林強(qiáng)，劉林鵬，邱劍洪，呂懿，李思凡，葉漢芳

(1. 海南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電網(wǎng)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究中心，海南 ?？?570203；2. 廣州市奔流電力科技有限公司，廣東 廣州 510700)

負(fù)荷中長期預(yù)測作為電網(wǎng)規(guī)劃建設(shè)的基礎(chǔ)，一方面，它可以為網(wǎng)架規(guī)劃、選址定容提供依據(jù)，另一方面，它為電網(wǎng)現(xiàn)狀分析、飽和負(fù)荷預(yù)測提供了技術(shù)支持[1-2]；因此，準(zhǔn)確的負(fù)荷中長期預(yù)測對于高水平的電網(wǎng)規(guī)劃至關(guān)重要。

目前，負(fù)荷中長期預(yù)測的方法可分為時(shí)間序列法、多元回歸法和組合預(yù)測法。其中，時(shí)間序列法通過分析負(fù)荷隨時(shí)間的變化規(guī)律預(yù)測未來的負(fù)荷發(fā)展情況。文獻(xiàn)[3]使用指數(shù)平滑法計(jì)算未來的負(fù)荷時(shí)間序列，并采用等維信息數(shù)據(jù)處理的方法加強(qiáng)結(jié)果的可靠性；文獻(xiàn)[4]采用加法自回歸積分滑動(dòng)平均模型提取負(fù)荷序列內(nèi)部因素，并結(jié)合長短期記憶(long short term memory，LSTM)網(wǎng)絡(luò)協(xié)同進(jìn)行多時(shí)序負(fù)荷預(yù)測，進(jìn)一步提高了預(yù)測精度。這類方法不需要相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)，計(jì)算相對簡單，但是在數(shù)據(jù)量充足的情況下，這類方法難以充分利用數(shù)據(jù)提高預(yù)測精度。因此，許多研究通過多元回歸法建立相關(guān)因素與負(fù)荷的映射關(guān)系來提高數(shù)據(jù)利用率和預(yù)測精度。為構(gòu)建預(yù)測模型，文獻(xiàn)[5]提出一種基于Fisher信息的特征選擇方法和氣象因素方法，通過支持向量回歸法構(gòu)建預(yù)測模型；文獻(xiàn)[6]基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和門控循環(huán)單元的混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出一種多變量L2-Boosting回歸的負(fù)荷預(yù)測模型；文獻(xiàn)[7]基于Spark平臺將數(shù)據(jù)集合分解成多個(gè)子數(shù)據(jù)集，利用并行計(jì)算技術(shù)加速模型的訓(xùn)練過程。然而，電力負(fù)荷變化規(guī)律日益復(fù)雜，難以依靠上述文獻(xiàn)中的單個(gè)模型描述，為此，許多研究利用組合預(yù)測法來描述負(fù)荷的不同變化趨勢?？紤]到單個(gè)模型的局限性，文獻(xiàn)[8]利用Stacking集成學(xué)習(xí)結(jié)合多個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)算法構(gòu)建負(fù)荷預(yù)測模型；文獻(xiàn)[9]使用誤差倒數(shù)法將LSTM與極端梯度提升(extreme gradient boosting, XGBoost)組合起來對負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測。盡管組合預(yù)測法將多個(gè)模型的特性融合在一起，提升了預(yù)測結(jié)果的可靠性，但是它們沒有充分利用中長期負(fù)荷的發(fā)展規(guī)律，即中長期電力負(fù)荷的發(fā)展通常同時(shí)具有確定性和不確定性。確定性指的是負(fù)荷通常具有較為穩(wěn)定的增長規(guī)律，文獻(xiàn)[10]利用負(fù)荷的這一特點(diǎn)，構(gòu)建了負(fù)荷預(yù)測的Logistic模型；但是，僅利用確定性的特征構(gòu)建負(fù)荷模型，無法描述由于各類影響因素的隨機(jī)性導(dǎo)致的不確定性變化規(guī)律。為此，文獻(xiàn)[11]基于隨機(jī)變化率對負(fù)荷模型包含的多維變量進(jìn)行不確定性建模，得到了負(fù)荷的概率預(yù)測模型；然而，單獨(dú)考慮負(fù)荷的概率預(yù)測模型難以分析負(fù)荷發(fā)展過程中的釋放特點(diǎn)，這將對提高電網(wǎng)的規(guī)劃水平產(chǎn)生不利影響。

