錢大林 葉立軍

摘 ? ?要：一元二次函數(shù)是基本初等函數(shù)，是遷移學習其他多項式函數(shù)的基礎(chǔ). 為幫助學生實現(xiàn)從“知其然”到“何由以知其所以然”的理性思維的跨越，教師應立足教材和學情，通過問題驅(qū)動、特值導引、設定基本量、整體代換、關(guān)注結(jié)構(gòu)、學以致用等環(huán)節(jié)，循著學生思維發(fā)生、發(fā)展的“故事”，讓學生親歷對運算對象的理解過程，調(diào)動學生參與運算的積極性，從而提升其數(shù)學運算能力.

關(guān)鍵詞：函數(shù)求值;學生的“故事”;數(shù)學運算

運算能力是高中生應該具備的一種重要能力，也是數(shù)學運算核心素養(yǎng)中的關(guān)鍵內(nèi)容.在運算方面，學生的“故事”就是運算思維的具體呈現(xiàn)，是對運算對象的理解過程，也是對運算法則的使用和展開過程.要講好學生運算方面的“故事”，就是要講好優(yōu)秀運算思路的形成過程;就是要通過驅(qū)動性“問題鏈”，幫助學生自主辨析、獨立思考的過程;就是要發(fā)掘運算成果的“因子”，調(diào)動學生參與運算的積極性，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)的過程.當前針對數(shù)學運算方面問題的講評，缺少“對焦”學生的“真學情”“真水平”，忽視學生思維發(fā)生、發(fā)展的“故事”，難以實現(xiàn)從“知其然”到“何由以知其所以然”的理性思維的跨越.下面筆者以一道函數(shù)求值題的教學為例，立足講好學生的“故事”，從教學準備、教學實施及教學思考三方面談談經(jīng)驗.

一、教材及學情分析

（一）教材分析

本節(jié)課是人教A版（2019）普通高中教科書《數(shù)學》必修第一冊第二章第三節(jié)《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》的習題課.主要展示一道有關(guān)高次多項式函數(shù)的拓展探索題的解題過程.這既是對二次函數(shù)學習的鞏固，又是對一元二次函數(shù)學習的拓展遷移，還能對后續(xù)內(nèi)容（其他的函數(shù)、方程以及不等式）的學習起到承上啟下的作用.目的是讓學生在確保解答正確的基礎(chǔ)上，對代數(shù)式進行變形轉(zhuǎn)化，簡化運算，提升運算能力.

（二）學情分析

在本節(jié)課教學前，學生已經(jīng)會解答類題：已知[f（x）=ax2+bx+c ?（a<0）]，其中[a]，[b]，[c]為常數(shù).若[f（-1）=f（3）=0]，解不等式：[bx2+cx+a>0].學生能指出該題中“-1，3是關(guān)于[x]的方程[f（x）=0]的兩個根”，并且得到[f（x）=a（x+1）][（x-3）] ，從而獲得原不等式的解集.學生初步有了通過“同構(gòu)式”去構(gòu)造函數(shù)的活動體驗.當把問題拓展到四次多項式函數(shù)，并考查學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)時，筆者發(fā)現(xiàn)學生僅停留于代入消元的解題層次，對整體代換以及利用“同構(gòu)式”去構(gòu)造新函數(shù)的方法則使不上勁.檢測結(jié)果顯示該題的難度系數(shù)為0.21左右，學生的表現(xiàn)比預期要差許多.

（三）教學目標

1.能依據(jù)代數(shù)式的具體特征，合理變形轉(zhuǎn)化，優(yōu)化運算方法.

2.借助一道函數(shù)求值題的解題過程，體會問題解決的化歸思想和函數(shù)方程思想.

（四）教學重、難點

重點：運用“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)兩種方法求函數(shù)值.

難點：理解并掌握利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)的方法求函數(shù)值.

