吳 磊 * 肖左利 *,

* (北京大學工學院力學與工程科學系,北京 100871)

? (湍流與復雜系統(tǒng)國家重點實驗室,北京 100871)

引言

大渦模擬(large-eddy simulation,LES)是湍流研究中一種重要的數(shù)值模擬方法[1].與直接數(shù)值模擬(direct numerical simulation,DNS) 和雷諾平均(Reynolds-averaged Navier-Stokes,RANS)方法相比,大渦模擬可以在分辨率相對較低的網(wǎng)格上對大尺度湍流運動進行模擬,能夠在較低的計算成本下解析部分湍流結構.近年來在航空航天、多相流動、湍流燃燒與傳熱等眾多工程領域得到廣泛應用[2].

在大渦模擬方法中,通過濾波技術可將湍流脈動分解為可解尺度與亞格子尺度(subgrid-scale,SGS)流場.在不可壓縮流動中,亞格子尺度流動對可解尺度流動的影響由亞格子應力張量表達[3-5].如何使用可解尺度流場信息表示亞格子應力張量成為大渦模擬方法的關鍵科學問題之一.傳統(tǒng)亞格子模型在湍流理論和假設的基礎上,利用可解尺度流場顯式表達亞格子應力,主要包括Smagorinsky 模型[6]、動力Smagorinsky 模型[7-9]、相似模型[10-12]、梯度模型[11-13]、混合模型[10-11,14]、優(yōu)化模型[15-17]、變分多尺度方法[18]、一方程模型[19]和二階矩模型[20]等.這些模型雖然已經(jīng)應用于各種流動的仿真計算,但仍有諸多缺點等待解決.例如,Smagorinsky 模型耗散過大;相似模型提供了過多的反傳(backscatter),不能充分耗散能量,因此常常伴隨著計算發(fā)散或不準確現(xiàn)象;梯度模型在網(wǎng)格較密時較為準確,但該模型隨著網(wǎng)格尺度的增大而變得不穩(wěn)定.上述模型的動力及混合版本可以有效解決能量耗散問題,并在大多數(shù)情況下可以得到更準確的結果,但這些模型伴隨著較高的計算成本,且普適性較差.因此,有必要發(fā)展新的亞格子模型.

傳統(tǒng)亞格子模型的構建多基于湍流物理和假設,目前基本陷入瓶頸期[21].然而,計算機性能和實驗測試手段的發(fā)展使得研究者積累了大量高精度、高分辨率的計算和實驗數(shù)據(jù).如何利用這些數(shù)據(jù)建立更高精度的亞格子模型,成為當前的研究熱點之一.隨著人工智能時代的到來,神經(jīng)網(wǎng)絡等機器學習方法已廣泛應用于圖像識別[22]、自動駕駛[23]和生物信息學預測[24]等領域,并在湍流建模[25-27]、流動控制[28]和氣動優(yōu)化[29]等流體力學領域取得了一定成果[30-31].有鑒于此,本文利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(artificial neural networks,ANN)開展亞格子應力的建模研究.

目前有關機器學習的大渦模擬模型研究,主要集中于均勻各向同性湍流及槽道流.在二維衰減的各向同性湍流中,Maulik 等[32-33]等使用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(fully connected neural network,FCNN)模型預測反卷積的渦量和流函數(shù)[32]及亞格子應力[33],結果表明FCNN 模型在湍動能譜方面較Smagorinsky 模型等傳統(tǒng)LES 模型有著更高的預測精度.對于不可壓縮的三維各向同性湍流,Vollant 等[34]同樣利用FCNN 建立濾波后的應變率張量和亞格子標量通量的散度之間的關系,預測結果接近于濾波后的DNS 數(shù)據(jù)(fDNS).Zhou 等[35]考慮了變?yōu)V波尺度的模型構建問題,他們所建立的模型能夠預測不同濾波尺度下的亞格子應力.Xie 等[36]使用空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(spatial artificial neural network,SANN)建立了亞格子應力的預測模型,模型在先、后驗中均有較好表現(xiàn).Yuan 等[37]基于反卷積人工神經(jīng)網(wǎng)絡(deconvolutional artificial neural network,DANN) 對亞格子應力進行建模,后驗結果表明DANN 能夠給出更為準確的速度統(tǒng)計量及流動結構.Wang 等[38]分別使用隨機森林和ANN 方法建立了濾波速度及其一階、二階偏導數(shù)與亞格子應力的映射關系,后驗結果優(yōu)于動力Smagorinsky 模型.在可壓縮三維均勻各向同性湍流中,Xie 等[39-41]等利用 FCNN 對亞格子力和亞格子熱通量的散度[39],混合模型的系數(shù)[40]和亞格子應力及亞格子熱通量[41]開展預測研究,結果表明基于FCNN 的LES 模型能夠得到比動力Smagorinsky 模型及動力混合模型更高精度的能譜和速度結構函數(shù).針對槽道流的大渦模擬,Sarghini 等[42]使用FCNN 預測尺度相似和Smagorinsky 混合模型中Smagorinsky 項的系數(shù),以保證大渦模擬計算的準確性和計算效率.值得注意的是,Sarghini 等[42]的工作是基于大渦模擬計算數(shù)據(jù)而非fDNS 數(shù)據(jù).Gamahara 和Hattori[43]首次將ANN用于槽道流亞格子應力的?；?他們考慮了組不同的輸入,其中是濾波速度的旋轉張量.他們的研究結果表明使用作為輸入時,ANN 亞格子應力模型與fDNS 的相關系數(shù)最高,甚至高于梯度(非線性)模型.然而在后驗中并沒有得到優(yōu)于Smagorinsky 模型的結果,因此并沒有解決傳統(tǒng)亞格子模型中先、后驗表現(xiàn)不一致[1]的現(xiàn)象.Park 和Choi[44]同樣研究了FCNN 中不同輸入對模型先、后驗結果的影響,結果表明先驗表現(xiàn)不佳的輸入所構建的模型反而能夠給出更為準確的后驗結果.

