侯樹政，田蔚光，鄒軍，劉培杰

(1.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(清華大學(xué)電機(jī)系)，北京100084；2.國網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司，北京102209)

0 引言

對輸電線路周圍的電場已有較多研究，可采用二維模型計(jì)算無限長直輸電線路在空間產(chǎn)生的電場分布[1-5]，但是當(dāng)需要考慮導(dǎo)線弧垂、交叉跨越或轉(zhuǎn)角時(shí)，就需要對輸電線進(jìn)行三維建模，求解該場景下的電場分布應(yīng)用較多的是模擬電荷法(CSM)[6-10]，然而這些文獻(xiàn)中對有限長輸電線進(jìn)行分段后直接計(jì)算電荷，此時(shí)輸電線兩端懸空，則電荷將會在輸電線兩端聚集，這與實(shí)際情況不相符，并且對于多檔輸電線路，導(dǎo)線分段數(shù)量多，計(jì)算量大，不利于實(shí)際應(yīng)用。因此若只求解多檔輸電線路中間某一區(qū)域電場，考慮輸電線路的周期性結(jié)構(gòu)，可采用周期邊界條件將整個(gè)輸電線路的影響歸并到一檔線路之內(nèi)，則可消除輸電線路端部效應(yīng)，并且減少了待解未知數(shù)的數(shù)量，提高了計(jì)算效率。文獻(xiàn)[11]將輸電線兩端等效為半無限長線電荷，但模擬電荷法的精度取決于模擬電荷的數(shù)量和布置方式，用一根線電荷代替遠(yuǎn)端延伸的導(dǎo)線，模擬電荷數(shù)量過少可能會導(dǎo)致結(jié)果誤差增大[12]。

此外，若考慮輸電桿塔對導(dǎo)線電荷和周圍電場的影響，則需對輸電桿塔進(jìn)行建模[13-18]，將輸電桿塔簡化后分為若干段有限長線電荷。此時(shí)輸電線路的電荷不再均勻分布，輸電線應(yīng)做更細(xì)化分段，以保證計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性。輸電線路以一檔為一個(gè)周期單元，每檔長度為400 m左右，檔距較長，分段后的電荷數(shù)量太多，計(jì)算量遠(yuǎn)大于不考慮桿塔時(shí)求解輸電線路電場問題，因此針對該場景的電場求解，需要一種更高效的計(jì)算方法。

針對考慮桿塔影響場景下，計(jì)算多檔輸電線路中桿塔周圍區(qū)域電場問題，本文提出一種使用周期邊界條件計(jì)算輸電線路電場的簡化方法。先利用周期邊界條件構(gòu)造方程矩陣，然后將輸電線路兩側(cè)距離桿塔較遠(yuǎn)的電荷用二維無限長輸電線電荷替代，減少未知數(shù)和方程的個(gè)數(shù)，提高計(jì)算效率。求解方程矩陣得到受桿塔影響下的輸電線路電荷分布和輸電桿塔電荷后，對桿塔周圍區(qū)域電場進(jìn)行計(jì)算。

1 計(jì)算方法

首先說明利用周期邊界條件求解輸電線路和桿塔電荷的計(jì)算要點(diǎn)和過程，然后對其進(jìn)行簡化，減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。

1.1 周期邊界條件計(jì)算方法

考慮桿塔的影響時(shí)，需要搭建三維輸電線路和桿塔模型。設(shè)輸電線長度為L，將其劃分成M段有限長圓柱導(dǎo)體，匹配點(diǎn)選在輸電線導(dǎo)體段表面，線電荷單元位于導(dǎo)體的中心軸線上。以導(dǎo)體棒左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿著導(dǎo)體棒的中心線建立坐標(biāo)系，則第m段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為ym，如圖1所示。

圖1 輸電線分段及坐標(biāo)系示意圖

線電荷在導(dǎo)體表面匹配點(diǎn)建立電位積分方程如下。

(1)

式中：rn和rm分別為場點(diǎn)和源點(diǎn)坐標(biāo)；t(rm)為導(dǎo)體段線電荷密度；V0為輸電線表面電位，因?yàn)檩旊娋€為工頻交流電，所以電位用頻域形式表示；G(rn,rm)為點(diǎn)電荷在無限大空間建立電位的格林函數(shù)；G為源點(diǎn)位置。

