摘 ?要：針對傳統(tǒng)馬爾可夫模型存在隨機擾動和可靠性比較低的缺點，該文建立了基于改進馬爾可夫模型。該模型先用無偏灰色模型擬合系統(tǒng)的總體變化趨勢，然后對擬合殘差進行馬爾可夫狀態(tài)劃分，進而對轉(zhuǎn)移矩陣?yán)脵?quán)重進行加權(quán)處理，最后得到加權(quán)后的馬爾可夫模型，利用此模型對基坑沉降進行預(yù)測研究。將該模型用于深基坑沉降預(yù)測工程實例，實例結(jié)果表明：基于改進馬爾可夫模型解決了深基坑沉降預(yù)測的隨機擾動，同時也增加了預(yù)測模型的可靠性，有效提高了深基坑中、長期預(yù)測的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：灰色模型 ? 無偏灰色 ? 改進馬爾可夫 ? 狀態(tài)區(qū)間 ? 深基坑沉降預(yù)測

中圖分類號：T73 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3791（2021）08（c）-0034-04

Study on Settlement Prediction of Deep Foundation Pit Based on Improved Markov Model

LYU Xianmeng

（Fuzhou Investigation and Surveying Institute， Fuzhou， Fujian Province， 350100 ?China）

Abstract： Aiming at the shortcomings of traditional Markov Model， such as random disturbance and low reliability， an improved Markov Model is established in this paper. Firstly， the unbiased grey model is used to fit the overall change trend of the system， and then the fitting residual is divided into Markov states. According to the weight of each order， the transfer matrix of different steps is weighted， and the weighted Markov Model is used to predict. The model is applied to the engineering example of deep foundation pit settlement prediction. The results show that the Improved Markov Model solves the random disturbance of deep foundation pit settlement prediction， increases the reliability of prediction model， and effectively improves the stability of medium and long-term prediction of deep foundation pit.

Key Words： Grey model; Unbiased grey; Improved Markov Model; State interval; Settlement prediction of deep foundation pit

隨著城市建設(shè)進度的日益加快，深基坑沉降預(yù)測對確保工程的順利進行尤為重要。深基坑的沉降預(yù)測傳統(tǒng)的方法有灰色系統(tǒng)理論[1]、小波分析法[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3]和時間序列法[4]等。馬爾可夫鏈適用于處理隨機波動較大的序列[5]，灰色模型可以擬合系統(tǒng)的整體發(fā)展趨勢[6]。灰色馬爾可夫模型取兩者優(yōu)點，提高了沉降預(yù)測的精度，并在深基坑沉降預(yù)測中具有很好的效果。但此方法的缺點是隨著時間的推移，老數(shù)據(jù)的新息意義將逐步降低，未來的一些抗干擾因素將不斷地侵入系統(tǒng)并產(chǎn)生影響，模型的精度會降低，不利于中、長期深基坑沉降預(yù)測。該文采用基于改進馬爾可夫預(yù)測模型是在馬爾可夫模型上進行的模型改進，利用無偏灰色模型建模步驟簡單、模型計算速度快等特點，用無偏灰色模型預(yù)測基坑時間序列的總體變化趨勢，消除傳統(tǒng)灰色模型對指數(shù)序列建模中的固有偏差。為進一步提高深基坑沉降預(yù)測的預(yù)測精度，對轉(zhuǎn)移矩陣加權(quán)處理，用改進后的馬爾可夫模型進行預(yù)測。

1 ?基于改進的馬爾可夫預(yù)測模型

1.1 建立加權(quán)馬爾可夫模型

計算各階權(quán)重wk和自相關(guān)系數(shù)rw。

為了正確反映各階（各種步長）對馬爾可夫鏈預(yù)測值的影響權(quán)重，權(quán)值大小采用灰擬合精度指標(biāo)Y（k）的各階自相關(guān)系數(shù)來反映，即

（1）

對各階自相關(guān)系數(shù)作歸一化處理，得到各階權(quán)重：

（2）

對不同步長的轉(zhuǎn)移矩陣按所求取的權(quán)重大小進行加權(quán)處理，進而求得到新的概率分布，具體如下：

（3）

由式（2）可求取在狀態(tài)空間E中的所有狀態(tài)的概率值，由這些狀態(tài)的概率值進一步形成新的概率分布P={pi│i∈E}。

1.2 預(yù)測值的計算求取

系統(tǒng)未來狀態(tài)的轉(zhuǎn)向Ei由pi中最大的概率值來確定，進一步求取預(yù)測值的變動區(qū)間[E1i，E2i]，由預(yù)測值的變動區(qū)間的中點值即為預(yù)測值，具體如下：

（4）

2 ?實例驗證分析

案例選自某地基坑監(jiān)測工程“Z70”監(jiān)測點觀測值。將監(jiān)測點觀測數(shù)據(jù)的前28期為樣本，進行模型構(gòu)建，進行預(yù)測，并將預(yù)測值與后4期數(shù)據(jù)進行對比，驗證該文提出的改進馬爾可夫模型在深基坑沉降預(yù)測研究中的有效性。

