修連成，杜志葉，岳國華，何靖萱，蔡泓威，易凡

(1.武漢大學(xué)電氣與自動化學(xué)院，武漢430072；2.空軍預(yù)警學(xué)院雷達士官學(xué)校，武漢430345)

0 引言

近年來，隨著我國電能需求的不斷增加，特高壓直流輸電技術(shù)在電力系統(tǒng)中得到廣泛運用[1-3]。當特高壓直流輸電線路的導(dǎo)線和金具表面電場強度超過起暈電場強度時，其表面會發(fā)生電暈[4-7]，導(dǎo)線和金具周圍產(chǎn)生了正、負電荷。因為直流輸電線路導(dǎo)線極性不變，電荷受到電場力的作用向空間中擴散，與標稱電場作用形成了合成電場，提高了地面電場強度[8-10]。由于輸電電壓等級的不斷提高，線路附近的電磁環(huán)境問題更加嚴重。因此，特高壓直流輸電線路下方的離子流場研究具有非常重要的意義。

解析求解是一種可以精確計算離子流場的方法，其原理是根據(jù)場域及其內(nèi)部物理量分布對稱特性，從而獲得與邊界條件對應(yīng)的唯一解[11]。但是，該方法只能求解相對簡單的結(jié)構(gòu)，如同軸圓柱模型、平行板模型等。為了解決復(fù)雜模型離子流場求解問題，文獻[12-13]基于Deutsch假設(shè)提出了一種離子流場計算方法，實現(xiàn)了復(fù)雜模型的離子流場快速求解。然而，該假設(shè)認為空間電荷只會影響電場數(shù)值，而不會改變電場方向，這與實際情況有所區(qū)別。而且在含有風速影響時，采用Deutsch假設(shè)的離子流場求解精度較低。文獻[14]提出一種利用Kaptzov假設(shè)求解離子流場的有限元方法。針對不同結(jié)構(gòu)的直流輸電線路問題，文獻[15-18]利用基于Kaptzov假設(shè)的有限元法對其離子流場進行了求解和分析。文獻[19-20]通過有限元法計算了單極和雙極直流輸電線路的離子流場。有限元法求解過程主要分為兩個部分：首先，通過假設(shè)的初始電荷密度求解泊松方程，實現(xiàn)獲取空間電場信息。隨后，利用空間電場和電流連續(xù)性方程計算空間電荷密度。將上述兩部分反復(fù)迭代即可獲得地面合成電場和離子流場分布。但是該方法在求解復(fù)雜模型時經(jīng)常會發(fā)生迭代過程不收斂的情況。

為了快速準確地求解特高壓直流線路離子流場，文獻[21]提出了一種上流有限元法來求解直流線路的離子流場。上流有限元法的原理是搜尋和確定上流有限單元，從而實現(xiàn)由電荷源點向外擴散求解的目標?；谏狭饔邢拊ê蚄aptzov假設(shè)對輸電線路的合成電場和離子流密度進行了求解[22-23]。文獻[24]基于上流有限元法提出了一種減少剖分網(wǎng)格數(shù)量的方法。該方法將二維上流有限元法求解的離子流場當作三維求解時輸電導(dǎo)線的求解邊界。但是上述文獻對初始導(dǎo)體表面電荷敏感度較高，迭代過程容易無法收斂。文獻[25]提出了一種偏差估算法來計算初始導(dǎo)線表面電荷密度。但是該方法的迭代步數(shù)較多，迭代計算時間較長。

本文通過基于牛頓-拉夫遜的上流有限元法求解特高壓直流線路下方的地面合成電場與離子流場。該方法不僅無需調(diào)整和優(yōu)化算法參數(shù)，還提高了收斂能力。該算法應(yīng)用簡單，魯棒性強，可求解復(fù)雜情況下的地面合成電場和離子流密度。

1 離子流場模型

特高壓直流輸電線路離子流場模型中的正、負電荷主要受到了風力和電場力的影響。因此，離子流場的控制方程可以表示為：

(1)

j+=ρ+(k+E+W)

(2)

j-=ρ-(-k-E+W)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：φ為電位，V；ρ+、ρ-分別為正、負電荷密度，C/m3；ε0為空氣介電常數(shù)；j+、j-分別為正、負離子流密度，A/m2；k+、k-分別為正、負離子遷移率，m2/Vs；E為電場強度，V/m；W為風速，m/s；Rn為復(fù)合系數(shù)。

將式(1)—(6)代入式(4)和式(5)，可得：

(7)