根據(jù)式(1)計(jì)算出每段導(dǎo)體表面的電位平均值，并做歸一化處理，可將第n段上平均電位方程寫成矩陣形式：

[P][σ]=[V]

(2)

式中：P為電位系數(shù)矩陣；σ為電荷向量；V為電位向量。則場點(diǎn)和源點(diǎn)之間歸一化后的電位系數(shù)pmn如式(3)所示。

(3)

(4)

為場點(diǎn)和源點(diǎn)之間歸一化后的電位系數(shù)；lm、ln分別為源點(diǎn)和場點(diǎn)導(dǎo)線分段的長度；σm為源點(diǎn)導(dǎo)線分段的總電荷，具體求解公式可參考[19-20]。

對輸電桿塔可以用類似的建模方法，但由于桿塔的實(shí)際結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，因此建模過程中不可能包含鐵塔的所有部件，建模時(shí)對桿塔做如下簡化[15-16]：

1)保留鐵塔的主要金屬構(gòu)架，忽略絕緣子、均壓環(huán)、金具等次要構(gòu)架；

2)用圓柱導(dǎo)體代替鐵架的金屬角鋼；

3)鐵塔較長構(gòu)架等效為多段直線段連接，每段直線段分別設(shè)置模擬線電荷；

4)有限長模擬線電荷設(shè)置在圓柱中心軸線上，匹配點(diǎn)選在圓柱表面。

將輸電桿塔共分成N段，垂直導(dǎo)線方向?yàn)閤軸，平行導(dǎo)線方向?yàn)閥軸，垂直地面向上為z軸正方向，同塔雙回鼓型塔的模擬電荷模型如圖2所示。

圖2 輸電桿塔模擬電荷模型示意圖

輸電線和桿塔之間存在相互影響，根據(jù)疊加原理，結(jié)合所有電位方程，列出電位求解方程矩陣形式如下：

(5)

式中：Ptt為桿塔對桿塔表面電位的作用；Ptc為輸電線對桿塔表面電位的作用；Pct為桿塔對輸電線表面電位的作用；Pcc為輸電線對輸電線表面電位的作用；σt為桿塔電荷；σc為輸電線電荷；Vt為桿塔表面電位；Vc為輸電線表面電位。

輸電線路具有周期性結(jié)構(gòu)，可將每檔視作一個(gè)周期單元，因此可采用周期邊界條件將整個(gè)輸電線路的周期影響歸并到一檔線路之內(nèi)，減少方程數(shù)目，消除端部效應(yīng)。周期數(shù)越大，則計(jì)算的場景越接近無限長導(dǎo)體的電荷分布。

如圖3所示的輸電線路，將其分為3個(gè)單元，編號分別為#(-1)、#(0)、#(+1)。

圖3 多檔高壓輸電線路周期結(jié)構(gòu)示意圖

計(jì)算#(0)單元內(nèi)的電場，各單元內(nèi)線電荷密度為

(6)

對整個(gè)輸電線路按照式(2)列寫電位方程，有

(7)

式中P(i)(j)為第(j)單元和第(i)單元之間的互電位系數(shù)矩陣，矩陣中元素按照式(3)計(jì)算。因?yàn)檩旊娋€電荷分布具有周期性，即

σ(-1)=σ(0)=σ(+1)

(8)

將電荷的周期關(guān)系代入方程矩陣中

[P(0)(-1)+P(0)(0)+P(0)(+1)][σ(0)]=[V(0)]

(9)

可見，使用周期邊界條件可以降低方程數(shù)目，有效壓縮計(jì)算量，但是輸電線路以一個(gè)檔距為周期，輸電線路的檔距平均為400 m，跨度較大，輸電線分段較多，對于多回線路，未知量的求解個(gè)數(shù)增加迅速，計(jì)算量較大，不利于在實(shí)踐中應(yīng)用，因此需要對該方法進(jìn)行簡化，提高計(jì)算效率。

1.2 考慮桿塔時(shí)的簡化計(jì)算方法

1.2.1 忽略桿塔對其他單元的影響

因?yàn)檩旊娋€路檔距較大，所以不同單元內(nèi)的輸電桿塔相距很遠(yuǎn)，因此輸電桿塔對其他單元內(nèi)的桿塔和輸電線影響可忽略不計(jì)，則輸電桿塔上的線電荷可不參與周期變化，只有輸電線的電荷需要使用周期條件來消除端部效應(yīng)。因此#(0)單元內(nèi)桿塔電荷單獨(dú)計(jì)算，則式(7)可改寫為

