林偉成，曹文勝

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

眾所周知，秩為1的非緊致對稱空間分別是實雙曲空間、復(fù)雙曲空間、四元數(shù)雙曲空間及Cayley平面[1].Fuchs群和Klein群是分別作用在二維和三維實雙曲空間上的離散等距群，這些理論最初是由Poincare和Klein等在19世紀發(fā)展起來的.Fields獎獲得者Ahlfors、Thurston以及Wolf獎獲得者Sullivan等著名學(xué)者的工作，使得低維流形與復(fù)動力系統(tǒng)、Teichmuller空間、擬共形映射和Klein 群等領(lǐng)域的研究緊密聯(lián)系在一起.上世紀70年代，Goldman[2]、Kamiya[3]、Parker[4]等數(shù)學(xué)家開始研究復(fù)雙曲幾何，并得到一些深刻的結(jié)果.一維復(fù)雙曲空間實際上是二維實雙曲空間，所以復(fù)雙曲流形可以看作是雙曲黎曼面的一個自然的延伸.實雙曲空間可嵌入到復(fù)雙曲空間，復(fù)雙曲空間可嵌入到四元數(shù)雙曲空間.我們知道，實和復(fù)雙曲幾何的思想和方法可為四元數(shù)雙曲幾何的研究指明方向，這些關(guān)系使得四元數(shù)雙曲幾何理論越來越受到大家的關(guān)注.球模型是四元數(shù)雙曲空間中的基本模型，已在實和復(fù)雙曲空間上被深入研究，如Kamiya[5]研究了復(fù)雙曲空間中球模型與正則域的相交問題，但對四元數(shù)雙曲空間中球模型的研究目前還處在發(fā)展中，其中球模型的極限球以及由球模型引出的 Siegel域的極限球的性質(zhì)，沒有在相關(guān)文獻中出現(xiàn).本文主要通過四元數(shù)雙曲空間上的球模型引入雙曲空間的另一模型Siegel域，得到Siegel域上Busemann函數(shù)、等距球及極限球坐標等概念，得到四元數(shù)雙曲空間球模型與 Siegel域之間相關(guān)的多方聯(lián)系.本文定義兩模型中的極限球面，并通過Cayley溝通它們之間的對應(yīng)關(guān)系，以期為四元數(shù)雙曲幾何問題的研究提供模型基礎(chǔ).

1 四元數(shù)雙曲空間的球模型

2 四元數(shù)雙曲空間的Siegel域

由上面的映射S誘導(dǎo)的n+1維四元數(shù)向量空間的另一類Hermitian型：

圖1 與之間的聯(lián)系

類似式（1）定義Siegel域上的距離公式：

3 Siegel域上的Busemann函數(shù)和等距球

我們定義Siegel域上的Busemann函數(shù)[2]如下：

4 Siegel域上的極限球坐標

特別地

因此有

5 球模型和Siegel域的極限球面