劉 飛,嚴(yán) 謹(jǐn),李佳鑫,楊時(shí)超,羅惠方,張茵楠

(重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,重慶 400044)

1 引 言

相位測(cè)量輪廓術(shù)是獲取物體形貌的一種重要方法[1]。在相位測(cè)量輪廓術(shù)測(cè)量過(guò)程中,首先利用投影儀向被測(cè)物體表面主動(dòng)投影具有一定規(guī)律的編碼圖像,如條紋光柵等。再通過(guò)拍攝系統(tǒng)拍攝經(jīng)物體高度調(diào)制后的變形條紋圖像,并利用對(duì)應(yīng)的相位展開技術(shù)求解物體高度信息。投影編碼圖像的特性會(huì)對(duì)相位測(cè)量輪廓術(shù)精度造成較大影響,其中條紋周期數(shù)是重要影響因素之一[2-3]。Huntley[2]通過(guò)推導(dǎo)說(shuō)明條紋周期數(shù)的增加可以有效抑制相位誤差,但并不能無(wú)限增加?；贖untley等人的研究,杜憲[3]等通過(guò)假設(shè)法選取十組條紋周期數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),選出其中一組條紋周期數(shù)作為最優(yōu)條紋周期數(shù),但并未系統(tǒng)給出條紋周期數(shù)選擇方法的公式推導(dǎo)與理論模型。Li[4]等通過(guò)理論分析,在基于投影儀的非線性響應(yīng)以及離焦效應(yīng)的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了相位誤差模型以及三步相移法中的最大相位誤差計(jì)算方法,提高了三維測(cè)量精度,但并未考慮條紋周期數(shù)對(duì)于測(cè)量精度的影響。

雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)條紋周期數(shù)對(duì)于相位測(cè)量輪廓術(shù)精度的影響進(jìn)行了各自的研究,但基本上仍是基于經(jīng)驗(yàn)、試湊等定性的方法,對(duì)于定量選擇最優(yōu)條紋周期數(shù)的方法仍比較欠缺。為減小三維重建誤差,提高測(cè)量精度,本文基于上述問(wèn)題提出一種基于誤差模型的相位測(cè)量輪廓術(shù)條紋周期數(shù)定量選擇方法。首先考慮影響相位測(cè)量輪廓術(shù)測(cè)量精度的主要因素,建立綜合相位誤差模型,計(jì)算最大相位誤差；其次在基于多頻外差的相位展開算法中,推導(dǎo)條紋周期數(shù)與最大相位誤差的約束關(guān)系,利用約束方程與最大相位誤差的關(guān)系,估計(jì)出合適的條紋周期數(shù)；最后通過(guò)仿真以及實(shí)驗(yàn)證明了本文提出的相位測(cè)量輪廓術(shù)條紋周期數(shù)定量選擇方法能夠有效的降低三維重建誤差。本文提出的方法能實(shí)現(xiàn)相位測(cè)量輪廓術(shù)最優(yōu)條紋數(shù)的定量選擇,將促進(jìn)相位測(cè)量輪廓術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用。

2 相位誤差模型與條紋周期數(shù)約束方程

2.1 相位誤差模型

相位測(cè)量輪廓術(shù)采用相移技術(shù),通過(guò)一系列有一定相位差的條紋光柵進(jìn)行相位解調(diào)。以條紋光柵橫向分辨率W為1024 pixel為例,其中λ為條紋光柵中單個(gè)周期所包含的像素點(diǎn)個(gè)數(shù),因此條紋周期數(shù)K=W/λ,由圖1可知,條紋周期數(shù)K為6。

圖1 條紋光柵Fig.1 Fringe pattern

當(dāng)投影儀將條紋光柵投影至被測(cè)物表面,投射的標(biāo)準(zhǔn)N步相移法灰度分布函數(shù)為[5]:

In(x,y)=IA+IBcos[φ(x,y)-δn]

(1)

其中,In(x,y)為編碼的理想條紋光柵的灰度分布函數(shù);IA為整幅條紋光柵的平均灰度值;IB為整幅條紋光柵的調(diào)制灰度值;φ(x,y)為絕對(duì)相位;δn=2π×n/N為第n幅條紋光柵的相移,n=0,1,2,…N-1。

對(duì)應(yīng)的條紋光柵包裹相位φ(x,y)為:

(2)

在相位測(cè)量輪廓術(shù)中,測(cè)量精度受到多方面的影響。通常相位誤差主要來(lái)源可分為三種:光柵圖像A/D轉(zhuǎn)換的離散誤差[3,6],投影儀的非線性響應(yīng)誤差[4,7-10],投影儀的離焦效應(yīng)誤差[4,11-13]。采用標(biāo)準(zhǔn)N步相移法時(shí),其相位誤差Δφ為[4]:

