馬 艷，趙飛燕，姚 曦

(1.寧夏師范學院 物理與電子信息工程學院 納米結(jié)構(gòu)及功能材料工程技術(shù)研究中心，寧夏 固原 756000；2.陜西師范大學 物理與電子信息技術(shù)學院，西安 710062)

超聲空化試驗發(fā)現(xiàn)，聲場中的氣泡并不是均勻存在，而是形成一些穩(wěn)定的氣泡結(jié)構(gòu)[1]，這些氣泡結(jié)構(gòu)甚至能夠存在數(shù)秒，關(guān)于聲場中氣泡如何形成這樣的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，目前理論上不清楚，但是，氣泡之間的相互作用力是其形成的主要原因[2-4]，聲場中氣泡之間的相互作用力主要是指次Bjerknes力，是由兩個相鄰氣泡之中的某一個氣泡產(chǎn)生的“第二聲場”使兩個氣泡之間產(chǎn)生的作用力。自次Bjerknes力發(fā)現(xiàn)之后，Crum[5]、Oguz等[6]和Mettin等[7]分別進行了有意義的研究工作，得到了氣泡線性振動和非線性振動下，氣泡之間次Bjerknes力的相關(guān)規(guī)律，為聲場中氣泡之間的相互作用提供了理論基礎(chǔ)[8-10]，但是他們的研究都是建立在平面聲場中[11-12]，而超聲反應(yīng)器中，由于反應(yīng)器尺寸一定，所以不可避免的在超聲反應(yīng)器中會形成駐波聲場[13]，駐波聲場中氣泡之間的相互作用力具有什么樣的特征，對空化氣泡的振動特性及氣泡結(jié)構(gòu)產(chǎn)生什么樣的影響，這些問題是研究超聲反應(yīng)器中氣泡空化效應(yīng)的重要因素，也是研究超聲反應(yīng)器應(yīng)用的重要途徑。

本文基于Mettin等關(guān)于次Bjerknes力的基本理論，研究了超聲反應(yīng)器駐波聲場中兩個氣泡的振動特征和兩個氣泡之間的次Bjerknes力的特征及影響因素，為駐波聲場中泡群形成的氣泡結(jié)構(gòu)和空化效應(yīng)提供了理論依據(jù)，也為超聲反應(yīng)器的應(yīng)用提供了相關(guān)理論。

1 駐波聲場中雙氣泡動力學方程

超聲反應(yīng)器中，入射聲波可表示為

Pi=PAej(ωt-kx)

(1)

式中：PA為聲壓幅值；ω為聲波角頻率；k為聲波波數(shù)；x為聲場中的位置。假設(shè)入射聲波在超聲反應(yīng)器中完全反射，根據(jù)聲波的疊加原理，合成聲場為駐波聲場，合成聲壓可表示為

Pdr=2PAcoskxejωt

(2)

如果聲場中的兩個氣泡在振動的過程中仍然保持球形，則氣泡振動的動力學方程可以用Keller-Miksis方程[14]來表示，具體形式為

(3)

(4)

式中：R1和R2分別為任意時刻氣泡1、氣泡2的半徑；d為兩個氣泡之間的距離；ρ為液體的密度；c為液體中的聲速；Ps1可表示為

(5)

式中：P0為液體的靜壓力；σ為液體的表面張力；ν為液體的黏滯系數(shù)；γ為氣體絕熱壓縮系數(shù)。聲場中，兩個氣泡之間的相互作用力通常稱為次Bjerknes力，可表示為

(6)

式中：〈〉為時間平均；F12為氣泡1受到氣泡2的作用力；V1和V2分別為氣泡1、氣泡2的體積，為了方便描述次Bjerknes力的方向，通常引入次Bjerknes力系數(shù)，其定義為

