李 涵，葛 斌

隨著計算機網(wǎng)絡技術的發(fā)展，圖像作為一種信息載體被廣泛使用.但由于圖像信息量大、冗余度高的特點，傳統(tǒng)的加密算法，如DES（Data Encryption Standard）等對文本進行加密的算法［1］，已經(jīng)不適用于對圖像進行加密.由于混沌映射函數(shù)具有對初值敏感性、偽隨機性、非周期性等特點，被廣泛應用到隨機序列的生成，這使得混沌加密算法受到眾多學者的關注［2-10］.

混沌映射包括：低維映射與高維映射，其中，一維Logistic混沌映射函數(shù)，形式簡單且運算效率高，被廣泛使用［3］，但其安全性較低；高維映射參數(shù)多，安全性高，但其效率較低［4］；因此，一些學者通過改進一維混沌映射，提高混沌序列的隨機性［5-7］.周輝等［6］通過構造2維Henon-Sine映射，提高混沌映射函數(shù)的性能.對于加密系統(tǒng)而言，混沌序列應用到置換與擴散操作中，增強了混沌序列的隨機性，加密系統(tǒng)的安全性也隨之提高.

對于圖像加密算法而言，像素級的置亂操作僅僅能改變像素的位置，破壞相鄰像素之間的相關性，但是每個像素值在整張圖像中出現(xiàn)的頻率并沒有改變.因此，像素級的置亂操作不能抵抗統(tǒng)計分析攻擊.而對圖像中像素進行bit位置亂操作卻能夠同時改變像素值的位置和大小，算法效率較高，能夠達到抵抗統(tǒng)計攻擊的目的［9-10］.

本文選擇憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡，將其更新的權值作為混沌系統(tǒng)的密鑰，使用生成的混沌隨機序列完成圖像的置亂和擴散；并通過密鑰空間分析、信息熵分析、直方圖分析、相關性分析等進行安全性分析.

1 復合指數(shù)混沌系統(tǒng)

通過引入指數(shù)函數(shù)ek，對1-D Logistic映射進行改進，xk為1-D Logistic映射，復合指數(shù)混沌系統(tǒng)yk定義為：

其中：μ?[1,4]，步長為10-3，對原混沌映射函數(shù)進行改進后，其混沌特性明顯增強.由圖1可以觀察到其混沌范圍變廣；當參數(shù)μ>2.7時，函數(shù)已完全進入混沌狀態(tài)，且沒有周期加倍的分岔現(xiàn)象.

圖1 復合指數(shù)混沌系統(tǒng)

1.1 自相關性分析

本文所考慮的自相關性是指混沌系統(tǒng)在經(jīng)過步長為d而產(chǎn)生序列長度為L的迭代過程中，一個步長的取值與另一步長取值的依賴關系，其公式可以表示為：

其中：Rac為自相關系數(shù)，x(n)為序列值.

輸入初始值x0=0.2，μ=4到混沌系統(tǒng)，對獲得的長度為65 536的混沌隨機序列x1進行分析.從圖2可以看出，隨機序列在滯留間隔內(nèi)只有一個最高峰，且相關性在x軸上下波動，相關性系數(shù)接近于0.

圖2 隨機序列自相關性

1.2 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是識別混沌運動的一個重要數(shù)值特征，當出現(xiàn)數(shù)值為正數(shù)時，系統(tǒng)則產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.由于在一維混沌映射中，其仿真數(shù)值并不是很理想.

本文提出的混沌系統(tǒng)則表現(xiàn)出較好的混沌特性.從圖3可以觀察到，混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)皆為正值，表示其具有良好的混沌特性.

1.3 NIST檢驗

NIST SP 800-22 Test Suite為隨機性檢測工具，其中介紹了15種檢測隨機性的統(tǒng)計學方法.本文使用隨機性檢驗套件對混沌隨機序列進行測試，為滿足NIST檢驗的15項測試要求，首先對1 000 000個混沌序列值進行二值化處理，然后對取得的1 000 000位二進制序列進行NIST檢驗.

對于15項隨機性檢驗，每一項都會產(chǎn)生［0，1］的P值，當P值大于顯著性水平（α=0.01）時，則表示二進制序列通過測試且滿足隨機性特點.通過表1可以觀察到，所取得的隨機序列通過了NIST隨機性檢驗，混沌序列具有良好的隨機特性.