為充分結(jié)合中長期負(fù)荷變化的確定性和不確定性特征，提高中長期負(fù)荷預(yù)測的合理性和預(yù)測精度，本文分別對負(fù)荷的確定性部分和不確定性部分進(jìn)行建模，并結(jié)合兩部分模型的輸出量對中長期負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測。最后，通過算例驗(yàn)證所提模型的準(zhǔn)確性。

1 預(yù)測模型基本框架

考慮到單一預(yù)測模型表征能力相對較差的缺陷，許多已有的研究將多個(gè)單一的模型通過一定方式進(jìn)行組合來構(gòu)建負(fù)荷預(yù)測模型，也就是組合預(yù)測[12-14]；然而，在選取組合預(yù)測使用的各模型時(shí)，通常沒有考慮到負(fù)荷本身的發(fā)展規(guī)律。為充分利用負(fù)荷發(fā)展的確定性和不確定性特征，本文通過構(gòu)建負(fù)荷的基本模型和誤差補(bǔ)償模型對負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測。

1.1 基本模型及誤差補(bǔ)償模型的定義與建模

中長期負(fù)荷增長通常呈現(xiàn)如下規(guī)律：在負(fù)荷發(fā)展初期，負(fù)荷增長較慢；隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，負(fù)荷出現(xiàn)快速增長的趨勢；但是受土地面積、環(huán)境資源、規(guī)劃定位等因素的制約，一個(gè)地區(qū)或城市的負(fù)荷不會無限制地增長，而是呈現(xiàn)出飽和增長態(tài)勢，即總體呈現(xiàn)S形?？梢岳肔ogistic曲線對這樣的變化曲線進(jìn)行擬合，并且稱這部分通過Logistic曲線擬合得到的負(fù)荷模型為基本負(fù)荷；然而，由于負(fù)荷會受到許多不確定的溫度、濕度和降水量等因素的影響，基本負(fù)荷模型與實(shí)際負(fù)荷存在一定誤差。為減小這一誤差，本文將這部分誤差視作各種不確定因素影響下的隨機(jī)過程，通過高斯過程回歸(Gaussian process regression, GPR)將它構(gòu)建為一個(gè)概率模型，利用該模型對基本模型進(jìn)行誤差修正。

本文所提的基本模型與誤差補(bǔ)償模型的關(guān)系為：

Lt=Ls,t+Lf,t.

(1)

式中：Lt為實(shí)際負(fù)荷；Ls,t為基本負(fù)荷；Lf,t為誤差補(bǔ)償；t為負(fù)荷數(shù)據(jù)對應(yīng)的時(shí)間。

1.2 影響因素的特征提取

預(yù)測誤差受到眾多因素的影響，若將這些因素全部作為模型的輸入量，不可避免將導(dǎo)致高維數(shù)據(jù) “維數(shù)災(zāi)”問題，因此如何有效地對輸入量降維，提取出有效的特征量至關(guān)重要。主成分分析[15](principal component analysis, PCA) 法是常用的一種降維方法，其主要思路是將原始高維空間中的樣本投影到一個(gè)低維特征空間中，并在低維空間得到最能反映樣本本質(zhì)的樣本特征。

主成分分析的主要步驟如下：

a)原始數(shù)據(jù)去中心化。設(shè)影響誤差的因素構(gòu)成的數(shù)據(jù)矩陣為X=(xij)m×n，m為樣本個(gè)數(shù)，n為影響因素的個(gè)數(shù)。對原始數(shù)據(jù)去中心化，得到去中心化數(shù)據(jù)矩陣X′=(x′ij)m×n，其中

