李旭斌 陳曉陸

（中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校，北京 100028）

高中物理學(xué)習(xí)認(rèn)知發(fā)展規(guī)律滿足從感性到理性、從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知進(jìn)階規(guī)律.米粒流撞擊臺(tái)秤產(chǎn)生示數(shù)的現(xiàn)象在生活中易于觀察，學(xué)生易于聯(lián)想，以該感性、具體的連續(xù)體碰撞模型為抓手，逐漸延伸至較為抽象的電子流碰撞模型、理想氣體分子碰撞模型、光子碰撞模型這些對(duì)象模型，并且從較為簡(jiǎn)單的完全非彈性碰撞延伸至較為復(fù)雜的完全彈性碰撞、非完全彈性碰撞這些過(guò)程模型（表1）.

表1 有關(guān)連續(xù)體碰撞的模型進(jìn)階

1 原始模型：米粒流碰撞模型

米粒流撞擊臺(tái)秤產(chǎn)生示數(shù)的現(xiàn)象在生活中較為普遍、易于聯(lián)想.米粒流碰撞模型是一類經(jīng)典的連續(xù)體碰撞模型，以此模型作為進(jìn)階的起點(diǎn).類似的問(wèn)題情境還有水流等流體產(chǎn)生的沖擊力.

例1.如圖1，利用自動(dòng)稱米機(jī)稱米，買者認(rèn)為：因?yàn)槊茁湓谌萜髦杏邢蛳碌臎_力，造成讀數(shù)偏大，因而不劃算；賣著認(rèn)為：當(dāng)讀數(shù)滿足需求時(shí)，自動(dòng)裝置立即切斷米流，尚有一些米在空中，這些米是多給買者的，因而買家賺了.自動(dòng)稱米機(jī)究竟準(zhǔn)不準(zhǔn)？說(shuō)說(shuō)你的看法.

圖1

解析：?jiǎn)栴}的爭(zhēng)議主要在空中的米流柱的末端對(duì)臺(tái)秤造成的沖擊力，是否與空中米流柱的總重力相同.可以運(yùn)用“微元法”，選取空中米流柱底端的一小部分Δm，設(shè)該米流微元對(duì)臺(tái)秤造成的沖擊力大小為F、與臺(tái)秤作用時(shí)間為Δt、自由下落高度為h，由于米流撞擊袋子中的米堆不會(huì)反彈，因此該米流微元與米堆發(fā)生完全非彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量定理可以得到

該米流微元落到米堆時(shí)的速度v滿足

設(shè)米粒流的流量為ρ（單位時(shí)間內(nèi)流出的米流質(zhì)量），則ρ=Δm/Δt，結(jié)合（1）、（2）兩式可以得到米流柱底端撞擊臺(tái)秤產(chǎn)生的沖擊力

空中米流柱下落時(shí)間t滿足

空中米流柱總質(zhì)量m′滿足

空中米流柱總重力G′滿足

可見F=G′，說(shuō)明空中米流柱底端對(duì)臺(tái)秤的沖擊力示數(shù)與空中米流柱自身重力相同，因此自動(dòng)稱米機(jī)是準(zhǔn)確的，買家不賺賣家不賠.

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：如圖2，打開龍頭讓水流出，用電子秤測(cè)量流進(jìn)燒杯中的水的質(zhì)量，通過(guò)拍攝視頻可以發(fā)現(xiàn)，在關(guān)閉龍頭時(shí)空中仍然存在一段水柱，此時(shí)電子稱示數(shù)為90g，如圖2（甲）所示.當(dāng)空中的水柱落回?zé)?，此時(shí)電子秤的示數(shù)仍然為90g，如圖2（乙）所示.通過(guò)該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可以說(shuō)明空中水柱底端對(duì)臺(tái)秤產(chǎn)生的示數(shù)與這段水柱的總重相同.

圖2

2 模型進(jìn)階1：電子流碰撞模型（由米粒流到電子流的對(duì)象模型進(jìn)階）

金屬中電流的產(chǎn)生是電子定向移動(dòng)形成的，電子流撞擊金屬片可形成電流.電子流碰撞模型是米粒流碰撞模型的對(duì)象模型進(jìn)階，該對(duì)象模型抽象，需要由米粒流進(jìn)行類比遷移，但由于其過(guò)程模型仍然是完全非彈性碰撞，因此在運(yùn)用動(dòng)量定理分析此類問(wèn)題并不復(fù)雜.