表1 NIST檢驗

2 憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡

2.1 憶阻器

憶阻器模型是由兩層鉑觸點和兩層TiO2薄膜組成，其中一層由于氧空位的摻雜而起到半導體的作用，而另一層則是顯示出絕緣性能，摻雜區(qū)的寬度可由通過憶阻器的電荷來確定.由于外界的激發(fā)，摻雜區(qū)的氧空位出現(xiàn)了漂移，使區(qū)域之間的邊界向同一方向移動［11］.

在描述邊界偏移速率時，同時考慮到憶阻器內(nèi)部，以及邊界條件的漂移行為使離子產(chǎn)生非線性狀態(tài)，選擇經(jīng)典的Joglekar窗口函數(shù)對摻雜漂移行為進行建模；在文獻［8］中，當p=1時，憶阻器的非線性特性最強，則非線性窗口函數(shù)f(x)表示為：

憶阻器阻值M(t)為：

其中：Ron和Roff分別指憶阻器的低、高電阻，q(t)為流過憶阻器的電流，為參數(shù)，，μv為平均遷移率，約為10-14m2s-1V-1.

由于憶阻器電導為其阻值的倒數(shù)，則憶阻器電導G(t)為：

憶阻器電導對時間t進行微分，可得到關于電導變化率的方程為：

2.2 基于憶阻器的神經(jīng)網(wǎng)絡

由于混沌多項式的遞歸和正交特性，被選擇作為神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù)，本文選擇Che?byshevⅡ類多項式作為神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù).

神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出.本文選擇ChebyshevⅡ正交多項式作為全連接層神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù)，x為輸入，wi為權值，Ci(t)為激活函數(shù)，則輸出層y為：

計算誤差：

其中：f(x)為期望輸出，y為實際輸出.

權值更新.使用憶阻器電導率?G代替?w，當電流很小時，憶阻器電導的變化也很小，趨近于0；當電流值為±4 mA時，憶阻器電導會產(chǎn)生很大的變化，由憶阻方程推導出的權值更新方程為：

利用誤差ei代替為ei的積分，η為學習率，Ci為Chebyshev混沌多項式.

計算所得的權值作為加密過程中的密鑰，且加密解密都使用同一個神經(jīng)網(wǎng)絡，如圖4所示.

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡

3 加解密算法

3.1 加密算法

STEP1：初始值密鑰的選取.將明文像素矩陣連同在明文像素矩陣中隨機選取的像素值x作為混沌神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入，設置輸入層和隱層之間的權值為1，混沌神經(jīng)網(wǎng)絡一經(jīng)確定輸入值和權值，便向輸出快速收斂并進行權值的更新.將混沌神經(jīng)網(wǎng)絡得到的權值wi作為混沌系統(tǒng)的密鑰值，其中算法1為混沌系統(tǒng)初始值，以及控制參數(shù)的更新算法.

STEP2：混沌序列的生成.使用算法1獲得混沌系統(tǒng)的初始值與控制參數(shù)x1,0、μ1，進行N0+l次的迭代后，為避免暫態(tài)效應，省略掉前面的N0個值而保留后面的l個值，生成混沌序列S={s1,s2,s3,…,sl}，其中l(wèi)=M×N，M為明文像素矩陣的行，N為明文像素矩陣的列.

STEP3：獲得索引數(shù)組，完成像素級置亂.將混沌序列S={s1,s2,s3,…,sl}轉(zhuǎn)置為M×N混沌矩陣后，對其進行逐行逐列的排序，得到索引矩陣D；按照索引矩陣D對明文像素矩陣P進行置亂操作，得到置亂后像素矩陣P′.

STEP4：初始值選擇.同樣使用算法1獲得混沌系統(tǒng)的初始值與控制參數(shù)x2,0、μ2，分別進行N0+8L次的迭代，將產(chǎn)生的混沌序列組合成序列W={w1,w2,…,w8L}.

STEP5：bit位重組.將P′中每個像素值轉(zhuǎn)化成二進制的形式Q，如Q(1,1)={1 0 000 001}；將混沌序列W轉(zhuǎn)置為M×8N的矩陣，對其進行排序后，得到索引數(shù)組C；按照索引數(shù)組C對序列Q中的元素進行重新排列，組合成新的序列A，即為bit位置亂后的序列.

STEP6：密鑰序列.首先，使用算法1獲得混沌系統(tǒng)的初始值與控制參數(shù)x3,0、μ3，x4,0、μ4，進行N0+l次的迭代后，獲得混沌隨機序列S1和S2；從置亂后圖像中隨機選取像素值Ak，并在權值中選擇wk1、wk2加入到混沌隨機序列S1和S2中，使得混沌序列的長度為l+1.為滿足擴散階段的bit-wise異或，以及mod運算的要求，使用算法2分別對混沌隨機序列S1和S2進行處理.

