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        三視圖的幾個(gè)考查方向

        2021-12-08 04:10:33林陳阿妹
        關(guān)鍵詞:中考方向

        林陳阿妹

        [摘 要]三視圖是中考的必考內(nèi)容.文章探討中考三視圖的考查方向,以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

        [關(guān)鍵詞]中考;三視圖;考查;方向

        [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2021)32-0001-02

        立體圖形的三視圖是圖形變化的一部分.中考主要從以下幾個(gè)角度考查立體圖形的三視圖.

        一、繪制立體圖形的三視圖

        繪制立體圖形的三視圖是最基本的要求.繪圖時(shí),應(yīng)做到“長對正、高平齊、寬相等”.對于實(shí)際存在但在視圖中不可見的線條要畫成虛線.

        [例1]在平整的地面上,有一個(gè)由若干個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體,如圖1所示.

        (1)分別畫出從正面看到的、從左面看到的和從上面看到的平面圖.

        (2)若你手頭還有一些相同的小立方塊,如果保持從上面和左面觀察到的形狀圖不變,那么最多可以添加幾個(gè)小立方塊?

        分析:(1)從正面看立體圖形,圖形有三列,在每一列上小正方形的數(shù)目分別是3,1,2;從左面看立體圖形,得到的圖形有左、中、右三列小正方形,第一列有3個(gè)小正方形,第二列有2個(gè)小正方形,第三列有1個(gè)小正方形;俯視圖有3列,每列小正方形的數(shù)目分別為3,2,1.

        (2)保持俯視圖和左視圖不變,可往第二列前面的幾何體上放一個(gè)小正方體,后面的幾何體上放3個(gè)小正方體.那么最多可以添加4個(gè)小立方塊.

        點(diǎn)評:在第(2)小題中,再放4個(gè)小立方塊后,俯視圖與左視圖仍不變,它說明只給立體圖形的兩個(gè)視圖并不能確定立體圖形的形狀,它可能有多種情況.

        二、由兩種視圖判斷小立方體的個(gè)數(shù)

        由立體圖形可繪出它的三視圖,反之,由立體圖形的三視圖,也可以確定立體圖形的形狀.若只給組合圖形的兩種視圖,不能確定組合圖形的形狀,但可以確定組合圖形中小立方體個(gè)數(shù)所處的范圍.

        [例2]有一個(gè)組合幾何體,它由若干個(gè)小正方體組成,它的主視圖與俯視圖已經(jīng)畫出來.

        (1)根據(jù)圖2的主視圖和俯視圖,如果用最少的小正方體組合,需要多少個(gè)?如果用最多的小正方體組合,需要多少個(gè)?

        (2)用最多的小正方體組合幾何體時(shí),它的左視圖是什么?用最少的小正方體組合幾何體時(shí),它的左視圖是什么?

        分析:(1)在俯視圖中每個(gè)小正方形里,依次寫出這個(gè)位置上小正方體最多的個(gè)數(shù)與最少的個(gè)數(shù).如圖3所示,組合這樣的幾何體最多需要的小正方體個(gè)數(shù)為3+3+1+3+3+1+3=17;組合這樣的幾何體最少需要的小正方體個(gè)數(shù)為1+1+1+1+3+1+3=11.

        (2)根據(jù)左視圖的定義畫出圖形如圖4所示.

        點(diǎn)評:利用俯視圖,在每個(gè)小正方形內(nèi)寫出數(shù)字,表示此處小正方體的個(gè)數(shù),這是研究小正方體個(gè)數(shù)較好的方法.若第二個(gè)視圖是主視圖,則從每一列上考查最多、最少的小正方體的個(gè)數(shù);若第二個(gè)視圖是左視圖,則從每一行方面考查最多、最少的小正方體個(gè)數(shù).

        三、由三視圖計(jì)算立體圖形的體積或表面積

        在三視圖中,由主視圖可以得到立體圖形的長與高,由左視圖可以得到立體圖形的寬與高,由俯視圖可以得到立體圖形的長與寬.因此,如果已知立體圖形的三視圖,并標(biāo)上相應(yīng)的數(shù)據(jù),即可計(jì)算立體圖形的體積與表面積.

        [例3]如圖5所示的三視圖,原立體圖形是由兩個(gè)長方體組合的,三視圖中標(biāo)出一些數(shù)據(jù)(單位:mm),根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算原立體圖形的總體積和它的表面積.