(7)

fB的正負代表了氣泡之間的力為吸引力或者排斥力，如果fB>0，則兩個氣泡相互吸引，如果fB<0，則兩個氣泡相互排斥。

2 駐波聲場中氣泡的非線性振動與氣泡之間的相互作用

本文的主要研究結(jié)果是基于雙空化氣泡的耦合振動方程式(3)和式(4)得到的，式(3)、式(4)分別是基于氣泡1、氣泡2半徑的二階非線性常微分方程，可通過數(shù)值迭代法得到它們的數(shù)值解[15-16]。本文采用的是軟件MATLAB中基于四階五級Runge-Kutta變步長算法，這種算法能夠采用誤差作為檢測指標的閉環(huán)控制，既保證有較高的運算速度和計算精度，也能保證預(yù)期的數(shù)值穩(wěn)定性[17]，是求解氣泡非線性常微分方程數(shù)值解的重要方法。數(shù)值模擬中，氣泡1、氣泡2半徑的二階常微分方程的初始條件為R1(t=0)=R10,R2(t=0)=R20, dR1/dt(t=0)=0，dR2/dt(t=0)=0。

在下面的數(shù)值模擬中，我們假設(shè)兩個氣泡之間的距離保持不變，只考慮入射波實部對氣泡的影響，在此基礎(chǔ)上我們分別研究了入射波聲壓振幅為0.9×105Pa，驅(qū)動頻率20 kHz的平面波聲場和駐波聲場中初始半徑為2 μm的氣泡的最大半徑隨聲場位置的變化關(guān)系，如圖1所示。圖1中，曲線Ⅰ、曲線Ⅱ分別為駐波聲場和平面聲場中氣泡最大半徑隨聲場位置的變化曲線，數(shù)值模擬結(jié)果表明在駐波聲場中，由于入射聲波和反射聲波的疊加，在不同的位置處，會出現(xiàn)驅(qū)動聲壓振幅的不同，不同位置處氣泡的收縮振動和氣泡的初始位置有關(guān)，處于駐波聲場的聲壓波腹x=0，x=0.037，x=0.074(0，1/2聲波長，1個聲波長)附近的氣泡能夠做劇烈的收縮振動，氣泡在聲壓波腹處的最大振動半徑能夠達到初始半徑的42.72倍。而同樣初始半徑的氣泡在平面聲場中，由于驅(qū)動聲壓振幅與聲場中的位置無關(guān)，因而氣泡在整個收縮擴張過程中如曲線Ⅱ所示，不同位置處的氣泡在收縮振蕩過程中，氣泡的最大擴張半徑均相同，在驅(qū)動聲壓振幅為0.9×105Pa時，整個平面聲場中一個驅(qū)動周期內(nèi)，氣泡的最大半徑只有初始半徑的1.41倍左右，說明小振幅驅(qū)動的平面聲場中，氣泡只在初始半徑周圍做微弱的收縮振動，不發(fā)生劇烈的收縮潰滅現(xiàn)象。上述研究結(jié)果表明：駐波聲場中，由于聲波的疊加，使聲場中出現(xiàn)了聲壓振幅的變化，造成了聲場的不均勻性，但也是由于聲壓的疊加，使小振幅驅(qū)動下在聲壓振幅極大值位置處的氣泡能夠劇烈振動，產(chǎn)生劇烈的空化效應(yīng)。

圖1 氣泡1的徑向振動與氣泡位置的關(guān)系曲線

當驅(qū)動頻率為20 kHz 時，駐波聲場和平面聲場中，x=1/50 聲波長，初始半徑為2 μm，相距200 μm 的兩個氣泡組成的氣泡對中氣泡1的Rmax/Rmin隨聲壓振幅的變化曲線, 如圖2所示。Rmax/Rmin反映了氣泡的能量轉(zhuǎn)換能力[18]，對比可以看出，同樣的入射波聲壓振幅下，駐波聲場中的氣泡在聲壓波腹附近具有更好的能量轉(zhuǎn)換能力，能夠在小振幅入射聲壓振幅下做劇烈的非線性振動，例如：當入射聲壓振幅只有0.85 Pa時，駐波聲場中氣泡的Rmax/Rmin即可達到89.09，而同樣的入射聲壓下，平面聲場中氣泡的Rmax/Rmin只有1.467，此時的氣泡只做微弱的收縮振動。駐波聲場中，氣泡能量轉(zhuǎn)換能力的增強，源于駐波聲場中，由于反應(yīng)器的反射，使反應(yīng)器部分區(qū)域的驅(qū)動聲壓振幅加倍，從而使氣泡的非線性振動加強，但是數(shù)值模擬結(jié)果表明：在駐波聲場中，氣泡雖然能夠在小振幅驅(qū)動聲壓下實現(xiàn)良好的能量轉(zhuǎn)換能力，但仍然對驅(qū)動聲壓振幅有一定的要求。在上述條件下，我們發(fā)現(xiàn)當驅(qū)動聲壓振幅低于0.65×105Pa以下,氣泡在駐波聲場中波腹位置處不能做強非線性振動，氣泡振動的最大半徑與最小半徑的比值在1.739左右，這表明在上述條件下，當駐波聲場的驅(qū)動聲壓振幅低于0.65×105Pa時，即使處在波腹位置處的氣泡也不能出現(xiàn)劇烈的空化現(xiàn)象。