例2.（2020年北京高考第19題第2問(wèn)）如圖3所示，真空中有一長(zhǎng)直細(xì)金屬導(dǎo)線MN，與導(dǎo)線同軸放置一半徑為R的金屬圓柱面.假設(shè)導(dǎo)線沿徑向均勻射出速率相同的電子，已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮出射電子間的相互作用.撤去柱面，沿柱面原位置放置一個(gè)弧長(zhǎng)為a、長(zhǎng)度為b的金屬片.在該金屬片上檢測(cè)到出射電子形成的電流I，電子流對(duì)該金屬片的壓強(qiáng)為p，求單位長(zhǎng)度導(dǎo)線單位時(shí)間內(nèi)出射電子的總動(dòng)能.

圖3

解析：假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)金屬片接收到的電子個(gè)數(shù)為n，電子射出的速度為v0，電子流對(duì)金屬片的作用力大小為F，根據(jù)動(dòng)量定理

電子流對(duì)金屬片產(chǎn)生的壓強(qiáng)可以表示為

金屬片上檢測(cè)到的電流可以表示為

聯(lián)立（6）、（7）式得到

若將該金屬片沿弧長(zhǎng)a延展至一周（寬度b不變），則金屬片單位時(shí)間接收到的電子個(gè)數(shù)

則單位長(zhǎng)度的導(dǎo)線單位時(shí)間射出電子個(gè)數(shù)

聯(lián)立（8）-（10）式，得到單位長(zhǎng)度導(dǎo)線單位時(shí)間射出電子總動(dòng)能

3 模型進(jìn)階2：氣壓產(chǎn)生（由電子氣到氣體分子、由完全非彈性碰撞到完全彈性碰撞）

與電子流的定向運(yùn)動(dòng)不同，理想氣體分子向空間各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率相同，存在朝某一方向做定向運(yùn)動(dòng)的概率.理想氣體分子碰撞模型不僅存在對(duì)象模型的進(jìn)階、還存在這過(guò)程模型的進(jìn)階，即研究對(duì)象是以一定概率做定向運(yùn)動(dòng)的氣體分子、而且碰撞過(guò)程是完全彈性碰撞具有反彈速度，因此運(yùn)用動(dòng)量定理分析此類問(wèn)題較為復(fù)雜.

例3.（2013年北京高考第24題第2問(wèn)）正方體密閉容器中有大量運(yùn)動(dòng)粒子，每個(gè)粒子質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)粒子數(shù)量n為恒量，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們假定：粒子大小可以忽略；其速率均為v，且與器壁各面的碰撞機(jī)會(huì)均等；與器壁碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變.利用所學(xué)力學(xué)知識(shí)，導(dǎo)出器壁單位面積所受粒子壓力f與m、n和v的關(guān)系.

圖4

解析：由于理想氣體分子和器壁發(fā)生完全彈性碰撞，分子碰后速度與碰前速度等大反向，根據(jù)動(dòng)量定理，單個(gè)分子動(dòng)量變化量的大小滿足

為計(jì)算Δt時(shí)間內(nèi)撞擊器壁的分子個(gè)數(shù)，構(gòu)建如圖4所示的立方體模型，如果氣體分子均撞向器壁，撞擊器壁的分子個(gè)數(shù)可以表示為vΔtSn，由于分子朝各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率相同，即朝前、后、左、右、上、下的運(yùn)動(dòng)幾率相同，因此實(shí)際的分子個(gè)數(shù)可以表示為

根據(jù)動(dòng)量定理，器壁受到的撞擊力大小F滿足

由此解得

最后得到氣體分子撞擊器壁產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即氣體壓強(qiáng)滿足

延伸思考1.假設(shè)氣體分子與缸壁的碰撞視為彈性碰撞，氣體分子的質(zhì)量為m，溫度為T時(shí)氣體分子的速率為v，且與缸壁碰撞前后，速度方向均與缸壁垂直.若該溫度下單位時(shí)間內(nèi)氣體分子與缸壁單位面積碰撞次數(shù)記為N，請(qǐng)導(dǎo)出此溫度下的壓強(qiáng)p與m、v、N之間的關(guān)系.