式中V+(-)為正、負離子的遷移速度。

特高壓直流輸電線路下方的離子流場求解屬于強非線性問題，很難實現(xiàn)直接準確求解，因此需要簡化離子流場模型[26]。同時，假設(shè)條件應(yīng)對地面離子流場計算結(jié)果影響較小，即

1)忽略特高壓直流輸電導(dǎo)線的電暈層厚度；

2)電暈已到達穩(wěn)態(tài)，不考慮暫態(tài)過程；

3)導(dǎo)線表面場強滿足Kaptzov假設(shè)；

4)正、負離子的遷移率、復(fù)合系數(shù)和風速與電場無關(guān)，即設(shè)置為恒定常數(shù)。

2 基于牛頓-拉夫遜的離子流場求解算法

求解電流連續(xù)性方程是離子流場計算的重要環(huán)節(jié)。因此，本文通過上流有限元法求解電流連續(xù)性方程。上流有限元法的基本原理是通過三角單元的兩個已知電荷密度節(jié)點去計算另一未知電荷密度節(jié)點[5,7]?？臻g正電荷密度可描述為：

(8)

式中：下標i,j,m分別代表不同節(jié)點；bijm和cijm均為三角形單元的節(jié)點坐標函數(shù)；SΔ為三角形單元面積。

由式(7)—(8)可得特高壓直流輸電線路的正電荷密度。正、負電荷密度求解思路一致。因此，節(jié)點i處的正、負電荷密度為：

(9)

式中：

(10)

(11)

(12)

式(9)的求解結(jié)果實現(xiàn)了從源點電荷發(fā)出并擴散到整個場域，與實際情況相符，保證了電流連續(xù)方程的收斂性。

在迭代求解過程中，導(dǎo)線表面電場場強變化較大時會導(dǎo)致更新的導(dǎo)體表面電荷密度發(fā)生大幅度振蕩，進而使迭代過程不收斂。同時，導(dǎo)線表面電荷密度的初值設(shè)置對計算泊松方程和電流連續(xù)性方程時的收斂性影響較大。當電荷密度的初值選擇不恰當時，迭代過程容易發(fā)生振蕩不收斂的情況。為此，本文提出了一種基于牛頓-拉夫遜的迭代收斂算法，具體證明如下。

假設(shè)迭代電荷密度方程屬于單變量非線性方程，即可得：

f(ρi)=0

(13)

將式(13)改寫成式(14)。

f[ρi(k-1)+Δρi(k-1)]=0

(14)

式中：ρi(k-1)為節(jié)點i在第k-1次迭代時的電荷密度；ρi(k-1)和Δρi(k-1)分別為迭代電荷密度方程的近似解和真解誤差。

根據(jù)泰勒公式原理，式(14)可改寫為：

f[ρi(k-1)+Δρi(k-1)]=

f[ρi(k-1)]+f′[ρi(k-1)]Δρi(k-1)+

(15)

迭代電荷密度方程的真解誤差Δρi(k-1)相對較小，因此可以忽略其二階以上的高次項，即：

f[ρi(k-1)+Δρi(k-1)]=

f[ρi(k-1)]+f′[ρi(k-1)]Δρi(k-1)

(16)

根據(jù)式(14)和式(16)可知，真解誤差Δρi(k-1)的修正解可表示為：

ρi(k)=ρi(k-1)+Δρi(k-1)

=ρi(k-1)-f(k-1)/f′(k-1)

(17)

根據(jù)式(17)可知，改進算法依據(jù)迭代過程的前2步導(dǎo)線表面電荷密度來求解新的電荷密度。該算法在導(dǎo)線表面場強與起暈場強相差較遠(較近)時，電荷密度更新較快(較慢)，保證了算法的快速穩(wěn)定收斂。因此，本算法對導(dǎo)體表面電荷密度的初始值不敏感。具體控制過程如下。

ρi(k)=ρi(k-1)+Δρi(k-1)=

(18)

式中：Emaxk-1、Emaxk-2分別為第k-1、k-2次迭代時導(dǎo)線表面的最大電場強度；E0為導(dǎo)線表面起暈場強。

式(18)解決了導(dǎo)體表面電荷密度快速收斂到真值附近問題。但是當計算空間電荷密度時，前后兩次迭代的空間電荷密度大幅度變化，可能會導(dǎo)致計算不收斂。因此，本文引入了迭代變化系數(shù)到空間電荷密度更新中，確保迭代穩(wěn)定收斂。空間電荷密度可以表示為：

ρis(k)=(1-v)ρis(k-1)+ρisc(k)v

(19)

