階RC等效電路模型

該模型采用兩個串聯(lián)的并行RC 環(huán)(RlCl和RsCs)來描述動力電池工作過程中所產(chǎn)生的極化特性。該模型采用基爾霍夫定律求解電路方程為：

式中：Ut、IL、UOCV分別為k時刻的端電壓值、載荷電流和開路電壓；Rl和Cl、Rs和Cs為兩組電池極化參數(shù)，分別用來表征電化學極化內(nèi)阻、電化學極化電容、濃差極化內(nèi)阻、濃差極化電容；Re為電池內(nèi)部歐姆內(nèi)阻；Us、Ul分別為RsCs環(huán)和RlCl環(huán)上的電壓。

本文運用混合動力脈沖能力測試(hybrid pulse power characteristic,HPPC)對其進行試驗，試驗對象是標稱容量為2.55 Ah、標稱電壓為3.6 V 的鋰離子電池。圖2 為電池HPPC試驗充放電策略及相應(yīng)的電壓響應(yīng)曲線。式(2)為電池開路電壓(open circuit voltage，OCV，其值為UOCV)和SOC之間的關(guān)系。圖3 為OCV與SOC的關(guān)系曲線。

圖2 電池HPPC試驗充放電策略及相應(yīng)的電壓響應(yīng)曲線

圖3 OCV與SOC的關(guān)系曲線

1.2 等效電池模型的數(shù)學形式

把電池模型轉(zhuǎn)換成可應(yīng)用最小二乘法辨識的數(shù)學形

式[7]，將式(1)用頻域表達式表示為：

式中：E(k-1)、E(k-2)分別為k-1、k-2 時刻的端電壓與開路電壓的差值；IL(k)、IL(k-1)、IL(k-2)分別為k、k-1、k-2 時刻的輸入電流。

令a=Re，b=τlτs，c=τl+τs，d=Re+Rl+Rs，f=Reτl+Reτs+Rlτs+Rsτl，因此，a、b、c、d和f可用辨識參數(shù)θ1、θ2、θ3、θ4、θ5表示為：

1.3 參數(shù)在線辨識

根據(jù)最小二乘基本原理：

式中：y(k)為在k時刻的測量值或觀測值；θ 為參數(shù)矩陣；e(k)為k時刻的誤差；將系統(tǒng)擴展至N維，即k=1,2,…,N+n，則：

穩(wěn)態(tài)時，遺忘因子λ 接近或等于1，當在線辨識參數(shù)誤差很大時，需要優(yōu)化遺忘因子，從而減少辨識誤差，使在線辨識具有更快的收斂速度。為了達到上述目的，提出計算自適應(yīng)遺忘因子的公式為：

式中：λmin為遺忘因子最小值，為了權(quán)衡辨識等效電路的快速性和準確性，本文取常數(shù)0.98。h為敏感系數(shù)，表征遺忘因子對誤差的敏感性，為了在參數(shù)辨識的精度和響應(yīng)速度之間平衡，本文選擇h為0.9。e(k)為k時刻誤差，ebase為允許誤差參考值，round(n)為最接近n的整數(shù)。當k時刻誤差e(k)大于ebase時λ快速減小，當k時刻誤差e(k)小于ebase時，辨識參數(shù)是穩(wěn)定的，λ快速變大。從式(16)可得，本方法可以根據(jù)辨識參數(shù)的誤差自適應(yīng)地調(diào)整遺忘因子。電池模型參數(shù)進行在線辨識的流程圖如圖4 所示。

圖4 自適應(yīng)遺忘因子遞推最小二乘法算法流程圖

根據(jù)上述的AFFRLS 理論推導過程，本文采用DST 工況實驗獲得的實驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識，得出其結(jié)果，為了得到其真實參數(shù)，通常在辨識達到穩(wěn)態(tài)之后，用穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下一定窗口范圍內(nèi)估算參數(shù)的平均值作為其真實值。圖5 為電化學極化內(nèi)阻Rl；圖6 為電化學極化電容Cl；圖7 為濃差極化內(nèi)阻Rs；圖8 為濃差極化電容Cs；圖9 為歐姆內(nèi)阻Re。從圖中可以看出，經(jīng)過初始幾次振蕩后，待辨識參數(shù)均能很快收斂到電池真實參數(shù)。

圖5 電化學極化內(nèi)阻辨識結(jié)果

圖6 電化學極化電容辨識結(jié)果

圖7 濃差極化內(nèi)阻辨識結(jié)果

圖8 濃差極化電容辨識結(jié)果

圖9 歐姆內(nèi)阻辨識結(jié)果

在模型參數(shù)辨識后，本文使用DST 工況測試所獲得的實驗數(shù)據(jù)，驗證辨識結(jié)果及模型的準確性，通過實測端電壓與模型輸出的端電壓的差值來對模型性能進行評價。圖10 為DST 工況下實測端電壓與模型輸出端電壓對比；圖11 為DST工況下端電壓對比誤差。