解析：根據(jù)動(dòng)量定理

根據(jù)壓強(qiáng)的定義進(jìn)一步得到

延伸思考2.例3中的n的含義是單位體積內(nèi)的氣體分子個(gè)數(shù)，而例4中的N是氣體分子與缸壁單位時(shí)間、單位面積碰撞次數(shù)，兩者之間存在怎樣的關(guān)系？

延伸思考3.（由2019年北京高考第24題第3問(wèn)改編）由于大量氣體分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，其對(duì)靜止雨滴的作用力為0.將雨滴簡(jiǎn)化為垂直于運(yùn)動(dòng)方向面積為S的圓盤，推導(dǎo)圓盤以速度v下落時(shí)，受到的空氣阻力所滿足的關(guān)系.（提示：設(shè)單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n，空氣分子與圓盤碰撞前后相對(duì)圓盤的速度大小不變且均為u，且u＞v，單個(gè)空氣分子質(zhì)量為m0）.

圖5

解析：以地面為參考系，以豎直向下為正方向，單個(gè)分子碰撞前后動(dòng)量的變化量

Δt時(shí)間內(nèi)與雨滴碰撞的氣體分子個(gè)數(shù)表示為

根據(jù)動(dòng)量定理得到

聯(lián)立（18）-（20）式得到

4 模型進(jìn)階3：光壓產(chǎn)生（由氣體分子到光子、由完全彈性碰撞到非完全彈性碰撞）

光子碰撞物體表面同樣會(huì)產(chǎn)生壓強(qiáng)，即光壓.黑色物體能完全吸收光子，因此光子與黑色物體的碰撞是完全非彈性的，而白色物體完全反射光子，因此光子與白色物體的碰撞是完全彈性的，一般物體存在部分吸收光子的情況，即光子與物體的碰撞一般認(rèn)為是非完全彈性的，這使得連續(xù)體碰撞的過(guò)程模型變得復(fù)雜.

例4.根據(jù)量子理論：光子既有能量也有動(dòng)量；光子能量E和動(dòng)量p之間的關(guān)系是E=pc，其中c為光速.由于光子有動(dòng)量，照到物體表面的光子被物體吸收或被反射時(shí)都會(huì)對(duì)物體產(chǎn)生一定的沖量，也就對(duì)物體產(chǎn)生了一定的壓強(qiáng)，稱之為“光壓”（類比“氣壓”）.根據(jù)動(dòng)量定理可以近似認(rèn)為：當(dāng)動(dòng)量為p的光子垂直照射到物體表面，若被物體反射，則物體受到的沖量大小為2p；若被物體吸收，則物體受到的沖量大小為p.

某激光發(fā)出激光束的功率為P0，光束的橫截面積為S.當(dāng)該激光束垂直照射到某物體表面時(shí)，物體對(duì)該激光的反光率為η，請(qǐng)推導(dǎo)該激光束對(duì)此物體產(chǎn)生的光壓大小.

解析：設(shè)時(shí)間Δt內(nèi)，照射到物體表面的光子個(gè)數(shù)為N，依題意得

由于一部分光子發(fā)生完全彈性碰撞、另一部分光子發(fā)生完全非彈性碰撞，因此光束與物體的碰撞屬于非完全彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量定理得到物體受到的撞擊力F大小滿足

聯(lián)立（21）、（22）式得到

激光束對(duì)此物體產(chǎn)生的光壓大小為

5 結(jié)語(yǔ)

連續(xù)體碰撞問(wèn)題包含了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理等運(yùn)動(dòng)和相互作用觀，模型建構(gòu)、推理論證等科學(xué)思維要素，以及“微元法”等物理學(xué)科方法；解決此類問(wèn)題往往需要學(xué)生具備較高的物理核心素養(yǎng)和高階思維.根據(jù)從感性到理性、從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知進(jìn)階規(guī)律，教師可以從原始的連續(xù)體碰撞模型出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生親歷從連續(xù)體（如米粒流）到電子流、理想氣體分子、光子的對(duì)象模型進(jìn)階，從完全非彈性碰撞到完全彈性碰撞、非完全彈性碰撞的過(guò)程模型進(jìn)階.通過(guò)物理模型進(jìn)階，輔助學(xué)生熟悉并掌握連續(xù)體碰撞問(wèn)題.