(3)

(4)

其中,α∈[0,1]為被測(cè)物體表面反射率;Bk為未考慮離焦效應(yīng)時(shí)的k次諧波項(xiàng)系數(shù),可由傅里葉變換求得[4]。T(f)為高斯離焦模型光學(xué)傳遞函數(shù),f=K/W為條紋光柵的頻率,K為條紋周期數(shù),W為條紋光柵橫向分辨率。

(5)

(6)

2.2 條紋周期數(shù)約束方程

基于多頻外差原理的相位解包裹方法因其測(cè)量精度較高而應(yīng)用較廣[15-16]。本文在基于多頻外差的全頻解相方法上推導(dǎo)條紋周期數(shù)與相位誤差的約束關(guān)系。由于使用標(biāo)準(zhǔn)三頻四步相移法求解的包裹相位存在四倍頻相位誤差,因此,為保證絕對(duì)相位無(wú)跳躍性誤差,需要滿足如下約束[5]:

(7)

其中,K1、K2、K3為最高頻、次高頻、最低頻的條紋周期數(shù),即:K1>K2>K3。Δφmax為整幅條紋光柵中的最大相位誤差,該誤差與條紋節(jié)距大小無(wú)關(guān)[5,17]。因此最高頻光柵1、次高頻光柵2和最低頻光柵3的最大相位誤差均為Δφmax。

2.3 條紋周期數(shù)與相位誤差對(duì)測(cè)量精度的影響

在結(jié)構(gòu)光測(cè)量系統(tǒng)中,設(shè)某空間三維點(diǎn)的坐標(biāo)為(Xw,Yw,Zw),則三維坐標(biāo)計(jì)算公式為:

(8)

其中,sc,sp分別是相機(jī)和投影儀的比例因子。(uc,vc)和(up,vp)是相機(jī)和投影儀的圖像坐標(biāo),Ac,Ap分別為相機(jī)和投影儀的內(nèi)部參數(shù),Mc,Mp分別為相機(jī)和投影儀的外部參數(shù)。

該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的投影儀圖像坐標(biāo)up可表示為:

(9)

其中,φ(uc,vc)為該點(diǎn)的絕對(duì)相位值;K為條紋光柵的條紋周期數(shù);W為條紋光柵橫向分辨率。

因此,在其他測(cè)量環(huán)境不變的情況下,投影儀圖像坐標(biāo)誤差Δup可表示為[14]:

(10)

由式(8)可知,三維坐標(biāo)的計(jì)算與投影儀圖像坐標(biāo)up有關(guān),投影儀圖像坐標(biāo)誤差Δup將會(huì)引起三維重建誤差。由式(10)可知,當(dāng)增加條紋光柵的條紋周期數(shù)K或者降低相位誤差Δφ時(shí),投影儀圖像坐標(biāo)誤差Δup均將減小,因此三維重建誤差也將減小。

由式(7)可知,K的選擇與Δφmax直接相關(guān),因此綜合考慮條紋周期數(shù)K與相位誤差Δφ對(duì)于Δup影響。在K1滿足式(7)的約束條件下,K1取得最大值時(shí),投影儀圖像坐標(biāo)誤差Δup最小,此時(shí)K1的取值即為最優(yōu)的最高頻條紋周期數(shù)。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

采用標(biāo)準(zhǔn)三頻四步相移法,使用MATLAB生成1024 pixel×768 pixel分辨率的條紋光柵進(jìn)行仿真?；诔Ｓ脤?shí)驗(yàn)環(huán)境的基礎(chǔ)上,在生成的條紋光柵上添加T(f)值為0.886的離焦效應(yīng)。選取條紋光柵平均灰度值IA=135,條紋光柵調(diào)制灰度值IB=85。在經(jīng)過(guò)γ預(yù)畸變校正的基礎(chǔ)上,使用MATLAB生成最高頻條紋周期數(shù)K1從10～200的條紋光柵進(jìn)行仿真。

(11)

由式(7)可知,Δφmax與K直接相關(guān)。將Δφmax代入式(11),計(jì)算得到式(12):

(12)

圖2 仿真條件下最優(yōu)條紋周期數(shù)計(jì)算Fig.2 Calculation of the optimal number of fringe periods under simulation conditions

