曾俊豪

(中鐵四院集團(tuán)南寧勘察設(shè)計(jì)院有限公司，廣西 南寧 530003)

0 引言

新建鐵路項(xiàng)目通常要將線路設(shè)計(jì)起點(diǎn)引入既有車站，與既有線按規(guī)定線間距并行一段距離；既有鐵路改、擴(kuò)建工程也要先恢復(fù)既有線位和線形，二者都涉及到既有線測(cè)量與恢復(fù)。鐵路線路在日常運(yùn)營(yíng)中由于受到輪軌沖擊，軌枕上部巨大壓力向下傳導(dǎo)使得道床發(fā)生沉降，線路縱斷面在不同地質(zhì)區(qū)段會(huì)不同程度偏離設(shè)計(jì)線位[1]?？v斷面變形累積會(huì)影響線路平順度和旅客乘車體驗(yàn)，同時(shí)也為行車埋下安全隱患[2]?？v斷面擬合是通過(guò)上道測(cè)量既有線路的軌面高程，按照一定的方法(如最小二乘法)，將軌面高程點(diǎn)用一條連續(xù)、平滑的曲線連接起來(lái)，考慮規(guī)范約束，最終得到一條抬、落道工程量最小的縱斷面[3-4]，為既有線整正或新線引入提供依據(jù)。

既有線縱斷面擬合方法目前主要分為2類。①幾何特征法。該法的核心是將縱斷面根據(jù)線形特征進(jìn)行準(zhǔn)確分段，直線段主要計(jì)算斜率和截距，曲線段主要計(jì)算圓心、半徑[5-6]，通過(guò)最小二乘法逐段進(jìn)行擬合，該法較依賴設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)去判斷變坡點(diǎn)或豎圓曲線起、終點(diǎn)的位置，且難以從全局確定最佳變坡點(diǎn)的位置。②組合優(yōu)化方法。該法通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型將既有線擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合優(yōu)化問(wèn)題，以抬、落道量最小為主要優(yōu)化目標(biāo)、規(guī)范要求為約束條件，再通過(guò)啟發(fā)式算法或商業(yè)數(shù)學(xué)軟件[7]求解模型。其中遺傳算法作為一種基于遺傳機(jī)理的群體尋優(yōu)搜索算法，在公路縱斷面設(shè)計(jì)應(yīng)用中已經(jīng)較為成熟[8-9]，在鐵路既有線設(shè)計(jì)與擬合方面的應(yīng)用較少。通過(guò)嘗試將幾何特征法與組合優(yōu)化法相結(jié)合，充分挖掘縱斷面線形幾何特征，基于最小二乘法進(jìn)行分段擬合，以變坡點(diǎn)位置為決策變量建立組合優(yōu)化模型，采用遺傳算法進(jìn)行全局尋優(yōu)。

首先提出變坡點(diǎn)的漸進(jìn)識(shí)別方法獲取所有可能的變坡點(diǎn)，并以此為分段依據(jù)提出基于最小二乘法的連續(xù)縱坡擬合方法和豎圓曲線分段計(jì)算方法，建立縱斷面擬合數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，以可能變坡點(diǎn)里程作為決策變量，最小抬、落道量為優(yōu)化目標(biāo)，規(guī)范相關(guān)規(guī)定為約束條件，結(jié)合問(wèn)題特征設(shè)計(jì)遺傳算法進(jìn)行求解，最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證模型與算法的高效性，方法可用于輔助工程設(shè)計(jì)。

1 基于回歸分析的縱斷面擬合方法

由現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的鐵路線路高程點(diǎn)是離散分布的，可大致反映既有縱斷面的線形特征，其中變坡點(diǎn)及兩側(cè)坡度決定了縱斷面的起伏狀態(tài)?；谧钚《嗽?，提出的擬合方法首先是通過(guò)既有高程信息分段確定出可能的變坡點(diǎn)集合，再據(jù)此計(jì)算出各坡段的最佳坡度，最終得到擬合程度最高且連續(xù)的縱斷面。

1.1 變坡點(diǎn)漸進(jìn)識(shí)別方法

(1)

P={mpk│|di|>|di-1|and |di|>|di+1|,i≠1,i≠n}?M

(2)