圖2 氣泡1膨脹收縮比隨驅(qū)動聲壓振幅的變化曲線

聲場中，兩個氣泡之間的相互作用力與氣泡在聲場中的位置有很大的關(guān)系，圖3是驅(qū)動聲壓振幅為0.8×105Pa，驅(qū)動頻率為 20 kHz的駐波聲場和平面波聲場中兩個初始半徑為2 μm，相距200 μm的氣泡在一個聲驅(qū)動周期內(nèi)次Bjerknes力隨氣泡位置(1個聲波長)的變化關(guān)系曲線圖，如圖3所示。圖3中：曲線Ⅰ為駐波聲場；曲線Ⅱ為平面聲場；x=0.018 6(1/4聲波長)和x=0.055 9(3/4聲波長)為波節(jié)位置；x=0.037 2(1/2聲波長)和x=0.074 5(1個聲波長)為波腹位置。數(shù)值模擬結(jié)果表明：在駐波聲場中，處于波腹位置處的兩個氣泡之間的相互作用最大，而波節(jié)位置處兩個氣泡之間的相互作用力趨于0，可忽略不計。具體原因是：處于聲壓波腹處的氣泡能夠做劇烈的振動，其產(chǎn)生的聲場能對周圍氣泡產(chǎn)生更大的作用力，而位于聲壓波節(jié)位置處的氣泡只能做微弱的線性振動，其對周圍氣泡的相互作用力也非常微弱，可忽略不計。數(shù)值模擬結(jié)果還表明：駐波聲場中，一個聲波長范圍內(nèi)，氣泡位于0和1個聲波長位置處，兩個氣泡之間的相互作用力最大，氣泡位于1/2個聲波長位置處，兩個氣泡之間的相互作用力次之；而在平面波聲場中，在上述驅(qū)動條件下，兩個氣泡之間的次Bjerknes力近似為0。以上結(jié)果說明在小振幅驅(qū)動的聲場中，聲波的疊加使氣泡的非線性振動增強，從而使氣泡之間的次Bjerknes力增加，氣泡之間的相互作用不能夠忽略不計，這可能也是超聲反應(yīng)器中形成氣泡結(jié)構(gòu)的主要原因。

圖3 氣泡之間的次Bjerknes力隨氣泡位置的變化曲線

駐波聲場中氣泡1對氣泡2的作用力F12與兩個氣泡的振動狀態(tài)有關(guān)。驅(qū)動聲壓振幅為0.8×105Pa，驅(qū)動頻率為20 kHz的駐波聲場中，位于1/50個聲波長位置處的兩個初始半徑為2 μm和3 μm的氣泡的作用力F12和每個氣泡的收縮振動速度與時間的關(guān)系，如圖4所示，主要數(shù)值模擬結(jié)果如表1所示。在0.72個聲驅(qū)動周期時，氣泡1處于收縮狀態(tài)，氣泡2處于擴張狀態(tài)，此時氣泡1對氣泡2的作用力F12為排斥力；在0.82個聲驅(qū)動周期時，氣泡1處于迅速擴張狀態(tài)，氣泡2處于擴張狀態(tài)，此時F12為吸引力，計算結(jié)果表明：氣泡的收縮振動速度越大，氣泡1對氣泡2的作用力越大。在平面波聲場中，同樣的驅(qū)動條件下，兩個初始半徑為2 μm和3 μm的氣泡之間的瞬時作用力也遵循同樣的規(guī)律，如圖5所示。在0.01個驅(qū)動周期時，氣泡1的振動速度為-1.67 m/s，表明氣泡1處于收縮狀態(tài)，氣泡2的振動速度為1.31 m/s，表明氣泡2處于擴張狀態(tài)，此時氣泡1對氣泡2的作用力F12為1.76×10-11N，為排斥力，當兩個氣泡都處于擴張或者收縮狀態(tài)時，F(xiàn)12為吸引力，而當兩個氣泡中一個處于擴張狀態(tài)，另一個處于收縮狀態(tài)時，氣泡1對氣泡2的作用力為排斥力。