(2)

b)構(gòu)造去中心化后數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣V，

(3)

c)求V的特征值及特征向量。由特征方程|V-λE|=0可得V的n個(gè)特征值λj(j=1,2,…,n)，且λ1>λ2>…>λn≥0，相應(yīng)的特征向量Wj=(W1j,W2j,…,Wnj)，稱為主成分系數(shù)，主成分

Yj=X′jWj,

(4)

式中X′j為X′的第j行。

定義前p個(gè)主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率

(5)

通常當(dāng)ρ≥80%時(shí)認(rèn)為前p個(gè)特征值對應(yīng)的主成分可以替代原有的特征量，實(shí)現(xiàn)特征提取[16]。

2 基于誤差補(bǔ)償?shù)呢?fù)荷中長期預(yù)測模型

2.1 基于Logistic回歸的負(fù)荷基本模型

在上述預(yù)測模型框架下，本文首先利用Logistic回歸[17]對年最大負(fù)荷的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到負(fù)荷基本模型。原始Logistic回歸的表達(dá)式為

(6)

式中：b為增長參數(shù)，且b>0；K為飽和負(fù)荷值。對式(6)變形得

(7)

對式(7)兩側(cè)積分得

(8)

式中C1和C2為待定積分常數(shù)。對式(8)簡化后可得基本模型的Logistic表達(dá)式

(9)

式中a=C1-C2。

通過梯度下降法[18]求解以下優(yōu)化問題來確定模型參數(shù)a、b、K：

(10)

s.t.a>0,b>0,K>0.

(11)

然后可得到基本模型，接著通過Lf,t=Lt-Ls,t計(jì)算得出誤差的歷史數(shù)據(jù)。

2.2 基于GPR的誤差補(bǔ)償模型

負(fù)荷中長期預(yù)測可用的樣本數(shù)據(jù)量通常較少，并且含有一定噪聲。GPR適用于處理小樣本、隨機(jī)性強(qiáng)的回歸問題[19]，本文將其用于建立負(fù)荷中長期預(yù)測的誤差補(bǔ)償模型。

令Xt表示X的第t行，假設(shè){f(X1),f(X2),…,f(Xm)}是一個(gè)高斯過程，那么{f(X1),f(X2),…,f(Xm)}的聯(lián)合分布服從高斯分布，設(shè)m(Xt),t∈{1,2,…,m}為該聯(lián)合高斯分布的均值函數(shù)，K(X)為其協(xié)方差矩陣，

(12)

式中k(Xi,Xj)為協(xié)方差函數(shù)?？紤]到在負(fù)荷預(yù)測問題中相差越小的輸入量之間相關(guān)性越強(qiáng)，選擇高斯核函數(shù)作為該模型的協(xié)方差函數(shù)：

(13)

式中α、β為待定參數(shù)。建立補(bǔ)償誤差的GPR模型

Lf,t=f(Xt)+ε,

(14)

式中：ε是樣本的噪聲，它服從高斯分布ε～N(0,δ2)，δ為待定參數(shù)。由上述假設(shè)可知Lf=(Lf,1,Lf,2,…,Lf,m)也是一個(gè)高斯過程，且Lf服從均值為m(Xt),t∈{1,2,…,m}，協(xié)方差為K(X)+δ2Im的聯(lián)合高斯分布，其中Im為m×m階單位矩陣。根據(jù)貝葉斯定理，可以構(gòu)建Lf的零均值先驗(yàn)分布：

Lf～N(0,K(X)+δ2Im).

(15)

令測試集的輸入量為Xtest=(Xv+1,Xv+2,…,Xm)T，測試集的輸出量為Lf,test=Lf,v+1,(Lf,v+2,…,Lf,m)T，訓(xùn)練集輸入量為Xtrain=(X1,X2,…,Xv)T，訓(xùn)練集輸出量為Lf,train=(Lf,1,Lf,2,…,Lf,v)T，其中v為訓(xùn)練集樣本個(gè)數(shù)。假定Lf,test與Lf,train服從聯(lián)合高斯分布，利用貝葉斯后驗(yàn)概率公式，可得誤差補(bǔ)償?shù)腉PR模型為：

(16)

(17)

covLf,t=k(Xt,Xt)-K(Xt,Xtrain)×

(K(Xtrain)+δ2Iv)-1K(Xt,Xtrain)T.