基坑沉降具有先快后慢的特點，即在剛開始的一段時間內(nèi)基坑沉降的速度比較快，但隨著時間的推移，基坑沉降速度會逐漸變緩。結(jié)合該基坑的實際情況，對需要建模的前28期的基坑沉降數(shù)據(jù)，利用平均緩沖算子進行預(yù)處理：

（5）

由上式計算可得：

根據(jù)無偏預(yù)測模型定義，求，可知：A=15.95312083894797，E= 0.01578644418077761。代入式（7）可知無偏灰色預(yù)測模型為：

（8）

根據(jù)無偏灰色擬合殘差來劃分為劃分3種狀態(tài)區(qū)間，具體情況見表1。選取相對誤差閾值分別為0.90、0.95、1.03和1.08，可得：

狀態(tài)1：E11=0.90×E21=0.95×

狀態(tài)2：E12=0.95×E22=1.03×

狀態(tài)3：E13=1.03×E23=1.08×

根據(jù)相對誤差的閾值可得到系統(tǒng)的狀態(tài)一次轉(zhuǎn)移次數(shù)統(tǒng)計表，具體見表2。

由表2得一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

（9）

利用切普曼-科爾莫哥方程，計算求取得2階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和3階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：

（11）

由式（1）求取各階自相關(guān)系數(shù)分別為：r1=0.86，r2=0.70，r3=0.53。

由式（2）進行歸一化處理，求取各階權(quán)重分別為：w1=0.41，w2=0.34，w3=0.26。則整個深基坑沉降預(yù)測的過程參數(shù)見表3。

對表3中各狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進行加權(quán)求和，得到需求量的各狀態(tài)概率：p1=0.74，p2=0.23，p3=0.0146。故max（p1，p2，p3）=p1=0.74，分別利用無偏灰色預(yù)測模型和改進馬爾可夫預(yù)測模型依次求取第29期、30期、31期和第32期的改進馬爾可夫預(yù)測值。將29～32期的實測值與灰色預(yù)測值和改進馬爾可夫基坑沉降預(yù)測值進行比較，相對誤差具體見表4。

3 ?結(jié)語

該文在傳統(tǒng)的深基坑沉降預(yù)測模型的理論基礎(chǔ)上，提出基于改進馬爾可夫預(yù)測模型，消除傳統(tǒng)灰色模型對指數(shù)序列建模中的固有偏差。將此方法應(yīng)用到深基坑沉降預(yù)測中取得了比較滿意的結(jié)果，結(jié)論如下。

（1）灰色預(yù)測模型自身最大的特點就是可以通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測，這種特點使得灰色模型廣泛的應(yīng)用于基坑沉降預(yù)測中來。但是灰色系統(tǒng)自身存在的一些缺點制約了其更深層次的運用，會導(dǎo)致預(yù)測模型的穩(wěn)定性不足和預(yù)測結(jié)果精度降低。

（2）該文通過利用改進馬爾可夫預(yù)測模型進行深基坑沉降預(yù)測實例驗證，通過結(jié)果進行對比分析可知，改進馬爾可夫預(yù)測模型可以提高深基坑沉降預(yù)測的精度。

（3）通過選取相對誤差進行對比分析，可以看出改進馬爾可夫模型預(yù)測精度明顯高于傳統(tǒng)灰色模型和無偏灰色模型，在長時間、多周期的基坑沉降預(yù)測中是一種實用且有效的方法。

參考文獻

[1] 彭廣民.基于對數(shù)、正弦變換優(yōu)化的灰色模型預(yù)測基坑沉降[J].測繪技術(shù)裝備，2021，23（1）：28-31.

[2] 靳祠.基坑變形監(jiān)測預(yù)測模型的建立與運用[D].成都：成都理工大學(xué)，2016.

[3] 谷彥斐.基于GA-PSO組合優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的基坑變形預(yù)測研究[D].青島：山東科技大學(xué)，2020.

[4] 徐爽，孫陽，肖敬宇，等.一種監(jiān)測基坑變形的灰色時序組合模型研究[J].測繪與空間地理信息，2019，42（11）：228-232.

[5] ZHAO R.Forecast of US Retirement Assets Using Unbiased Grey-Fuzzy-Markov Chain Method[C]//2015 4th International Conference on Computer Science and Network Technology （ICCSNT）.IEEE，2015，1：568-573.

[6] YANG Y，ZENG J，WANG J，et al.Prediction of Chinese Financial Total Loan Amount via Unbiased Grey-Fuzzy-Markov Chain Method[C]//2015 8th International Symposium on Computational Intelligence and Design （ISCID）.IEEE，2015，2：388-391.

作者簡介：呂賢錳（1986—），男，本科，中級工程師，研究方向為城市工程測量。