(10)

將各單元的電荷周期關(guān)系帶入式(10)，有

(11)

可將式(11)簡寫為

(12)

式中

Ptc=Pt(0)c(-1)+Pt(0)c(0)+Pt(0)c(+1)

(13)

Pcc=Pc(0)c(-1)+Pc(0)c(0)+Pc(0)c(+1)

(14)

表示輸電線周期結(jié)構(gòu)對#(0)單元內(nèi)的作用。

1.2.2 確定桿塔對輸電線電荷分布影響范圍

此外，考慮桿塔對輸電線上電荷分布的影響，認(rèn)為桿塔只對其周圍區(qū)域輸電線電荷分布產(chǎn)生影響，則輸電線距離桿塔較遠(yuǎn)部分的電荷受桿塔影響可忽略不計(jì)，因此確定桿塔對輸電線電荷分布的影響范圍后，可將輸電線分為桿塔影響區(qū)域和非桿塔影響區(qū)域，位于非桿塔影響區(qū)域的輸電線電荷則認(rèn)為不受桿塔影響，應(yīng)均勻分布，用無限長直輸電線電荷替代，表示不受桿塔影響時(shí)，輸電線的電荷分布，從而減少待求電荷的數(shù)量，降低計(jì)算量。

確定桿塔影響范圍時(shí)，先利用二維模型計(jì)算出不考慮桿塔影響時(shí)，無限長直輸電線上的線電荷大小，該電荷即為遠(yuǎn)離桿塔時(shí)輸電線上均勻分布的電荷大小。再用考慮桿塔存在時(shí)的三維模型建立有限長輸電線和桿塔的模型，將輸電線每10 m一段劃分成若干有限長圓柱，模擬電荷位于圓柱的軸線上，計(jì)算出此時(shí)輸電線上的電荷分布，并和二維計(jì)算得到的電荷結(jié)果進(jìn)行比較，不同電荷誤差要求下，距離桿塔20 m采樣線上的電位計(jì)算結(jié)果誤差和計(jì)算時(shí)間如表1所示，綜合考慮電位誤差和計(jì)算時(shí)間，將電荷偏差超過1.5%的區(qū)域視作桿塔對輸電線電荷分布的影響區(qū)域，周期單元內(nèi)其余部分則視為非桿塔影響區(qū)域。因此，計(jì)算#(0)單元內(nèi)電場時(shí)，將#(0)單元內(nèi)輸電線路分為3部分，σc也分為3部分，如圖4所示，σc1，σc3表示非桿塔影響區(qū)域的輸電線線電荷分布，σc2表示桿塔影響區(qū)域輸電線線電荷分布，σt表示桿塔線電荷，單元內(nèi)輸電線長度為L。

表1 不同桿塔對電荷影響要求下計(jì)算結(jié)果對比

圖4 #(0)單元內(nèi)桿塔影響區(qū)域劃分示意圖

1.2.3 計(jì)算長輸電線和桿塔電荷分布

確定了桿塔的影響范圍后，對輸電線進(jìn)行較細(xì)化分段，σc拆分后可將式(12)改寫為

(15)

然后將非桿塔影響區(qū)域的輸電線上電荷用無限長直輸電線電荷替代，可得

σc1=σc3=σ2D

(16)

式中σ2D為二維模型計(jì)算得到輸電線電荷。將式(15)矩陣方程簡化為

(17)

將待求解的方程矩陣維度降低，可減少計(jì)算量。求解矩陣方程即可得到桿塔周圍輸電線電荷分布和桿塔模型電荷，最后根據(jù)所得電荷計(jì)算出桿塔周圍電場。

2 方法驗(yàn)證

2.1 解析算例：三相交流輸電線電荷分布計(jì)算

以單回和雙回輸電線為例驗(yàn)證本文方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，圖5為一組大地上方平行于地面放置的單回三相交流輸電線，為方便解析計(jì)算忽略輸電線弧垂，其距離地面的高度h=30 m；輸電線半徑r=0.01 m，各相之間距離d=6 m，輸電線電壓模值V=1 kV，相位互差120 °。圖6為雙回輸電線路，兩側(cè)豎直排列，從上到下左側(cè)為ABC相序，右側(cè)為CBA相序，最下方輸電線距地面高度h=30 m，兩回輸電線間距w=12 m，各相間距d=9 m。解析方法采用鏡像法和電軸法計(jì)算輸電線電荷[21]。