(18)

式(16)—(18)中：K(Xt,Xtrain)=(k(Xt,X1),

k(Xt,X2),…,k(Xt,Xv))；Iv為v×v階單位矩陣。

利用上述GPR模型即可在給定訓(xùn)練集求出待預(yù)測樣本的概率分布。為使得所得GPR模型與樣本分布誤差最小，采用極大似然估計(jì)法[20]對待定參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，似然函數(shù)

P(Lf,t|Xtrain)=P(Lf,t|Xtrain,α,β,δ)=

N(Lf,t|0,K(Xtrain|α,β)+δ2Iv).

(19)

通過求解以下極值問題得到參數(shù)α、β、δ：

(20)

[K(Xtrain|α,β)+δ2Iv]-1Lf,train-

(21)

2.3 基于誤差補(bǔ)償?shù)呢?fù)荷中長期預(yù)測步驟

基于誤差補(bǔ)償?shù)呢?fù)荷中長期預(yù)測步驟如下。首先，通過訓(xùn)練集樣本建立負(fù)荷的Logistic基本模型；隨后，利用基本模型與訓(xùn)練集的負(fù)荷誤差作為誤差補(bǔ)償模型的訓(xùn)練集；接著，使用GPR建立誤差補(bǔ)償模型；最后通過將這2個(gè)模型的輸出值相加得到負(fù)荷的預(yù)測值。

3 算例分析

為了驗(yàn)證所提基于誤差補(bǔ)償?shù)呢?fù)荷中長期預(yù)測模型的有效性和準(zhǔn)確性，本文選取了?？谑?012—2019年某企業(yè)用戶年最大負(fù)荷及其對應(yīng)的影響因素作為樣本數(shù)據(jù)。

本文選取的影響因素有：企業(yè)年產(chǎn)值、員工數(shù)量、平均高溫、平均低溫、極端高溫、極端低溫，共6個(gè)因素。將2012—2018年的歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，將2019年歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)作為測試集，具體數(shù)據(jù)見表1。

3.1 建立負(fù)荷基本模型

首先，通過Logistic回歸構(gòu)建負(fù)荷基本模型，設(shè)定當(dāng)3個(gè)參數(shù)的更新量組成的向量的歐幾里得范數(shù)d小于10-6時(shí)停止迭代，即滿足：

(22)

Δa=aj+1-aj,Δb=bj+1-bj,ΔK=Kj+1-Kj.

(23)

式中j為迭代次數(shù)。

圖1所示為使用Logistic回歸建立基本模型的迭代過程，算法在第178次迭代時(shí)收斂，得到圖2中的負(fù)荷基本模型。從圖2中可以看出，使用基本模型預(yù)測負(fù)荷，其變化趨勢與實(shí)際負(fù)荷保持一致。但是，由于有許多不確定性因素會影響負(fù)荷的變化，單純地使用基本模型進(jìn)行預(yù)測，會產(chǎn)生較大誤差，因此需要引入誤差補(bǔ)償模型以減小誤差。

圖1 Logistic回歸迭代過程Fig.1 Number of Logistic regression iterations

圖2 基于Logistic回歸的基本模型Fig.2 The basic model based on Logistic regression

表1 海口市某用戶年最大負(fù)荷及其影響因素樣本數(shù)據(jù)Tab.1 Sample data of a user’s annual maximum load and its influencing factors in Haikou

3.2 補(bǔ)償誤差建模

在對補(bǔ)償誤差建模之前，需要對模型的輸入量，即6個(gè)影響因素進(jìn)行特征提取。首先利用主成分分析計(jì)算表1中影響因素的6組主成分系數(shù)矩陣，得到的矩陣

中每列都對應(yīng)1個(gè)主成分，列向量即主成分系數(shù)。再根據(jù)式(5)計(jì)算前p個(gè)主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率ρ，得到第1個(gè)主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率高達(dá)99.97%，因此本文選取第1個(gè)主成分替代原始的6個(gè)影響因素，將原始的6維輸入量降至1維，且信息丟失率僅為0.03%。根據(jù)式(4)計(jì)算第1主成分的值，根據(jù)式(1)計(jì)算誤差大小，得到表2中的訓(xùn)練集。