對(duì)可能變坡點(diǎn)的里程集合P的第k個(gè)元素mpk∈P按里程進(jìn)行升序排列，當(dāng)相鄰2個(gè)元素的差值乘積dmpk×dmpk+1<0，則保留可能變坡點(diǎn)mpk和mpk+1，否則剔除可能變坡點(diǎn)mpk+1，上述運(yùn)算過(guò)程如圖1所示。

圖1 確定可能變坡點(diǎn)的位置示意

通過(guò)上述運(yùn)算過(guò)程可得第一批可能變坡點(diǎn)，然后再按可能變坡點(diǎn)的里程集合P對(duì)全線里程進(jìn)行分段，如圖1可分為：起點(diǎn)～變坡點(diǎn)1、變坡點(diǎn)1～變坡點(diǎn)2、變坡點(diǎn)2～終點(diǎn)共3段，再逐段按上述過(guò)程迭代運(yùn)算，每迭代一次,按里程升序排列一次，直到終點(diǎn)段停止計(jì)算，實(shí)現(xiàn)變坡點(diǎn)的漸進(jìn)識(shí)別。具體步驟如算法1所示，最終輸出幾何意義上可能成為變坡點(diǎn)的集合。

算法1 可能變坡點(diǎn)里程集合求解算法

輸入：線路里程M，既有高程E。

輸出：可能變坡點(diǎn)里程集合P。

初始化：P=Φ，擬合起點(diǎn)里程ms=m1，擬合終點(diǎn)里程mE=mn；

第1步：按式(1)對(duì)線路段ms～mE進(jìn)行擬合；

第2步：從里程ms至mE按式(2)識(shí)別可能變坡點(diǎn)mpi；

第3步：判斷當(dāng)差值乘積dmpk×dmpk+1<0時(shí)，則P∪mpk，P∪mpk+1；否則P∪mpk；

第4步：將集合P中的變坡點(diǎn)里程按升序排列；

第5步：按集合P中的變坡點(diǎn)進(jìn)行分段，更新擬合起點(diǎn)里程ms和終點(diǎn)里程mE；

第6步：若已經(jīng)擬合到終點(diǎn)里程段，則返回可能變坡點(diǎn)里程集合P，否則返回第1步。

1.2 連續(xù)縱坡擬合

當(dāng)相鄰坡段的最大坡度代數(shù)差小于規(guī)范規(guī)定時(shí)，連續(xù)縱坡的坡度擬合按求得的變坡點(diǎn)集合P逐坡段進(jìn)行一維線性擬合，為保證坡段的連續(xù)性，前一坡段的終點(diǎn)將作為后一坡段的起點(diǎn)，如圖2所示。可能變坡點(diǎn)是根據(jù)既有高程數(shù)據(jù)計(jì)算得到的，對(duì)擬合而言設(shè)計(jì)高程與既有高程不一定相同，故為了線形擬合效果最佳，人工經(jīng)驗(yàn)做法通常是在臨近可能變坡點(diǎn)之前或之后里程進(jìn)行試算。一條既有線的縱斷面擬合起點(diǎn)第一個(gè)坡段的高程為既有測(cè)量值，其后的坡段都是以前一坡段終點(diǎn)里程的擬合高程作為起點(diǎn)高程。變坡點(diǎn)位置的選擇對(duì)其后的坡段的影響將傳播到線路終點(diǎn)。

圖2 連續(xù)縱坡擬合示意圖

1.3 豎圓曲線分段與計(jì)算

為了保證列車運(yùn)行的平順性、安全性和旅客乘車舒適性，不同等級(jí)鐵路相鄰坡度差超過(guò)一定范圍時(shí)應(yīng)采用圓曲線形豎曲線連接。豎圓曲線可表示為

(mi-mc)2+(ei-ec)2=R2

(3)

式中，mc、ec、R分別為豎圓曲線的圓心里程、圓心高程、半徑。

縱斷面設(shè)計(jì)階段根據(jù)相鄰坡度代數(shù)差確定圓曲線的參數(shù)，豎圓曲線的擬合則是根據(jù)離散測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)去反推其參數(shù)與邊界。以圖3為例，點(diǎn)A、B、D分別為3個(gè)測(cè)點(diǎn)，其中D為可能變坡點(diǎn)mpk∈P，假設(shè)其都在圓曲線上，點(diǎn)C為圓曲線的切線交點(diǎn)，從幾何角度顯然有∠ADB>∠ACB，即通過(guò)與可能變坡點(diǎn)mpk連線得到的相鄰坡度差大于設(shè)計(jì)坡度差。