為更進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性,使用型號(hào)為Acer H7850的投影儀,投影分辨率為1024 pixel×768 pixel的條紋光柵進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。使用單個(gè)AVT的CCD相機(jī)進(jìn)行拍攝,相機(jī)型號(hào)為Manta-G505B,相機(jī)分辨率為2452 pixel×2056 pixel。采用標(biāo)準(zhǔn)三頻四步相移法。調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)平板與投影儀之間的距離和焦距,離焦效應(yīng)光學(xué)傳遞函數(shù)T(f)最終調(diào)整結(jié)果的概率最大值為0.886。令條紋光柵平均灰度值IA=135,條紋光柵調(diào)制灰度值IB=85,在經(jīng)過(guò)γ預(yù)畸變校正的基礎(chǔ)上,使用MATLAB生成最高頻條紋周期數(shù)從100～150的條紋光柵進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

圖3 實(shí)驗(yàn)條件下最優(yōu)條紋周期數(shù)計(jì)算Fig.3 Calculation of the optimal number of fringe periods under experimental conditions

4 分析與討論

為驗(yàn)證上述選擇的條紋周期數(shù)是否合理且檢測(cè)本文方法的測(cè)量精度,本文選擇四組不同的條紋周期數(shù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。第一組為常用的最高頻、次高頻、最低頻分別為70、64、59[14]的條紋周期數(shù)；第二組為最高頻、次高頻、最低頻分別為126、120、115的條紋周期數(shù)；第三組為經(jīng)本文方法優(yōu)化后的最高頻、次高頻、最低頻分別為136、130、125的條紋周期數(shù)；第四組為最高頻、次高頻、最低頻分別為146、140、135的條紋周期數(shù)。利用標(biāo)定好的結(jié)構(gòu)光三維測(cè)量系統(tǒng),采用標(biāo)準(zhǔn)三頻四步相移法進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)標(biāo)定數(shù)據(jù)解算三維點(diǎn)云。

使用標(biāo)準(zhǔn)平板進(jìn)行實(shí)驗(yàn),在解算出標(biāo)準(zhǔn)平板的三維點(diǎn)云后,對(duì)比分析點(diǎn)云數(shù)據(jù)封裝結(jié)果和點(diǎn)云數(shù)據(jù)最佳平面擬合結(jié)果的最大偏差和標(biāo)準(zhǔn)差,其數(shù)值如表1所示。

表1 標(biāo)準(zhǔn)平板的重建誤差分類Tab.1 Standard plate reconstruction error details

由表1可知,與第一組條紋周期數(shù)(傳統(tǒng)方法)相比,第二組、第三組(本文優(yōu)化方法)以及第四組條紋周期數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的正、負(fù)向最大誤差以及標(biāo)準(zhǔn)差均低于第一組條紋周期數(shù)的正、負(fù)向最大誤差以及標(biāo)準(zhǔn)差。其中,第三組條紋周期數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的標(biāo)準(zhǔn)差相較于第一組條紋周期數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的標(biāo)準(zhǔn)差,降低了44.4 %。

分析第二組、第三組以及第四組實(shí)驗(yàn)的條紋周期數(shù)可知,三組實(shí)驗(yàn)的條紋周期數(shù)相近。而應(yīng)用了本文優(yōu)化方法之后的第三組條紋周期數(shù),實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的正、負(fù)向最大誤差以及標(biāo)準(zhǔn)差均為三組條紋周期數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的最小值。

5 結(jié) 論

為了提高相位測(cè)量輪廓術(shù)的測(cè)量精度,本文提出了基于誤差模型的相位測(cè)量輪廓術(shù)條紋周期數(shù)優(yōu)化方法。首先建立相位測(cè)量輪廓術(shù)誤差模型,通過(guò)誤差模型計(jì)算出最大相位誤差。其次推導(dǎo)出最大相位誤差與條紋周期數(shù)之間的約束關(guān)系。最后根據(jù)最大相位誤差與條紋周期數(shù)的約束關(guān)系,求解最優(yōu)條紋周期數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明,本文所選取優(yōu)化后條紋周期數(shù)對(duì)比傳統(tǒng)方法條紋周期數(shù)的正、負(fù)向最大誤差以及標(biāo)準(zhǔn)偏差均有明顯下降。且經(jīng)本文優(yōu)化后的條紋周期數(shù),在與其相鄰的條紋周期數(shù)中的正、負(fù)向最大誤差以及標(biāo)準(zhǔn)偏差均為最小值。因此,本文所提方法能夠有效地求解相位測(cè)量輪廓術(shù)中所投影條紋光柵的最優(yōu)條紋周期數(shù),并提高相位測(cè)量輪廓術(shù)的測(cè)量精度。