圖4 駐波聲場氣泡之間的作用力F12和振動速度隨時間的變化曲線

表1 駐波聲場中氣泡振動速度與氣泡之間的作用力

圖5 平面聲場中氣泡之間的作用力F12、收縮速度隨時間的變化曲線

在上述驅(qū)動條件下，一個驅(qū)動周期內(nèi)，駐波聲場中兩個初始半徑為2 μm和3 μm的氣泡之間的次Bjerknes力為-1.56×10-5N，而平面波聲場中兩個初始半徑為2 μm和3 μm的氣泡之間的次Bjerknes力為-4.15×10-14N。對比可以發(fā)現(xiàn)，小振幅驅(qū)動下，平面聲場中兩個氣泡之間的次Bjerknes力非常小，可忽略不計，而駐波聲場聲壓波腹處兩個同樣尺寸的氣泡之間的次Bjerknes力較平面聲場中增加了幾個數(shù)量級。這意味著：駐波聲場波腹處兩個氣泡之間的次Bjerknes力不能忽略不計，次Bjerknes力使聲壓波腹處的大量氣泡之間形成一定的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，使此處的氣泡做穩(wěn)態(tài)空化。

3 駐波聲場波腹位置附近氣泡之間次Bjerknes力及影響因素

由于駐波聲場中除了距離聲壓波腹較近位置處氣泡之間的次Bjerknes力較大外，其余位置處氣泡之間的次Bjerknes力可忽略不計，見圖3。因此，我們只討論距離聲壓波腹較近位置處兩個氣泡之間的次Bjerknes力及其影響因素。

3.1 驅(qū)動壓強振幅對駐波聲場波腹位置附近中氣泡間次Bjerknes力的影響

驅(qū)動壓強振幅為0.56×105Pa，0.66×105Pa和0.76×105Pa的駐波聲場中兩個初始半徑為2 μm和3 μm的氣泡之間的瞬時作用力隨時間的變化曲線，分別如圖6(a)～圖6(c)所示。對比圖6(a)～圖6(c)可知，不同驅(qū)動壓強振幅下，駐波聲場中兩個氣泡之間的瞬時作用的大小、方向隨時間的變化均不相同，一個聲驅(qū)動周期內(nèi)的主要計算結(jié)果，如表2所示。當驅(qū)動壓強振幅為0.56×105Pa時，兩個氣泡之間的次Bjerknes力表現(xiàn)為吸引力；當驅(qū)動壓強振幅為0.66×105Pa時，兩個氣泡互相排斥；而當驅(qū)動聲壓振幅增加至0.76×105Pa時，兩個氣泡之間的次Bjerknes表現(xiàn)為吸引力。如果氣泡之間的次Bjerknes力表現(xiàn)為相互吸引時，兩個氣泡會彼此趨近，融合為一個較大的氣泡，從而使駐波聲場中氣泡的動力學特征發(fā)生變化，在同樣的驅(qū)動聲場中：一則大氣泡的收縮振動幅度較小氣泡而言明顯減?。欢t大氣泡更易容易上浮，甚至上浮至液面而發(fā)生破裂。這些因素對增強空化效應(yīng)是極為不利的影響。而當兩個氣泡之間的相互作用表現(xiàn)為排斥，兩個氣泡會彼此遠離，上述模擬結(jié)果表明：驅(qū)動壓強振幅能夠影響駐波聲場中氣泡之間的相互作用力的大小、方向和空化效果。

