■呂利青 張文偉

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,也是高考的?？純?nèi)容。同學(xué)們要理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念與運(yùn)算性質(zhì),掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì);理解對數(shù)的概念與運(yùn)算性質(zhì),掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。要學(xué)會用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題,要掌握函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)模型的應(yīng)用。

題型1:指數(shù)冪中的條件求值問題

求解此類問題應(yīng)注意分析已知條件,通過將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等),尋找已知式和待求式的關(guān)系,可考慮使用整體代換法。

例1 已知x+y=12,xy=9,且x

題型2:指數(shù)函數(shù)的概念問題

解決指數(shù)函數(shù)問題,要注意底數(shù)大于0且不等于1這一條件。已知指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的方法:依據(jù)指數(shù)函數(shù)形式列方程或不等式,通過解方程或不等式獲解。

例2 若y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),則( )。

A.a=1或a=2 B.a=1

C.a=2 D.a>0且a≠1

題型3:指數(shù)函數(shù)的圖像問題

解答與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖像問題,只需利用指數(shù)函數(shù)的圖像作平移變換或?qū)ΨQ變換即可,值得注意的是作圖前要探究函數(shù)的定義域和值域,掌握圖像的大致趨勢。利用熟悉的函數(shù)圖像作圖,主要運(yùn)用圖像的平移、對稱等變換,但平移要注意平移的方向和平移的單位。

(1)f(x-1)的圖像:將函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個單位長度得f(x-1)的圖像(圖略)。

(2)-f(x)的圖像:由f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱得-f(x)的圖像(圖略)。

(3)f(-x)的圖像:由f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱得f(-x)的圖像(圖略)。

由圖可知,此函數(shù)有三個重要性質(zhì):①對稱性,圖像的對稱軸為直線x=1;②單調(diào)性,在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞)。

題型4:指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域問題

形如y=af(x)的函數(shù)的定義域就是f(x)的定義域。求形如y=af(x)的函數(shù)值域:先求出f(x)的值域,再由函數(shù)的單調(diào)性可求出af(x)的值域,若a的取值范圍不確定,則需對a進(jìn)行分類討論。求形如y=f(ax)的函數(shù)值域:先求出u=ax的值域,再結(jié)合y=f(u),求出y=f(ax)的值域。

題型5:對數(shù)函數(shù)的概念問題

在對數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=logax中,logax的系數(shù)必須為1,真數(shù)必須為x,底數(shù)a必須是大于0且不等于1的常數(shù)。

例5 指出下列函數(shù)中,哪些是對數(shù)函數(shù)。

提示:形如y=logax(a>0,且a≠1)的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)。應(yīng)選A。

題型6:與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題

求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題應(yīng)遵循的原則:(1)分母不能為0;(2)根指數(shù)為偶數(shù)時,被開方數(shù)非負(fù);(3)對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1。

例6 求下列函數(shù)的定義域。函數(shù)的定義域是{x|x>1,且x≠2}。

(2)要使此函數(shù)有意義,需滿足16-4x>0,解得x<2,所以此函數(shù)的定義域是{x|x<2}。

題型7:對數(shù)型函數(shù)的圖像問題

若函數(shù)y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的圖像過定點(diǎn),則令f(x)=1,即得定點(diǎn)為(x,m)。給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖像的方法:(排除法)首先,考慮函數(shù)對應(yīng)的基本初等函數(shù)是哪一種;其次,找出函數(shù)圖像的特殊點(diǎn),判斷函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域、單調(diào)性以及奇偶性);最后,綜合上述幾個方面將圖像選出。根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像判斷底數(shù)大小的方法:作直線y=1與所給圖像相交,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個底數(shù),根據(jù)在第一象限內(nèi),自左向右,圖像對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大,即可比較底數(shù)的大小。

例7 在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=2-x與y=log2x的圖像是( )。單調(diào)遞減,函數(shù)y=log2x過定點(diǎn)(1,0)且單調(diào)遞增。應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練7:已知函數(shù)y=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的圖像,如圖3所示。

(1)求實(shí)數(shù)a與b的值。

(2)函數(shù)y=loga(x+b)與y=logax的圖像有何關(guān)系?

提示:(1)由圖可知,圖像過點(diǎn)(-3,0),(0,2),所以0=loga(-3+b),2=logab,解得a=2,b=4。

(2)函數(shù)y=loga(x+4)的圖像可以由y=logax的圖像向左平移4個單位得到。

題型8:不同函數(shù)增長的差異問題

不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn):(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律;(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇變化的規(guī)律;(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩變化的規(guī)律;(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律。

例8 某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵招生人員的獎勵方案:在生源利潤達(dá)到5萬元時,按生源利潤進(jìn)行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨生源利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過3 萬元,同時獎金不超過利潤的20%。現(xiàn)有三個獎勵模型,即y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪個模型符合該校的要求?