圖3 三點(diǎn)法構(gòu)造等腰三角形

計(jì)算采用三點(diǎn)法[1,10]進(jìn)行圓曲線方程計(jì)算并進(jìn)行分段，選取測(cè)點(diǎn)構(gòu)造等腰或近似等腰三角形以減小測(cè)點(diǎn)位置誤差對(duì)豎圓曲線圓心、半徑精確度的影響。具體是以可能變坡點(diǎn)mpk∈P構(gòu)成等腰三角形的頂角，向大、小里程方向各選取一個(gè)相鄰且等距的測(cè)點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的底角。

對(duì)每一可能變坡點(diǎn)兩側(cè)坡段計(jì)算坡度代數(shù)差，對(duì)于代數(shù)差超過(guò)規(guī)范的采用上述方法計(jì)算圓曲線方程，將計(jì)算得到的圓半徑與規(guī)范規(guī)定的最小豎曲線半徑比較，反推該里程的可能變坡點(diǎn)是否需要采用圓曲線連接。

對(duì)于可采用豎圓曲線連接的相鄰坡段，逐一將可能變坡點(diǎn)兩側(cè)的測(cè)點(diǎn)里程代入圓曲線方程，直到計(jì)算高程與實(shí)測(cè)高程偏差超過(guò)閾值，得到豎圓曲線的范圍。

2 數(shù)學(xué)模型

從系統(tǒng)工程角度，基于可能變坡點(diǎn)集合P中的變坡點(diǎn)劃分坡段，可實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的最佳擬合，而實(shí)際上并不一定能計(jì)算出全線最優(yōu)的擬合縱斷面，且約束條件如豎曲線和道岔不能重疊、最小坡段長(zhǎng)度等未考慮在內(nèi)。孫曉麗[11]以變坡點(diǎn)的坡長(zhǎng)和坡度作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量建立整正模型，等價(jià)于全線中的所有測(cè)點(diǎn)皆為潛在的變坡點(diǎn)，大大增加了搜索的難度。利用既有縱斷面線形特征，根據(jù)識(shí)別到的變坡點(diǎn)求解最佳坡度值，對(duì)可能變坡點(diǎn)集合P進(jìn)行鄰域優(yōu)化調(diào)整，可有效減少計(jì)算復(fù)雜度，求解系統(tǒng)最優(yōu)擬合方案。

數(shù)學(xué)模型表示如下

(4)

s.t.

(5)

mpkEs,?mpk∈P,s∈S

(6)

mpk+1-mpk≥l,?mpk∈P

(7)

mp1-m0≥landmn-mp|P|≥l

(8)

vp≤vmax,?vp∈V

(9)

vp-vp-1≤vd,?vp∈V

(10)

3 遺傳算法設(shè)計(jì)

相較于將所有勘測(cè)點(diǎn)位作為潛在變坡點(diǎn)的模型，本文提出的模型將可能變坡點(diǎn)里程集合P作為決策變量，在數(shù)量上顯然小于前者。模型的求解思路是以可能變坡點(diǎn)里程mpk∈P為基準(zhǔn)位置，模擬人工拉坡操作，在其左右鄰域范圍內(nèi)偏移變坡點(diǎn)的位置，以求得整體抬、落道最小的擬合線形，故本模型屬于組合優(yōu)化問(wèn)題。遺傳算法是一種可多點(diǎn)并行隨機(jī)搜索的啟發(fā)式算法，在解決工程上組合優(yōu)化問(wèn)題具有較好的適應(yīng)性和魯棒性。針對(duì)模型特征設(shè)計(jì)遺傳操作算子以求解模型。

(1)初始染色體的生成。根據(jù)模型的特征和既有研究成果[11]，以0-1編碼方式來(lái)表示所有里程的狀態(tài)，其中基因?yàn)?表示該里程為非變坡點(diǎn)，1表示該里程為變坡點(diǎn)。該編碼方式形成的編碼空間中的所有點(diǎn)與可行解空間中的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。初始染色體是將所有可能變坡點(diǎn)里程mpk∈P的基因置為1，生成初始種群，如圖4所示。一個(gè)染色體中基因?yàn)?表示該里程的坡度值不變，基因?yàn)?表示該里程為變坡點(diǎn)。