        分析:由三視圖可得上面長方體的長、寬、高,及下面長方體的長、寬、高,由此可以求得兩個(gè)長方體的體積;求表面積時(shí),先求兩個(gè)長方體的表面積,再減去上、下兩個(gè)長方形接觸的面積.

        由主視圖可得上面長方體的長為4 mm,高為4 mm,下面長方體的長為6 mm.由左視圖可得上面長方體的寬為2 mm,下面長方體的寬為8 mm,高為2 mm.由俯視圖可得兩個(gè)長方體一邊之間的距離為3 mm.所以上面長方體的體積為[4×4×2=32](mm3),下面長方體的體積為[6×8×2=96](mm3),所以長方體的體積為128 mm3.上面長方體的表面積為[4×4×2+4×2×2+4×2=56](mm2),下面長方體的表面積為[6×2×2+8×2×2+6×8×2=152](mm2).

        所以立體圖形的表面積為56+152-8=200(mm2).

        點(diǎn)評:此立體圖形是一個(gè)組合體,它由一個(gè)平放的長方體與一個(gè)豎立的長方體組合而成,在計(jì)算體積時(shí)要分別去求各個(gè)長方體的體積,然后求和;在計(jì)算表面積時(shí)要分別去求各個(gè)長方體的表面積,求和后要減去相接觸的部分面積.

        四、從一種視圖到另兩種視圖

        根據(jù)組合立體圖形可以畫出它的三視圖.如果已知一種視圖,且在每個(gè)小正方形中標(biāo)示出該位置的小立方體個(gè)數(shù),也可以畫出其他兩種視圖,因?yàn)檫@樣的組合立體圖形的形狀已經(jīng)確定.

        [例4]有一個(gè)幾何體,它是由若干個(gè)小正方體組合而成的,如圖6所示是俯視圖,小正方形內(nèi)的數(shù)字表示這個(gè)位置的小正方體數(shù)目.請根據(jù)題意,想象它的立體圖形,并畫出這個(gè)幾何體的主視圖與左視圖.

        分析:由題意可知,幾何體的主視圖應(yīng)有左、中、右三列,左列有3個(gè)小正方體,中列有2個(gè)小正方體,右列有3個(gè)小正方體.它的左視圖應(yīng)有左、右兩列,左列有3個(gè)小正方體,右列有3個(gè)小正方體.畫圖如圖7所示.

        點(diǎn)評:主視圖、左視圖與俯視圖,在列數(shù)、行數(shù)和層數(shù)方面的關(guān)系,如表1所示.

        五、三視圖與規(guī)律探究

        一摞小正方體高度的增加與小正方體個(gè)數(shù)成正比例函數(shù)關(guān)系,但一摞碟子高度的增加與碟子個(gè)數(shù)成一次函數(shù)關(guān)系.這里的函數(shù)關(guān)系就是其中蘊(yùn)含的規(guī)律.當(dāng)幾摞碟子在桌子上擺放時(shí),可以畫出三視圖,已知三視圖可以得到碟子的個(gè)數(shù).

        [例5]美苑賓館的伙房內(nèi)規(guī)整地放著幾摞碟子,1個(gè)碟子的高度是2 cm,2個(gè)碟子的高度是3.5 cm,3個(gè)碟子的高度是5 cm,4個(gè)碟子的高度是6.5 cm.

        (1)如果m個(gè)碟子摞起來,試用含m的代數(shù)式表示總的高度;

        (2)如圖8所示是3摞碟子擺在桌面上的三視圖,分別是主視圖、左視圖與俯視圖,如果把這些碟子疊成一摞,總的高度是多少?

        分析:(1)通過表格里的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),第1個(gè)碟子的高度是2 cm,后面每多一個(gè)碟子,高度就多出1.5 cm,所以當(dāng)桌面上放有m個(gè)碟子時(shí),總高度為2 +1.5(m - 1)=(1.5 m + 0.5)cm;

        (2)根據(jù)三視圖可得,共有3摞碟子,左邊的前、后兩摞分別有5個(gè)與4個(gè),右邊有3個(gè),所以共有12個(gè),當(dāng)它們疊成一摞后的高度為18.5 cm.

        點(diǎn)評:立體圖形的層數(shù)與列數(shù),應(yīng)從正面視圖得到,立體圖形的行數(shù)與列數(shù),應(yīng)從上面看得到的圖形觀察得到;立體圖形的層數(shù)與行數(shù),應(yīng)從左面視圖觀察得到.

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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