根據(jù)亞格子應力的渦黏假設可知,亞格子應力除取決于可解尺度流場外,還依賴于濾波尺度.Zhou 等[35]在均勻各向同性湍流中考慮了含濾波尺度的亞格子應力?；瘑栴},所建立的模型能夠實現(xiàn)不同濾波尺度下亞格子應力的預測.然而,在槽道流中缺乏對變?yōu)V波尺度亞格子應力模型的系統(tǒng)研究.因此,本文使用ANN 方法,針對不可壓縮槽道流中的亞格子應力開展建模工作,使得模型能夠預測不同濾波尺度下的亞格子應力,并對該模型開展相應的后驗研究.

圖1 ANN 模型框架Fig.1 The framework of ANN model

1 數(shù)據(jù)驅動的亞格子應力建?？蚣?/h2>

不可壓縮流動的大渦模擬控制方程如下

2 數(shù)據(jù)準備

2.1 DNS 數(shù)據(jù)的準備與驗證

模型訓練與測試均需要槽道流的fDNS 數(shù)據(jù),因此先要對槽道流開展DNS 計算.如圖2 所示,x,y,z軸分別代表流向、法向與展向.流向與展向采用均勻網(wǎng)格并施加周期性邊界條件,法向采用雙曲正切函數(shù)生成的非均勻網(wǎng)格.本文使用了可壓縮流動求解器,通過設置特征馬赫數(shù)為0.2 來近似不可壓縮流動.因此,在壁面處(y=±1)使用無滑移及等溫邊界條件.采用有限差分方法開展DNS 計算,對流項采用Steger-Warming 流通矢量分裂的7 階迎風格式,黏性項采用8 階中心差分格式離散.時間推進采用3 階 Runge-Kutta 方法,其中時間步長由CFL 條件決定.為了使流動達到充分發(fā)展狀態(tài),流動由均勻的體積力驅動,其中體積力根據(jù)指定的質量流量而隨時間變化.

圖2 槽道流計算區(qū)域示意圖Fig.2 Schematic for computational domain of turbulent channel flow

本文考察3 組不同的雷諾數(shù).以入口平均速度(bulk velocity)Ub為特征速度的雷諾數(shù)Reb=Ubδ/γ分別為2800,5000 和7000,其中 δ 為半槽寬.對應以壁面摩擦速度uτ為特征速度的雷諾數(shù)Reτ=uτδ/γ 大致為180,300 和395,其中uτ=(τw/ρ)1/2,壁面切應力 τw=(ρν)?u/?y.表1 列出了DNS 的參數(shù),其中Lx,Ly,Lz分別為3 個方向的計算域長度,Δx+與 Δz+為流向和展向使用黏性長度(viscous lengthscale)δν=ν/uτ無量綱化的均勻網(wǎng)格間距,分別表示法向使用 δν無量綱化的最小和最大網(wǎng)格間距,Nx,Ny,Nz為3 個方向的網(wǎng)格數(shù).圖3 為DNS結果,其中圖3(a)為槽道流的平均速度剖面,圖3(b)和圖3(c)為槽道流雷諾應力剖面,與文獻[45-46]的計算結果基本吻合.