式中：ρis(k)、ρis(k-1)分別為上一步迭代過程中的空間電荷密度；ρisc(k)為當前迭代步中根據(jù)上一步有限元法計算得到的空間電荷密度；ν為迭代變化系數(shù)。

綜述所述，在迭代過程前期，輸電導(dǎo)線表面的電荷密度距離實際電荷密度相差較遠。因此，本算法加大了調(diào)整電荷量，確保迭代過程快速進行，提高迭代過程計算效率，使得導(dǎo)線表面電場強度可以快速接近起暈場強。在迭代過程后期，本算法減少了更新的電荷量，使得本算法可以穩(wěn)定收斂。離子流場的收斂條件為：

(20)

(21)

式中：δE、δρ分別為導(dǎo)線表面的電場強度和電荷密度相對誤差；Emax為導(dǎo)線表面的最大電場強度。

當導(dǎo)線表面未發(fā)生電暈時，通過求解拉普拉斯方程獲得空間電場分布。而求解離子流場主要分為四個步驟：通過空間電荷密度求解泊松方程得到空間電場分布信息；利用空間電場信息和上流有限元法求解電流連續(xù)性方程；判斷是否滿足Kaptzov假設(shè)和電荷密度結(jié)果穩(wěn)定的收斂條件；如果不滿足穩(wěn)態(tài)收斂條件，則采用基于牛頓-拉夫遜的迭代收斂算法來修改電荷密度。將上述過程重復(fù)迭代到達收斂條件。離子流場求解的流程圖如圖1所示。

圖1 離子流場計算流程圖

3 算法驗證

3.1 試驗?zāi)Ｐ万炞C

通過單極直流試驗線路模型來驗證本文所提出的新型迭代收斂算法的正確性和有效性。該模型的直流導(dǎo)線施加電壓為30 kV，導(dǎo)線半徑為0.8 mm，直流導(dǎo)線高度為0.394 m，試驗平臺如圖2所示。在導(dǎo)體模型下方放置場磨探頭和威爾遜板，用于測量地面電場強度和離子流密度。圖中左側(cè)的高壓發(fā)生器控制臺用于控制導(dǎo)線電壓等級。送風機用于控制試驗風速。

圖2 試驗平臺

參考國家標準GB/T 37543—2019中的評價依據(jù)對試驗數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計。圖3給出了不同風速下的本文算法與試驗測量數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。圖3(a)和3(b)中的紫(深)色點和黃(淺)色點分別表示在風速為0 m/s和3 m/s時的測量結(jié)果。

圖3 計算和測量結(jié)果對比

根據(jù)圖3(a)，本算法求解的地面合成電場結(jié)果與試驗線路的測量結(jié)果相差較小。特別是在風速值為0 m/s時，計算值與測量值基本一致。本算法的離子流密度計算值與實際測量值對比如圖3(b)所示。實際測量峰值下降速度比本文方法的計算值下降速度稍快。但計算值與實際測量值基本一致，證明了本算法的正確性。需要說明的是，風速對離子流密度和合成電場影響明顯。電荷由逆風側(cè)被吹至順風側(cè)，合成電場最大值位置也向順風側(cè)發(fā)生偏移。

3.2 算法收斂性與穩(wěn)定性分析

本文利用云南—廣東± 800 kV特高壓直流輸電線路模型來驗證本算法的收斂性和穩(wěn)定性。該線路導(dǎo)線數(shù)據(jù)詳見參考文獻[27]。當初始導(dǎo)線表面電荷不同時，本算法求解離子流場的迭代收斂結(jié)果如圖4所示。圖中導(dǎo)線表面初始電荷密度分別為1×10-8、5×10-8、1×10-7、1.5×10-7和2×10-7C/m3。顯然，本算法在不同初始導(dǎo)線表面電荷密情況下都能夠快速穩(wěn)定收斂，且迭代步數(shù)都少于20步。

圖4 收斂效果驗證

當初始導(dǎo)線表面電荷為2×10-7C/m3時，將本文算法、收斂控制因子法以及傳統(tǒng)方法進行了對比，如圖5所示。傳統(tǒng)方法對電荷敏感度較高，容易出現(xiàn)迭代振蕩，從而導(dǎo)致計算無法收斂。迭代收斂控制因子法和本文算法都能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的迭代收斂。