圖6 兩個氣泡之間的瞬時作用力隨時間的變化曲線

表2 不同驅(qū)動聲壓振幅下氣泡之間的次Bjerknes力

3.2 氣泡初始半徑對駐波聲場中波腹位置附近氣泡間次Bjerknes力的影響

驅(qū)動聲壓振幅為0.65×105Pa，驅(qū)動頻率為20 kHz的駐波聲場中兩個氣泡之間的次Bjerknes力隨氣泡半徑的變化情況，如圖7所示。在數(shù)值模擬中我們固定氣泡1 的半徑為2 μm，改變氣泡2的半徑，數(shù)值結(jié)果表明：在上述驅(qū)動條件下，初始半徑為2 μm和2.9 μm的一對氣泡之間的次Bjerknes 力的大小為5.9×10-11N，為排斥力，而初始半徑為2 μm和14.3 μm的一對氣泡之間的次Bjerknes 力為1.17×10-11N，為吸引力。除此之外，我們注意到，當氣泡1的初始半徑為2 μm時，氣泡2初始半徑的增加會使氣泡之間的次Bjerknes力出現(xiàn)明顯的震蕩，這說明氣泡之間的次Bjerknes力的大小與氣泡對的半徑有關(guān)。綜上所述：駐波聲場中，當驅(qū)動聲壓振幅和驅(qū)動頻率不變，兩個氣泡之間的次Bjerknes力的大小和方向均會隨氣泡對初始半徑的變化而發(fā)生改變，氣泡的初始半徑是影響氣泡之間次Bjerknes力的重要因素。

圖7 次Bjerknes力隨氣泡半徑的變化曲線

3.3 驅(qū)動頻率對駐波聲場中波腹位置附近兩個次Bjerknes力的影響

駐波聲場中兩個氣泡之間的次Bjerknes力和駐波聲場的驅(qū)動頻率也有很大的關(guān)系，驅(qū)動聲壓振幅為0.8×105Pa，初始半徑為2 μm 和3 μm 的兩個氣泡之間的次Bjerknes力隨時間的變化關(guān)系，如圖8所示，主要計算結(jié)果如表3所示。數(shù)值模擬結(jié)果表明：在驅(qū)動聲壓振幅一定的駐波聲場中，兩個氣泡之間的次Bjerknes力隨驅(qū)動頻率的增加而減小，在上述驅(qū)動聲壓振幅下，兩個氣泡之間的次Bjerknes力均為吸引力。上述結(jié)果表明：駐波聲場中，位于波腹位置處兩個氣泡之間的的相互作用力在低頻駐波聲場中表現(xiàn)的更為明顯，隨著驅(qū)動頻率的增加，兩個氣泡之間的相互作用迅速減小趨于0。

圖8 次Bjerknes力隨驅(qū)動頻率的變化曲線

表3 不同驅(qū)動頻率下兩個氣泡之間的次Bjerknes力

4 結(jié) 論

本文研究了駐波聲場中靠近聲壓波腹處兩個氣泡的振動、能量轉(zhuǎn)換及駐波聲場中不同位置處兩個氣泡之間的次Bjerknes力特征，研究結(jié)果表明：雖然駐波聲場造成了聲場的不均勻性，但聲壓波腹位置附近，同樣初始半徑的氣泡在駐波聲場中較平面聲場中具有更強的能量轉(zhuǎn)換能力，駐波聲場中聲壓波腹位置附近的小氣泡能夠在小振幅聲壓下做非線性振動，發(fā)生劇烈的空化現(xiàn)象，而在波節(jié)位置處只做微小的線性振動；駐波聲場中小振幅驅(qū)動下兩個氣泡之間就具有較強的相互作用力，其中處于波腹位置處的兩個氣泡之間的相互作用最大，波節(jié)位置處兩個氣泡之間的相互作用力趨于0，可忽略不計；駐波聲場中，兩個氣泡之間瞬時作用作用力的方向與兩個氣泡的振動狀態(tài)有關(guān)。聲壓波腹位置處兩個氣泡之間的次Bjerknes力由駐波聲場的驅(qū)動聲壓振幅、驅(qū)動頻率和兩個氣泡的初始半徑等因素共同決定，一對初始尺寸一定的氣泡之間的相互作用會隨著驅(qū)動聲壓振幅的增加而迅速增大，低頻駐波聲場中氣泡之間的相互作用力明顯高于高頻駐波聲場中氣泡之間的相互作用力，低頻駐波聲場中，聲壓波腹位置處的兩個尺寸相差不多的氣泡之間會產(chǎn)生較強的吸引力，使氣泡發(fā)生融合而降低空化效應(yīng)。以上研究結(jié)果為超聲反應(yīng)器中泡群中氣泡的振動、泡群結(jié)構(gòu)及空化現(xiàn)象提供了理論基礎(chǔ)。