解:作出函數(shù)y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的圖像(如圖4所示)。

圖4

由圖可知,在區(qū)間[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的圖像都有一部分在直線y=3的上方,只有y=log5x的圖像始終在y=3和y=0.2x的下方,這說明只有按模型y=log5x進(jìn)行獎勵才符合學(xué)校的要求。

跟蹤訓(xùn)練8:三個變量y1,y2,y3,隨著自變量x的變化情況如表1所示。

x 1 3 5 7 9 11___y1 5 135 625 1715 3645 6655_y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.1 6.61 6.985 7.2 7.4___

則關(guān)于x分別呈對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù),冪函數(shù)變化的變量依次為( )。

A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3

C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2

提示:由指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù)三種不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知,對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢,變量y3隨x的變化符合此規(guī)律;指數(shù)函數(shù)的增長速度成倍增長,y2隨x的變化符合此規(guī)律;冪函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,y1隨x的變化符合此規(guī)律。應(yīng)選C。

題型9:用二分法求方程的近似解問題

二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),直至找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)。二分法求方程近似解的適用范圍:在包含方程解的一個區(qū)間上,函數(shù)圖像是連續(xù)的,且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號。求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時,若要求的精確度不同,則得到的結(jié)果也不相同。

例9 在用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值時,第一次所取的區(qū)間是[-2,4],則第三次所取的區(qū)間可能是( )。

解:由于第一次所取的區(qū)間為[-2,4],所以第二次所取區(qū)間為[-2,1]或[1,4],第

跟蹤訓(xùn)練9:用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值時,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用計(jì)算器得到表2。

x 1.00 1.25 1.375 1.50__f(x)1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989

由表中的數(shù)據(jù)可得方程ln(2x+6)+2=3x的一個近似解(精確度為0.1)為( )。

A.1.125 B.1.3125

C.1.4375 D.1.46875

提示:由f(1.25)·f(1.375)<0,再根據(jù)二分法知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi),但區(qū)間(1.25,1.375)的長度為0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中點(diǎn)1.3125,則兩個區(qū)間(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一個滿足區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號相異。因?yàn)閰^(qū)間的長度為0.0625<0.1,因此1.3125 是一個近似解。應(yīng)選B。

題型10:判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間問題

判斷一個函數(shù)是否有零點(diǎn),要看函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是否連續(xù),若連續(xù),且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn)。對于連續(xù)函數(shù)f(x),若存在f(a)·f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),若只有一個零點(diǎn),則稱此零點(diǎn)為變號零點(diǎn),反過來,若f(a)與f(b)不變號,而是同號,即不滿足f(a)·f(b)<0,也不能說函數(shù)在(a,b)內(nèi)無零點(diǎn),如函數(shù)f(x)=x2,f(-1)·f(1)=1>0,但0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。

例10 若a

A.(a,b)和(b,c)內(nèi)

B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)

C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)

D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)

解:由f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a),可得f(a)=(ab)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b)。由a0,f(b)<0,f(c)>0,可知f(x)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi)。應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練10:根據(jù)表3中的數(shù)據(jù),可以判斷方程ex-x-2=0的一個解所在的最小區(qū)間為_____。

x -1 0 1 2 3__ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5__

提示:解題的關(guān)鍵是判斷ex與x+2 的差的符號。構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-2,將求方程ex-x-2=0的解所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)問題。由表中數(shù)據(jù)知f(-1)=0.37-1=-0.63,f(0)=1-2=-1,f(1)=2.72-3=-0.28,f(2)=7.39-4=3.39,

f(3)=20.09-5=15.09。由此可得f(1)·f(2)<0,可知此方程一個解所在的最小區(qū)間為(1,2)。

題型11:判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題

判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法:(1)直接求出函數(shù)的零點(diǎn);(2)結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行判斷;(3)借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,且在區(qū)間(a,b)上單調(diào),滿足f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有且僅有一個零點(diǎn)。

A.0 B.1

C.2 D.3

解:(方法1)方程x+2=0(x<0)的根為x=-2,方程x2-1=0(x>0)的根為x=1,所以函數(shù)f(x)有2個零點(diǎn)。應(yīng)選C。

圖5

由圖可知,f(x)的圖像與x軸有2個交點(diǎn),即函數(shù)f(x)有2個零點(diǎn)。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練11:已知0

A.1 B.2

C.3 D.4

提示:函數(shù)y=a|x|-|logax|(0

的零點(diǎn)個數(shù)即方程a|x|=|logax|(0

由圖可知,函數(shù)f(x)=a|x|(0

題型12:函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題

函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要是利用函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)知識求參數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍。解答這類問題,可設(shè)出方程對應(yīng)的函數(shù),根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間分析區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號,建立方程或不等式求解,當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時,要注意分類討論。

例12 已知關(guān)于x的方程x2-2ax+4=0,在下列條件下,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(1)一個根大于1,一個根小于1。

(2)一個根在(0,1)內(nèi),另一個根在(6,8)內(nèi)。

題型13:函數(shù)模型的應(yīng)用及數(shù)學(xué)建模問題

兩種常用的函數(shù)模型:指數(shù)型函數(shù)模型,即y=a·bx+c(a,b,c為常數(shù),b>0且b≠1,a≠0);對數(shù)型函數(shù)模型,即y=alogbx+c(a,b,c為常數(shù),b>0 且b≠1,a≠0)。用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程如下:

例13 設(shè)在海拔xm 處的大氣壓強(qiáng)是yPa,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=cekx,其中c,k為常量。已知某地某天海平面上的大氣壓為1.01×105Pa,1000m 高空的大氣壓為0.9×105Pa,求600m 高空的大氣壓強(qiáng)(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。

解:將x=0,y=1.01×105和x=1000,y=0.9×105分別代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=cekx中

跟蹤訓(xùn)練13:某蔬菜基地種植青瓜,由歷年市場行情得知,從4 月1 日起的300 天內(nèi),青瓜的種植成本Q(萬元)與上市時間t(天)的關(guān)系如表4所示。

種植成本Q(萬元) 150 100_上市時間t(天) 50 150_

模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)Q=a(t-150)2+b(a,b為常數(shù),且a≠0),或一次函數(shù)Q=kt+m(k,m為常數(shù),且k≠0)。已知種植成本Q=112.5(萬元)時,上市時間t=200(天),則用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?請說明理由。