表1 DNS 計算參數(shù)Table 1 Computational parameters of DNS

圖3 DNS 計算結果Fig.3 DNS results

2.2 離散濾波方法

在DNS 完成后,需要對DNS 數(shù)據(jù)進行濾波操作以得到fDNS 流場信息.以一維濾波為例,在連續(xù)空間中對物理量的濾波由下式表達

其中,G為濾波函數(shù).式(3)并不適用于離散點的濾波,故有必要在離散空間發(fā)展相應的濾波表達式

其中,l為離散濾波使用的基架點個數(shù).Sagaut 和Grohens[47]利用泰勒展開式推導了不同濾波函數(shù)下濾波量的微分表達式,對盒式濾波器來說

3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡

3.1 基本原理與輸入輸出變量的選擇

本文使用前饋人工神經(jīng)網(wǎng)絡[48]建立可解尺度流場與亞格子應力的映射關系.圖4 為網(wǎng)絡結構示意圖.

圖4 前饋人工神經(jīng)網(wǎng)絡示意圖Fig.4 Schematic of the feedforward ANN

假設將d個可解尺度流場變量作為輸入量x=[x1,x2,···,xi,···,xd]T,由神經(jīng)元模型可知,隱藏層第h個神經(jīng)元接收到的輸入為

其中,vih為輸入層第i個神經(jīng)元與隱藏層第h個神經(jīng)元之間的連接權重.輸出層第j個神經(jīng)元接收到的輸入為

其中,wh j為隱藏層第h個神經(jīng)元與輸出層第j個神經(jīng)元之間的連接權重.因此,神經(jīng)網(wǎng)絡輸出層第j個神經(jīng)元的輸出值為

其中f為輸出層的激活函數(shù),θj為輸出層第j個神經(jīng)元的偏置.借助誤差逆?zhèn)鞑ニ惴╗49-50],不斷調整網(wǎng)絡權重與偏置,使得網(wǎng)絡輸出與DNS 亞格子應力最為接近.

除特別聲明外,本文所采用的輸入特征為x=[Δf?ui/?xj,Δ,y]T,其中i,j=1,2,3,并使用單層128 個神經(jīng)元作為隱藏層.考慮到DNS 亞格子應力分量 τ13與 τ23接近于零,故本文僅針對亞格子應力分量 τ11,τ12,τ22及 τ33分別建立ANN 模型.

3.2 網(wǎng)絡超參數(shù)的設定

為防止模型訓練過程中出現(xiàn)過擬合,本文為損失函數(shù)添加懲罰項,具體表達式如下

其中第一項為預測值與真實值的均方根(RMS)誤差,第二項為L2正則化項,n為樣本數(shù),Yi和Ti分別為第i個樣本的真實值和預測值,w是模型的權重,λ為正則化系數(shù).

本文采用ReLu 激活函數(shù),表達式如下[51]

可以有效緩解梯度消失問題且計算效率高,近些年得到了廣泛應用.

Adam 算法是目前深度學習領域內的流行算法,因此本文采用Adam 算法進行網(wǎng)絡權重與偏置系數(shù)的調整.同時,Loshchilov 和Hutter[52]的研究表明Adam+學習率的動態(tài)衰減可以提高Adam 的算法性能.因此,本文在采用Adam 作為優(yōu)化器算法的同時,還在訓練過程中動態(tài)調整學習率.

4 模型的訓練與先驗測試

4.1 不同濾波尺度下的訓練與先驗測試

如前所述,對于3 個不同雷諾數(shù)的DNS 流場而言,均可得到在5 個濾波尺度下的fDNS 數(shù)據(jù)及對應的亞格子應力.為了考察濾波尺度的影響,首先對相同雷諾數(shù)下不同濾波尺度的數(shù)據(jù)開展訓練,具體如表2 所示.

表2 相同雷諾數(shù)下不同濾波尺度ANN 模型訓練及測試集Table 2 Training and test sets of ANN model at the same Reynolds number and different filter widths

本文模型訓練在基于Tensorflow 和Theano 的開源深度學習庫Keras 中展開.利用訓練的ANN 模型可以預測得到測試集下的亞格子應力.下面從不同方面評估模型的預測結果.

4.1.1 亞格子應力

首先考察ANN 模型的建模項,亞格子應力.可繪制DNS 與ANN 的亞格子應力云圖以直觀比較二者的分布差異.為了對比分析,本文還計算了兩個常用的LES 模型,即Smagorinsky 模型[6]與梯度模型[11,13]的亞格子應力.在Smgorinsky 模型中,亞格子應力由下式表達

以Reτ=180,Δf/Δ =4 的測試結果為例,給出了y=0.9 截面上對角線分量 τ11與非對角線分量 τ12的亞格子應力云圖,如圖5 所示.可以看出ANN 模型能夠精確地預測出真實的亞格子應力分布,而梯度模型和Smagorinsky 模型與DNS 亞格子應力存在較大偏差.