二、教學實施

（一） 問題驅(qū)動，引發(fā)學生深度思考

問題1 ? 設[f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，]其中[a]，[b]，[c]，[d]為常數(shù).如果[f（1）=10]，[f（2）=20]， [f（3）=30]，求[14[f（4）+f（0）]]的值.

學生根據(jù)條件[f（1）=10f（2）=20f（3）=30] ，容易得到間接條件[a+b+c+d=9? ? ? （1）8a+4b+2c+d=4 ? ? ? ?（2）27a+9b+3c+d=-51 ?（3）]，理解目標式[14[f（4）+f（0）]=][14（256+64a+16b+4c+2d）].接下來，學生只需要利用變形轉(zhuǎn)化，就可以實現(xiàn)目標對接.

教學說明：通過審題發(fā)現(xiàn)，本題需要打通兩個節(jié)點：第一，如何破解只提供三個方程四個未知數(shù)的方程組問題;第二，如何從二次多項式函數(shù)的交點式遷移到四次多項式函數(shù)的交點式，實現(xiàn)快速求值.通過問題驅(qū)動，引發(fā)學生深度思考.

（二） 特值導引，探尋運算路徑

問題2 ? 根據(jù)“問題1”中學生得到的間接條件（1）（2）（3），如何求64a+[16b+4c+2d]的值？

基于初中解方程組的經(jīng)驗，學生知道，通過三個方程是無法逐一確定四個未知量的具體值的.有學生說，可以用特值代入的方法嘗試：令[a=0]，通過代入消元，解得[b=-25]，[c=70]，[d=-36]，得到目標式[14[f（4）+f（0）]=][14（256+64a+16b+4c+2d）=16].

問題3 ? 我們總得有理由，為什么可以令[a=0]？類比之下，我們是否也可以令[a]，[b]，[c]，[d]四個量當中任何一個為特殊值0或1？如令[b=1]，請大家動手試試，結(jié)果又是如何？

通過計算，學生發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然為16.

教學說明：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達.”即教師要創(chuàng)設問題情境，通過追問，啟發(fā)學生積極思考，讓學生自主發(fā)現(xiàn)解題的線索，決不把最終結(jié)果端出來.在本題中，就是如何設定基本量、探尋降元路徑，幫助學生突破“四個未知數(shù)，只有三個方程”的認知難點.

（三）設定基本量，探尋降元路徑

問題4 ? 誰能揭示上述運算背后的道理？

由于多了一個未知量，多數(shù)學生認為要去掉一個為好，但不明白令[a=0]的真正原因.但令人高興的是，還是有學生發(fā)現(xiàn)該方程組[a+b+c+d=98a+4b+2c+d=427a+9b+3c+d=-51]不可能窮盡未知量所有的具體值，于是想到了把[a]當作基本量，通過降元，把原方程組轉(zhuǎn)化為三個未知量的方程組，解得[b=-25-6ac=70+11ad=-36-6a]，所以[14[f（4）+f（0）]=] [14（256+64a+16b+4c+2d）=16].

問題5 ? 請大家思考上述兩種不同的運算方法，你能發(fā)現(xiàn)這兩種運算路徑存在著的某種聯(lián)系嗎？

學生經(jīng)過比較后發(fā)現(xiàn)：令[a=0]的求值依據(jù)隱藏在[b=-25-6ac=70+11ad=-36-6a]步驟中.因此，用[a]，[b]，[c]等基本量表示是一條普適性的運算路徑.

教學說明：從特值代入，到為了降元設定基本量“[a]”，學生領(lǐng)悟到了[a]，[b]，[c]，[d]任意三個未知量均可以用第四個量來表示的理性認識.設定基本量可以讓所有的元素都聯(lián)系起來，實現(xiàn)了化簡求值的目的.如此，可讓學生的思維從具體理性走向一般理性.