表2 第1主成分與誤差訓(xùn)練集Tab.2 The training set of first principal component and error

根據(jù)表2中的訓(xùn)練集，利用基于高斯核的GPR方法構(gòu)建誤差補(bǔ)償模型(如圖3所示)。從圖3中可以看出，在各影響因素不確定的情況下，根據(jù)訓(xùn)練集，有95%的概率數(shù)據(jù)誤差落入圖3的置信區(qū)間中，并且從圖中可以看出，預(yù)測點(diǎn)的橫坐標(biāo)離訓(xùn)練集樣本越遠(yuǎn)，置信區(qū)間的范圍越大，這是因?yàn)轭A(yù)測點(diǎn)距離歷史數(shù)據(jù)點(diǎn)越遠(yuǎn)，高斯核函數(shù)的值也會隨之增大，對應(yīng)的GPR模型方差也會變大。

3.3 模型精度分析

將本文所提模型與Logistic回歸模型、GPR模型、線性回歸模型、支持向量機(jī)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行對比分析。Logistic回歸模型由表1中的訓(xùn)練集得到；線性回歸模型、支持向量機(jī)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和GPR模型由表2的訓(xùn)練集得到，其中，支持向量機(jī)的核函數(shù)采用高斯核；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為1，神經(jīng)元數(shù)量為10，激活函數(shù)采用線性整流

圖3 基于GPR的誤差補(bǔ)償模型Fig.3 Error compensation model based on GPR

函數(shù)。分別利用訓(xùn)練集與測試集的數(shù)據(jù)對各模型的擬合能力和泛化能力進(jìn)行測試，訓(xùn)練集下的擬合能力通過式(24)所描述的根均方差指標(biāo)RMSE評估，測試集下的泛化能力通過絕對誤差進(jìn)行評估[21-23]，評估結(jié)果見表3。

(24)

表3 預(yù)測誤差對比Tab.3 Prediction error comparison

從表3中的結(jié)果可以看出，Logistic模型在訓(xùn)練集與測試集下的精度均比較低(其RMSE與絕對誤差分別達(dá)到117.01 kW和74.22 kW)，GPR模型在訓(xùn)練集下的精度比較高，但在測試集下的精度比較低(絕對誤差達(dá)到91.97 kW)；因此，不適合單獨(dú)應(yīng)用Logistic模型或GPR進(jìn)行負(fù)荷中長期預(yù)測。線性回歸模型、支持向量機(jī)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型由于沒有考慮到中長期負(fù)荷的發(fā)展特性，它們的預(yù)測精度都較低。相對而言，本文提出的基于誤差補(bǔ)償?shù)念A(yù)測模型可同時(shí)考慮中長期負(fù)荷的S形發(fā)展規(guī)律和不確定因素的影響，其精度明顯高于其他模型，其在訓(xùn)練集下的RMSE僅為0.09 kW，在測試集下的絕對誤差僅1.80 kW，這說明所提模型具有較高的精度。此外，本文還能根據(jù)基本模型的Logistic曲線預(yù)測負(fù)荷發(fā)展至飽和的時(shí)間，這對電網(wǎng)的規(guī)劃具有指導(dǎo)意義。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于誤差補(bǔ)償?shù)呢?fù)荷中長期預(yù)測模型。在基于多模型預(yù)測和主成分分析技術(shù)的框架下，所提模型充分考慮了負(fù)荷的自然發(fā)展規(guī)律與不確定性因素對預(yù)測誤差的影響，提高了負(fù)荷中長期預(yù)測的準(zhǔn)確性，并且降低了模型輸入量的維數(shù)，避免了維數(shù)災(zāi)。以?？谑心池?fù)荷數(shù)據(jù)為例進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明本文方法所得結(jié)果比Logistic預(yù)測結(jié)果和GPR預(yù)測結(jié)果誤差更小。