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        梳理歸納,易錯(cuò)題不再錯(cuò)

        2021-12-03 10:26:33樂(lè)
        初中生世界 2021年17期
        關(guān)鍵詞:分析

        文 何 樂(lè)

        因式分解是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一,是同學(xué)們后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程以及二次函數(shù)的重要基礎(chǔ),是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。多項(xiàng)式因式分解有如下特點(diǎn):(1)分解的結(jié)果一定是積的形式;(2)每個(gè)因式必須是整式;(3)各因式要分解到不能分解為止。因式分解與整式乘法是兩種互逆變形,容易混淆,發(fā)生錯(cuò)誤。

        一、概念理解錯(cuò)誤

        例1觀察下列從左到右的變形:

        (1)-6a3b3=(2a2b)(-3ab2);

        (2)ma-mb+c=m(a-b)+c;

        (3)6x2+12xy+6y2=6(x+y)2;

        (4)(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2;

        其中是因式分解的有________(填序號(hào))。

        【錯(cuò)解】(1)(3)。

        【錯(cuò)因分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫作多項(xiàng)式的因式分解。(1)中-6a3b3不是多項(xiàng)式,不能進(jìn)行因式分解。

        【正解】(3)。

        例2因式分解:4a2-4a+1。

        【錯(cuò)解】4a2-4a+1=4a(a-1)+1。

        【錯(cuò)因分析】從錯(cuò)解的結(jié)構(gòu)來(lái)看,雖然第一項(xiàng)是積的形式,但整體上還是和的形式。錯(cuò)解曲解了因式分解的概念,誤認(rèn)為只要結(jié)果中有整式的積即可,忽視了分解的結(jié)果一定是積的形式這一要素。

        【正解】4a2-4a+1=(2a-1)2。

        二、提公因式錯(cuò)誤

        例3因式分解:-xy2+2xy-x。

        【錯(cuò)解】-xy2+2xy-x=-x(y2-2y)。

        【錯(cuò)因分析】多項(xiàng)式有公因式時(shí),先提取公因式,然后再運(yùn)用其他方法分解。本題中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是三項(xiàng),那么提取公因式后,項(xiàng)數(shù)仍應(yīng)該為三項(xiàng)。

        【正解】-xy2+2xy-x

        =-x(y2-2y+1)=-x(y-1)2。

        三、符號(hào)運(yùn)算錯(cuò)誤

        例4因式分解:2a(a-2b)+4b(2b-a)。

        【錯(cuò)解】2a(a-2b)+4b(2b-a)=(2a+4b)(a-2b)=2(a+2b)(a-2b)。

        【錯(cuò)因分析】找公因式時(shí),將(2b-a)轉(zhuǎn)化為相反數(shù)(a-2b)時(shí)符號(hào)出錯(cuò),當(dāng)一個(gè)數(shù)用相反數(shù)表示時(shí)要添加負(fù)號(hào)。

        【正解】2a(a-2b)+4b(2b-a)=(2a-4b)(a-2b)=2(a-2b)(a-2b)=2(a-2b)2。

        四、乘法運(yùn)算與因式分解混淆

        例5因式分解:4a2-36。

        【錯(cuò)解】4a2-36=4(a2-9)=4(a+3)(a-3)=4(a2-9)。

        【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解的最后一步與因式分解背道而馳,是整式乘法運(yùn)算。這種走“回頭路”的錯(cuò)誤現(xiàn)象很常見(jiàn),其原因是分不清整式乘法運(yùn)算與因式分解的概念,對(duì)分解到不能再分解為止的目標(biāo)不夠明確。

        【正解】4a2-36=4(a2-9)=4(a+3)(a-3)。

        五、分解不徹底

        例6因式分解:(x2+4)2-16x2。

        【錯(cuò)解】(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)。

        【錯(cuò)因分析】因式分解不徹底。結(jié)果中的兩個(gè)因式都是完全平方式,還可以繼續(xù)分解。

        【正解】(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x-2)2(x+2)2。

        六、分組分解錯(cuò)誤

        例7因式分解:x2-y2+1-2x。

        【錯(cuò)解】x2-y2+1-2x=(x+y)(x-y)+1-2x。

        【錯(cuò)因分析】從因式分解的定義看,把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫作多項(xiàng)式的因式分解。但錯(cuò)解的結(jié)果仍然是和的形式,我們應(yīng)該先觀察多項(xiàng)式的特征,先合并局部分解,再對(duì)整體分解。

        【正解】x2-y2+1-2x=x2-2x+1-y2=(x-1)2-y2=(x+y-1)(x-y-1)。

        因式分解問(wèn)題應(yīng)首先考慮能否提公因式,找公因式應(yīng)從系數(shù)、字母和字母的指數(shù)三個(gè)方面分別考慮。沒(méi)有公因式或提公因式后,再根據(jù)項(xiàng)數(shù)考慮公式法:兩項(xiàng)則考慮是否可用平方差公式;三項(xiàng)則考慮是否可用完全平方公式;三項(xiàng)以上則應(yīng)考慮使用分組分解法。最后再?gòu)囊蚴椒纸獾娜齻€(gè)特點(diǎn)逐一檢查。

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