（四）整體代換，力求整體化解決問題

問題6 ? 本題的求值運算，你還有補充的方法嗎？

經(jīng)過思考，學生想起了一道以前做過的類題：已知[f（x）=ax2+c]，且[-4≤f（1）≤-1]，

[-1≤f（2）≤5]，求[f（3）]的值.把[f（3）]整體表示為[f（3）=][83f（2）-53f（1）]，于是類比：令[f（4）+f（0）=][mf（1）+nf（2）+kf（3）]（m，n，k為常數(shù)），但發(fā)現(xiàn)待定的m，n，k的值找不到.

問題7 ? 在嘗試解決問題時，如果我們能聯(lián)想到更為簡單的類題，可以說離成功就不遠了.大家動手試一試，看看能否絕處逢生？

筆者與學生一起觀察，幫助其進一步理解運算對象：[f（4）+f（0）=256+64a+16b+4c+2d]，學生發(fā)現(xiàn)[64a+16b+4c+2d]是影響上述代數(shù)式取值的關(guān)鍵量.于是，令[64a+16b+4c+2d=][mf（1）+nf（2）+kf（3）]（m，n，k為常數(shù)），學生很快通過比較系數(shù)的方法得到m=4，n=-6，k=4，所以[64a+16b+4c+2d ][=][4f（1）-]

[6f（2）+4f（3）=64]，即[14[f（4）+f（0）]=16].

教學說明：學生領(lǐng)悟了用新的基本量[f（1）]， [f（2）]， [f（3）]表示目標式的合理性，鞏固并提升了學生用基本量進行多元表征的能力.

（五）關(guān)注結(jié)構(gòu)，探尋同構(gòu)化路徑

問題8 ? 請大家觀察下面兩組函數(shù)值，你能用一個等式來概括它們嗎？

（1）若[f（1）=1]，[f（2）=2]，[f（3）=3]，則[f（x）=]_______________.

（2）若[f（1）=10]，[f（2）=20]，[f（3）=30]，則[f（x）=]______________.

學生理解了題意， 并分別寫出：

（1）[f（x）=x，x∈1， 2， 3];（2）[f（x）=10x， x∈1， 2， 3]

問題9 ? 等式[f（x）=10x， x∈1， 2， 3]，好像在說什么話，大家能否換一種新的表達方式？

學生回答：1，2，3分別是關(guān)于x方程“同構(gòu)式”的三個不同實根.

問題10 ? 這一新的具體發(fā)現(xiàn)有何利用價值呢？

通過啟發(fā)并類比了一元二次函數(shù)的交點式，令[f（x）-10x=][（x-1）（x-2）（x-3）（x-t）]（[t]為方程的第四個根），則[f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-t）+10x]，所以[f（4）=64-6t]， [f（0）=6t]，代入得：原式=16.

教學說明：教師可以順勢揭示這些奇妙構(gòu)思的源頭，是基于相同結(jié)構(gòu)的式子[f（1）=10]，[f（2）=20]，[f（3）=30]，我們稱之為“同構(gòu)式”，并指出利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)的方法有利于解答一些復雜的問題.

（六）拓展思考，學以致用

問題11 ? 設[f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d]，其中[a]，[b]，[c]，[d]為常數(shù).如果[f（-1）=f（3）=0]，則[9（a+b）-3c+5d]的值為_________.

學生都能很快地理解題意，從同構(gòu)的角度，指出“-1，3是關(guān)于[x]的方程[f（x）=0]的兩個根”.于是將高次的代數(shù)式分解為兩個低次代數(shù)式的乘積，即[x4+ax3+bx2+cx+d=] [（x2-2x-3）（x2+mx+n）][（m， n∈R）]，展開后比較系數(shù)得[a=m-2，] [b=n-2m-3]，[c=-2n]

[-3m]，[d=-3n]，達到了[a]，[b]，[c]，[d]都用基本量m，n表示的目的，解得[9（a+b）-3c+5d=-45].

教學說明：教師應該至少有一兩次不僅要教會學生怎樣更簡便地解題，還要指出如何能從答案本身中去找出指向一個更簡便解法的線索[1].關(guān)注過程教學，堅持學為中心、自然生成[2]、學用結(jié)合的教學思路，有利于調(diào)動學生積極參與運算的熱情.