圖5 單回輸電線路架設(shè)幾何結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 雙回輸電線路架設(shè)幾何結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)輸電線總長度為1 200 m，整個(gè)輸電線分為3個(gè)單元，每個(gè)單元400 m，各單元內(nèi)輸電線等長地分為40段，每段長10 m，分別利用式(9)、(17)計(jì)算中間單元輸電線上電荷分布，比較原周期條件方法和本文簡化方法計(jì)算結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果的誤差，在本文簡化方法中將中間單元輸電線兩端各100 m的部分用解析結(jié)果替代。兩種方法計(jì)算得到的中間單元電荷模值分布誤差如圖7所示。

圖7 不同計(jì)算方法輸電線電荷誤差比較

結(jié)果顯示，計(jì)算單回輸電線時(shí)，兩種方法誤差均為0.023 9%；計(jì)算雙回輸電線時(shí)，兩種方法均為0.036 5%，說明本文方法計(jì)算結(jié)果足夠準(zhǔn)確，且本文簡化方法中輸電線兩端電荷用解析結(jié)果替代，因此誤差為0。

2.2 數(shù)值算例：同塔雙回輸電線電場計(jì)算

以330 kV同塔雙回輸電線路為例，共有6條導(dǎo)線和2條地線，桿塔影響范圍為40 m，將導(dǎo)線和地線每5 m分一段，則每根導(dǎo)線和地線在桿塔影響區(qū)域分為8段，非桿塔影響區(qū)域分為72段，將輸電桿塔分為56段導(dǎo)體，單元內(nèi)導(dǎo)體總數(shù)為680段，圖8為采樣線示意圖。

圖8 330 kV交流輸電線采樣路徑俯視圖

為進(jìn)行計(jì)算結(jié)果對比，以桿塔底部中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于輸電線的水平方向?yàn)閥軸，垂直于輸電線的水平方向?yàn)閤軸，z軸垂直于地面，向上為正方向建立三維坐標(biāo)系。過a(-20,0,20)、b(-15,0,20)、c(-10,0,20)3點(diǎn)分別做平行于y軸，長40 m的采樣線，此時(shí)兩種方法電位計(jì)算結(jié)果誤差如圖9(a)所示；再分別過d(0,20,20)、e(0,15,20)、f(0,10,20)3點(diǎn)做平行于x軸，長40 m的采樣線，此時(shí)兩種方法電位計(jì)算誤差如圖9(b)所示。

圖9 兩種計(jì)算方法采樣線電位模值誤差

計(jì)算結(jié)果顯示，兩種方法在計(jì)算桿塔周圍10～20 m范圍內(nèi)電位時(shí)，電位模值誤差不超過0.6%，且距離桿塔越近的采樣線誤差越小。兩種方法計(jì)算不同輸電線分段密度所需時(shí)間如表2所示，輸電線分段越細(xì)計(jì)算效率提升越多，當(dāng)輸電線和桿塔總分段數(shù)為3 256時(shí)，效率提升可達(dá)40.95倍。

表2 計(jì)算時(shí)間對比

3 結(jié)論

針對輸電線路在桿塔周圍產(chǎn)生的電場計(jì)算問題，本文提出一種采用周期邊界條件的簡化計(jì)算方法。在模擬電荷法的基礎(chǔ)上，利用周期條件解決輸電線路三維模型中電荷在輸電線兩端聚集的問題，然后將距離輸電桿塔較遠(yuǎn)，受桿塔影響可忽略的部分輸電線電荷用無限長直輸電線電荷代替，以減少待求未知數(shù)的個(gè)數(shù)，提高計(jì)算效率。

本文計(jì)算方法適用于計(jì)算考慮輸電桿塔影響情況下，多檔高壓交流輸電線路在非轉(zhuǎn)角塔周圍電場，且可考慮輸電線路弧垂的影響。輸電桿塔周圍10～20 m范圍內(nèi)電位計(jì)算結(jié)果的誤差可控制在0.6%以內(nèi)，計(jì)算效率可提升數(shù)十倍，輸電線模擬電荷建模分段越細(xì)，計(jì)算效率提升越明顯。