圖5 不同方法收斂速度對比

迭代收斂控制因子法對初始導(dǎo)線表面電荷密度不敏感，但該方法需要設(shè)置控制因子，且控制因子值的大小與收斂性和計算速度直接相關(guān)。當控制因子較小時，迭代過程中的電荷密度變化不大，進而實現(xiàn)穩(wěn)定收斂。但是，其迭代速度較慢，計算時間變長。當控制因子較大時，迭代收斂速度變快，然而導(dǎo)體表面電荷變化較大，可能導(dǎo)致無法收斂。由圖5可知，迭代收斂控制因子法雖然能夠較快速到達電荷真值附近，但是仍需要多次迭代才能達到收斂條件。而本文所提出的算法迭代速度較快，且無需復(fù)雜的算法參數(shù)調(diào)整與優(yōu)化。特高壓直流輸電線路的導(dǎo)線表面電荷和表面電場強度變化情況如圖6所示。

圖6 導(dǎo)線表面電荷和表面電場強度變化曲線

本文算法在迭代過程初期的導(dǎo)線表面電荷密度變化程度較大，而迭代后期的電荷變化較小，使得本文算法可以快速穩(wěn)定迭代收斂。迭代初期(3～10步)，導(dǎo)線附近合成電場強度變化劇烈，使得導(dǎo)體表面電荷變化率較大，從而實現(xiàn)快速地迭代到起暈場強附近。迭代后期，導(dǎo)線表面電荷變化率較小，確保離子流場迭代穩(wěn)定收斂，防止在起暈場強附近發(fā)生振蕩。因此，本文算法實現(xiàn)了快速穩(wěn)定地計算特高壓直流線路下方離子流場。

4 風速對±800 kV特高壓直流輸電線路離子流場影響分析

本文以± 800 kV特高壓直流輸電線路為例進行了地面離子流場求解，得到了地面合成場強和地面離子流密度在不同風速下的分布規(guī)律。具體線路參數(shù)和測量數(shù)據(jù)見參考文獻[27]。圖7和圖8分別表示了不同風速時地面合成電場強度和離子流密度。

圖7 地面合成場強求解結(jié)果

圖8 地面離子流密度求解結(jié)果

圖7—8中風向從左側(cè)向右側(cè)為正，風速從-3 m/s增加到3 m/s。當風速從-3 m/s增加時，合成場強和離子流密度的最大值位置逐漸向右側(cè)移動，且其最大值先減小后增加。本文計算的合成電場和離子流密度與測量結(jié)果基本一致，驗證了本算法的有效性和正確性。

隨著風速向左增加，正極性導(dǎo)線下方地面合成場強和離子流密度逐漸增大，而負極性導(dǎo)線下方的離子流場有所減小。當風速值從0 m/s增加時，負極性下方的合成電場和離子流密度逐漸減小。這是由于負極性導(dǎo)線下方的空間電荷都被吹到了正極性導(dǎo)線下方，從而導(dǎo)致負極性導(dǎo)線下方的合成電場和離子流密度減小。當風速值為3 m/s時，最大合成場強為36.58 kV/m，且最大離子流密度為83.6 nA/m2。同時，對比于風速為0 m/s時的最大合成電場，其位置發(fā)生了約5 m的偏移。綜上所述，隨著風速向右(向左)增大，合成場強和離子流密度的分布曲線和最大值都逐漸向右(向左)移動，而且順風側(cè)導(dǎo)線的合成場強和離子流密度數(shù)值均會顯著變大。

本文算法在不同風速情況下求解合成電場和離子流場時，迭代過程一般少于20步，相比于傳統(tǒng)方法縮短了計算時間，且滿足工程精度要求。同時，本文所提出算法不但對導(dǎo)體表面電荷密度初值選擇不敏感，而且無須調(diào)整和優(yōu)化算法參數(shù)，具有較好的魯棒性。

5 結(jié)語

為了解決特高壓輸電線路離子流場計算的快速穩(wěn)定收斂問題，本文基于牛頓-拉夫遜法提出了一種快速穩(wěn)定求解離子流場算法。該算法在導(dǎo)線表面場強距離起暈電場強度相差較大(較小)時，電荷密度更新較多(較少)，從而實現(xiàn)了快速穩(wěn)定收斂。通過對實驗室模型線路的地面合成電場和離子流場計算，驗證了本算法的有效性和正確性。同時，本文對±800 kV 特高壓輸電線路下方離子流場進行了求解，證實了該算法可以提高求解速度并保證收斂的穩(wěn)定性。隨著向右風速的增加，正極性導(dǎo)線下方的地面合成場強和離子流密度逐漸增大，而負極性導(dǎo)線下方的離子流場數(shù)值逐漸減小。該算法不但對導(dǎo)體表面電荷密度初值選擇不敏感，而且無需調(diào)整算法參數(shù)，具有較好的魯棒性。研究結(jié)論有助于快速準確計算特高壓直流輸電線路下方離子流場。