三、教學反思

（一）為什么要講好學生的“故事”

涉及學生現(xiàn)實問題的“故事”的學習一定是生動的學習.本節(jié)課通過引導學生求值運算思路發(fā)生、發(fā)展的“故事”，幫助學生親歷了運算對象[f（4）+f（0）]的理解過程，使其運算思路經(jīng)歷特值代入—基本量表示—整體化處理—同構(gòu)化構(gòu)造的優(yōu)化過程，生動、自然地化解了學生的學習困難，幫助學生領(lǐng)悟了數(shù)學算理，較好地提升了學生的數(shù)學運算能力.

（二）講好學生的什么“故事”

在數(shù)學運算方面，學生的“故事”就是學生對一個個運算對象和算理的理解過程，是學生對一個個運算法則使用的過程，也是學生對一個個運算思維進行優(yōu)化的過程.本節(jié)課以運用“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)兩種方法求函數(shù)值的學習為主線，以領(lǐng)悟化歸思想和函數(shù)方程思想為暗線，講了學生運算思維自然發(fā)生、發(fā)展的“故事”，學習了有關(guān)“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)的新方法，化解了學生在理解運算方法上的受阻點，突破了學生在求異思維上的理解難點，以幫助學生養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的運算習慣.

（三）怎么講好學生的“故事”

講好學生的“故事”，首先教師需要創(chuàng)設合適的教學情境，讓學生在情境中理解數(shù)學概念和運算法則，感悟數(shù)學命題的構(gòu)建過程，感悟問題的本原和數(shù)學表達的意義[3].數(shù)學中的數(shù)與式，因其符號的抽象性、概括性，往往給學生帶來比較大的“距離”感.本節(jié)課立足于學生的真實問題情境，為了把握方程組所蘊含的數(shù)學意義，從教學開始就順應“特值代入”的求值思路，經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程，幫助學生領(lǐng)悟“變形轉(zhuǎn)化”背后的方程思想.

其次，遵循“最近發(fā)展區(qū)”的原理，創(chuàng)設驅(qū)動性“問題鏈”.創(chuàng)設驅(qū)動性“問題鏈”，能有效激發(fā)學生參與數(shù)學運算的熱情.本節(jié)課通過“問題4”，幫助學生初步掌握了“基本量”表示的策略，即目標式[64a+16b+4c+2d]既可以用[a]（或[b]，[c]）等基本量表示，又可以用[f（1）]，[f（2）]，[f（3）]等基本量表示，深刻體會“基本量”法是數(shù)學運算中一條普適性的路徑.

再次，要發(fā)掘?qū)W生的成果“因子”，調(diào)動學生參與運算的積極性.針對解題技能和數(shù)學思想方法的教學，不能急于求成.教師要有足夠的耐心，給足學生思考的時間和空間.本節(jié)課，筆者從順應學生“特值代入”的思路開始，當學生在“想”與“算”的環(huán)節(jié)上有不完整甚至錯誤時，仍然肯定學生思維的成果“因子”，并且留足時間，通過追問，循序漸進地幫助學生抽象、概括“基本量”表示和利用“同構(gòu)式”構(gòu)造函數(shù)求值的方法.學生則用心、用情體驗了一系列運算思路的自然發(fā)現(xiàn)過程，感悟了運算路徑的自然加工過程、優(yōu)秀運算思路的自然生成過程.由此，筆者也順利調(diào)動了廣大學生參與運算的積極性.

學生的“故事”是鮮活的、寶貴的教學資源.教師應講好學生的“故事”，立足學生的真實問題情境，循著學生的思維發(fā)生、發(fā)展，診斷學生對運算對象的理解過程、運算思路的選擇優(yōu)化過程、錯誤思維的糾偏過程，幫助學生經(jīng)歷“想”與“算”的過程，深入理解算理，走出認知困境，形成數(shù)學思想和方法，讓數(shù)學運算成為學生的基本學習能力.

參考文獻：

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[3] 史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2018：10.