圖10 中局部放大圖表明端電壓的實測值和估計值之間的差距非常接近。從圖11 中得出，兩者之間的絕對誤差在20 mV 以內(nèi)，說明本模型具有較高的精度，能夠表達電池的動態(tài)特性。

圖10 DST工況下實測端電壓與模型輸出端電壓對比

圖11 DST工況下端電壓對比誤差

2 基于SRCKF 的鋰離子電池SOC 估計

首先推導SRCKF 的原理，然后將其應(yīng)用于鋰離子電池SOC估計中，并將SRCKF 算法與傳統(tǒng)的UKF 算法進行SOC估算對比分析[8]。

2.1 平方根容積卡爾曼濾波的SOC 估計

SRCKF 算法具體實施步驟如圖12 所示。首先建立非線性系統(tǒng)方程，對狀態(tài)量、誤差協(xié)方差Pk，初始化得出P0|0，Q為過程噪聲協(xié)方差，R為測量噪聲協(xié)方差，m表示狀態(tài)量的維數(shù),N為仿真總步長并計算初始容積點數(shù)集ξj,SQ是狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Qk的均方根值為加權(quán)中心矩陣；第一步是時間更新，計算容積點Xi,k-1|k-1，狀態(tài)方程傳播得到的容積點，k時刻狀態(tài)量預(yù)測值，k時刻誤差協(xié)方差矩陣的平方根Sk|k-1；第二步是測量更新，重新計算容積點Xi,k|k-1，測量方程傳播得到的容積點Zi,k|k-1，計算k時刻的測量預(yù)測值，計算測量誤差協(xié)方差平方根Szz,k|k-1，計算狀態(tài)預(yù)測值和測量預(yù)測值之間的協(xié)方差Pxz,k|k-1；第三步是狀態(tài)估計，計算卡爾曼增益Wk，狀態(tài)量估計值，誤差協(xié)方差平方根估計值Sk|k。

圖12 基于SRCKF的鋰離子電池SOC估計

使用SRCKF 算法估計鋰離子電池SOC，離散化狀態(tài)方程和測量方程分別表示為：

式中：Δt為采樣時間間隔，τs=RsCs，τl=RlCl為時間常數(shù)；Ca為鋰離子電池可用容量；Ut,k、UOCV,k、Ik分別為k時刻的端電壓值、開路電壓和載荷電流，Us,k、Ul,k分別為k時刻RsCs環(huán)和RlCl環(huán)上的電壓估計值。其中系統(tǒng)狀態(tài)變量為xk=[Us,k Ul,k SOCk]T，輸入變量為uk=IL,k，輸出變量為zk=Ut,k。

2.2 驗證分析

為了對本文所使用的SRCKF 算法估算SOC的效果進行驗證和評估，在使用AFF-RLS 算法對參數(shù)進行在線辨識的基礎(chǔ)上，采用電池試驗獲得的DST 工況下的實驗數(shù)據(jù)，將SRCKF算法與UKF算法估算的SOC進行對比[9]。圖13為DST 工況下SOC對比曲線，從圖的局部放大圖中可得，與真實的SOC估算曲線相比，SRCKF 估算的SOC曲線更接近真實值。圖14 為DST 工況下SOC估計誤差曲線，從圖中可看出UKF 算法在SOC估計的前期波動是因為狀態(tài)變量跟蹤滯后導致估算誤差較大，趨于穩(wěn)定后，SRCKF 算法的最大絕對值誤差為0.458 1%，與UKF 算法最大絕對誤差的0.986 8%相比，誤差小、精度高。圖15 為DST 工況下不同初始值的SOC對比曲線，當初始SOC為0.8 時，SRCKF 算法能夠較快地收斂到SOC真實值附近，說明該算法具有很好的魯棒性和收斂性。

圖13 DST工況下SOC對比曲線

圖14 DST工況下SOC估計誤差曲線

圖15 DST工況下不同初始值的SOC對比曲線

3 結(jié)論

本文建立了二階RC 等效電路模型，采用自適應(yīng)遺忘因子遞推最小二乘法在線辨識模型參數(shù)，使用DST 工況實驗數(shù)據(jù)，通過實測端電壓與模型輸出端電壓的差值驗證了模型的準確性；在DST 工況條件下，基于平方根容積卡爾曼濾波算法估算電池SOC，并與UKF 估算的SOC進行對比，結(jié)果表明，SRCKF 誤差小、精度高、魯棒性好，因此具有更好的實用性。