■歐陽亮

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的考查重點(diǎn)。下面舉例分析指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的常見題型,供大家學(xué)習(xí)與提高。

題型1:根據(jù)函數(shù)判斷圖像

例1 已知1>n>m>0,則指數(shù)函數(shù):①y=mx,②y=nx的圖像為( )。

解:由0

評注:識別函數(shù)圖像可從以下幾個(gè)方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖像的左右位置,從函數(shù)的值域,判斷圖像的上下位置;(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖像的變化趨勢;(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖像的對稱性;(4)從函數(shù)的周期性,判斷圖像的循環(huán)往復(fù);(5)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖像。

題型2:函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)

例2 函數(shù)f(x)=ax-2021+2022(a>0,且a≠1)恒過的定點(diǎn)為____。

解:函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)(0,1)。令x-2021=0 得x=2021,所以f(2021)=1+2022=2023。故函數(shù)f(x)=ax-2021+2022(a>0,且a≠1)恒過定點(diǎn)為(2021,2023)。

評注:本題也可令a=2和a=4,得到兩個(gè)關(guān)于x,y的方程,解出方程組可得圖像經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)。

題型3:求參數(shù)的取值范圍

例 3 若 分 段 函 數(shù)f(x)=

解:當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù),在[-1,+∞)上是減函數(shù),則函數(shù)f(x)在R 上不是單調(diào)函數(shù),可知a>1 不合題意;當(dāng)0

評注:對數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含有參數(shù),解題時(shí)要注意分類討論,且分類要全面,做到不重不漏。

題型4:利用圖像比較大小

例4 已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式2a=3b,給出下列五個(gè)關(guān)系式:①0

解:在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)=2x,g(x)=3x的圖像,如圖1所示。

圖1

由圖可知,當(dāng)直線AB位于y=1 下方時(shí),交點(diǎn)A,B的函數(shù)值相等(2a=3b),但a

評注:比較指數(shù)式的大小的兩種方法:當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解;當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí),利用一個(gè)中間量做比較進(jìn)行求解,或借助于同一坐標(biāo)系中的圖像求解。

題型5:指數(shù)函數(shù)圖像的平移變換

例5 為了得到函數(shù)y=ex-3+1 的圖像,只需把函數(shù)y=ex的圖像上所有的點(diǎn)( )。

A.向左平移3個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度

B.向右平移3個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度

C.向左平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度

D.向右平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度

解:函數(shù)y=ex的圖像向右平移3 個(gè)單位長度到得函數(shù)y=ex-3的圖像,再向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y=ex-3+1的圖像。應(yīng)選A。

評注:把y=f(x)的圖像向左平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x+a)的圖像;把y=f(x)的圖像向右平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x-a)的圖像;把y=f(x)的圖像向上平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)+a的圖像;把y=f(x)的圖像向下平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)-a的圖像。

題型6:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的增區(qū)間為(-∞,1],所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-∞,1]。

評注:求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題,要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí),都要借助“同增異減”的法則進(jìn)行判斷。

1.若函數(shù)y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限,則一定有( )。

A.00

B.a>1,且b>0

C.0

D.a>1,且b<0

圖2