本文在進行bit位異或運算過程中，引入前一階段的像素值，使得每一個值擴散都與前一個步驟相關，且與前一個密文像素點相關，實現(xiàn)密文反饋機制，增強了加密算法的安全性.

STEP7：擴散.第一輪：在擴散加密時，引入bit級置亂后的結(jié)果A(l)，作為擴散的輸入.

當l=1時，

當1

第二輪：在擴散加密時，引入第一擴散后的結(jié)果Enc1(l)，作為擴散的輸入.

當l=L時，

當1≤l

得到最終的加密圖像為Enc2.

3.2 解密算法

解密算法為加密算法的逆運算，且解密過程中所使用的密鑰與加密過程中所使用的密鑰相同.

4 實驗結(jié)果與安全性分析

4.1 加密結(jié)果

圖5為圖像加密前后的對比，加密算法已經(jīng)完全改變了圖像原本的特征，安全性較高.下文將從抗統(tǒng)計攻擊、信息熵、相鄰像素相關性等方面對加密結(jié)果進行分析.

圖5 圖像加密結(jié)果

4.2 密鑰空間

密鑰作為明文和密文之間相互轉(zhuǎn)化的參數(shù)，其空間的大小是衡量加密效果的重要指標，密鑰位數(shù)越長，其密鑰空間越大；本文密鑰精度可以達到10-15，其密鑰集合E={x1,0，μ1，x2,0，μ2，x3,0，μ3，x4,0，μ4，Ak，wk1，wk2，N0}；因此，密鑰空 間 為(1015×8)×256×256×256×3 000≈2435，其密鑰空間?2128，能夠抵抗窮舉式攻擊.

4.3 統(tǒng)計攻擊分析

對于一張有完整意義的圖像，其相鄰像素之間必定存在較強的相關性，因此第三方可以通過對圖像像素值進行統(tǒng)計分析，實現(xiàn)統(tǒng)計攻擊.

4.3.1 相鄰像素相關性分析

在加密算法中，通過對原圖像的像素進行置亂操作，破壞了原圖像相鄰像素之間的相關性，進而達到了抵抗統(tǒng)計攻擊的目的.在對圖像進行相鄰像素相關性分析時，分別從原圖像與密文圖像中隨機選擇5 000對像素點，從水平、垂直及對角線三個方向，對像素點相鄰像素相關性進行計算，計算公式為：

由圖6可以明顯地觀察到加密前，圖像相鄰像素之間的相關性近似為1；由表2可知，加密后其相關性幾乎為0，完全破壞了圖像相鄰像素之間的相關性，原圖像變得毫無意義.

表2 相鄰像素相關性

4.3.2 直方圖分析

直方圖是對圖像中像素出現(xiàn)頻率進行統(tǒng)計的工具；圖7中，加密前，可以清楚地觀察到原圖像中每一個像素值占整張圖像像素個數(shù)的比例，而加密后的直方圖，每一個像素的分布都變得均勻，達到了抵抗統(tǒng)計攻擊的目的.

4.4 信息熵分析

對信息源的不確定度的度量，是圖像所包含信息的重要指標.信息熵越大，則圖像所包含信息越多，其混亂程度越高，因此，也不容易被第三方獲得圖像所包含的信息.加密后信息熵的理想值為8.信息熵的數(shù)學公式為：

圖6 相鄰像素相關性分析

圖7 直方圖分析

表3為對不同圖像加密后的信息熵，從表中可以觀察到加密后的圖像信息熵為7.997 3，接近于8，加密算法不易被第三方獲取信息.

表3 信息熵

5 結(jié)語

本文通過引入指數(shù)函數(shù)，對一維Logistic混沌映射進行改進，提出一種基于憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡與改進Logistic混沌映射的圖像加密算法，仿真實驗證明提出的混沌映射的隨機性明顯提高；憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡的應用，為加密系統(tǒng)的密鑰提供了選擇；并且神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入與明文相關，使得混沌系統(tǒng)的初始值與明文相關，達到了一次一密的Shannon完善保密性標準；雙重置亂算法使得加密結(jié)果能夠抵抗統(tǒng)計分析攻擊；雙向擴散算法使得每一個像素的影響擴散到整張圖像，加密算法的安全性提高，能夠抵抗典型的攻擊.