圖4 初始染色體示意

圖5 單點(diǎn)交叉

圖6 鄰域基因反轉(zhuǎn)變異算子

(4)適應(yīng)度函數(shù)。遺傳算法中采用適應(yīng)度函數(shù)作為評(píng)價(jià)種群中個(gè)體優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)?？v斷面擬合的目標(biāo)是要使得按設(shè)計(jì)縱斷面改造既有縱斷面時(shí)產(chǎn)生的土石方工程最小，與此直接相關(guān)的指標(biāo)便是抬、落道量。模型中的目標(biāo)函數(shù)是要求解最小的抬、落道量，算法的遺傳選擇操作是篩選出適應(yīng)度函數(shù)最大的個(gè)體，故需建立標(biāo)準(zhǔn)適應(yīng)度函數(shù)[11]，如式(11)所示。

(11)

式中，Z為目標(biāo)函數(shù)，即抬、落道總量的絕對(duì)值，以此構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)可獲得較好的擬合效果。

綜上，既有線縱斷面擬合遺傳算法基本流程如圖7所示。

圖7 既有線縱斷面擬合遺傳算法基本流程

4 實(shí)例分析

以南寧局管內(nèi)某客貨共線鐵路的實(shí)測(cè)高程數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證提出的模型與算法，并與人工擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。線路起點(diǎn)里程K1+300，終點(diǎn)里程K5+300，總長(zhǎng)4 km；鋪設(shè)一組9號(hào)單開(kāi)道岔，考慮豎曲線切線長(zhǎng)其起止范圍為K3+116.161～K3+185.009。自線路里程起點(diǎn)開(kāi)始，直線段每20 m測(cè)量一個(gè)高程點(diǎn)，曲線段、道岔段處適當(dāng)加密，共包含203個(gè)軌面測(cè)點(diǎn)，最小坡段長(zhǎng)度l=250 m，最大坡度值vmax=6‰，相鄰坡段最大坡度差vd=15‰，相鄰坡段最大坡度代數(shù)差大于3‰，豎曲線半徑不得小于10 000 m。算法的輸入數(shù)據(jù)為既有線里程及其測(cè)量高程，輸出數(shù)據(jù)為設(shè)計(jì)坡度、設(shè)計(jì)高程及其高差、抬道量及坡長(zhǎng)。

圖8 縱斷面擬合結(jié)果對(duì)比

在K3+061和K4+870處相鄰坡段的坡度代數(shù)差超過(guò)了3‰，故通過(guò)三點(diǎn)法構(gòu)造等腰三角形算得兩處的豎圓曲線半徑分別為R=20 000 m和15 000 m，滿足規(guī)范要求。

優(yōu)化算法通過(guò)調(diào)整K3+061～K4+870里程內(nèi)的變坡點(diǎn)位置，擬合的總偏差絕對(duì)值相較于人工擬合結(jié)果減少了8.7%，如表1所示，各項(xiàng)指標(biāo)均符合設(shè)計(jì)規(guī)范。優(yōu)化算法已嵌入程序，運(yùn)行效率高，輸出結(jié)果可靠，可為設(shè)計(jì)提供輔助。

表1 優(yōu)化算法與人工擬合結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

(1)基于最小二乘法提出基于線性回歸的縱斷面擬合方法，包括變坡點(diǎn)漸進(jìn)識(shí)別方法、連續(xù)縱坡擬合和豎圓曲線分段計(jì)算方法；(2)以可能變坡點(diǎn)為調(diào)整對(duì)象建立既有線縱斷面擬合模型，針對(duì)問(wèn)題特征設(shè)計(jì)遺傳算子以求解模型；(3)通過(guò)實(shí)例分析模型與遺傳算法擬合縱斷面的過(guò)程與效果，在符合設(shè)計(jì)規(guī)范的前提下，總抬、落道量的絕對(duì)值比人工擬合減少了8.7%。綜上，提出的模型與算法為既有線縱斷面優(yōu)化提供了一種新的思路，對(duì)豐富算法理論研究與提高工程設(shè)計(jì)效率具有積極意義。