圖5 R eτ =180,Δ f/Δ =4 時 y =0.9 截面上亞格子應力分量 τ 11 及 τ 12 的分布云圖.(a,b) DNS;(c,d) ANN 模型;(e,f)梯度模型;(g,h) Smagorinsky 模型Fig.5 Contours of the SGS stress components τ 11 and τ 12 at R eτ =180,Δ f/Δ =4 and y =0.9.(a,b) DNS;(c,d) ANN model;(e,f) gradient model;(g,h) Smagorinsky model

在槽道流中,常常對物理量 φ 進行流向和展向平均并研究其隨法向的變化規(guī)律,計算方法如下

以Reτ=180 ,Δf/Δ=2 時的測試結果為例,繪制DNS 與ANN 模型的亞格子應力在xz平面內的平均值及其脈動的均方根剖面,如圖6 所示.從圖6 中可以看出,ANN 模型的亞格子應力與DNS 高度吻合.因此,盡管ANN 模型并未在 Δf/Δ=2 濾波尺度下訓練,且該濾波尺度在訓練集所涵蓋的濾波尺度之外,但是ANN 模型依然能夠給出正確的亞格子應力均值及均方根值.

圖6 R eτ =180,Δ f/Δ =2 時DNS 與ANN 模型的亞格子應力平均值及其脈動的均方根剖面Fig.6 Profiles of mean SGS stress and RMS fluctuating SGS stress obtained from DNS and ANN model at R eτ =180,Δ f/Δ =2

相關系數(shù)是LES 亞格子模型先驗測試的一個重要衡量指標,在槽道流中,相關系數(shù)定義如下

圖7 R eτ =180,Δ f/Δ =3 時各模型與DNS 亞格子應力的相關系數(shù)剖面(橫坐標: y)Fig.7 Profiles of correlation coefficient between modeled SGS stress and DNS data at R eτ =180,Δ f/Δ =3 (x-coordinate: y)

圖8 R eτ =180,Δ f/Δ =3 時各模型與DNS 亞格子應力的相關系數(shù)隨 y+ 的變化剖面(橫坐標:y+)Fig.8 Profiles of correlation coefficient between modeled SGS stress and DNS data at R eτ =180,Δ f/Δ =3 (x-coordinate: y+)

通過相關系數(shù)剖面可進一步計算空間平均的相關系數(shù)

以此計算了3 個雷諾數(shù)下共9 個測試算例的空間平均相關系數(shù),結果如表3 和圖9 所示.可以看出,對3 個雷諾數(shù)的所有測試算例來說,ANN 模型與DNS 的相關系數(shù)都幾乎接近于1,而梯度模型和Smagorinsky 模型與DNS 的相關系數(shù)大致在0.65和0.25 左右.這再次證明ANN 模型能夠成功地利用可解速度場模化出較為真實的亞格子應力,并且在濾波尺度上有著很好的泛化性能,解決了Gamahara 和Hattori[43]遇到的模型無法推廣至其他濾波尺度的問題.此外,隨著濾波尺度的增大,梯度模型及Smagorsisky 模型的相關系數(shù)都有一定程度的下降,這與Zhou 等[35]在均勻各向同性湍流中觀察到的現(xiàn)象類似,而ANN 模型的下降程度并不明顯.

表3 亞格子應力空間平均相關系數(shù)Table 3 The spatial averaged correlation coefficient of SGS stress

圖9 亞格子應力空間平均相關系數(shù)Fig.9 Spatially-averaged correlation coefficients between the modeled and DNS SGS stresses

以上是關于ANN 的建模項,即亞格子應力與真實應力的相關性評估.在槽道流中,還存在一些對LES 具有重要影響的物理量[53-55],下面對ANN 模型在相關方面的預測能力進行分析討論.

4.1.2 其他亞格子物理量

可解速度場湍動能Ef的輸運方程如下[1]

圖10 R eτ =300 時3 個測試算例的平均亞格子耗散剖面Fig.10 Profiles of mean SGS dissipation for the three test cases at R eτ =300

平均來講,能量由可解尺度向亞格子尺度傳遞.然而在壁湍流尤其是其緩沖層中,能量由亞格子尺度向可解尺度傳遞,該現(xiàn)象稱作亞格子能流反傳(SGS backscatter).湍流理論表明,在壁湍流中,亞格子反傳與上拋(ejections)和下掃(sweeps)現(xiàn)象密切相關[57-58].傳統(tǒng)的LES 渦黏模式并不能夠捕捉壁湍流中的反傳[57],因此ANN 模型是否能夠精確預測亞格子反傳值得關注.當存在亞格子反傳時,亞格子耗散 εSGS＜0,因此可用εSGS-back=(εSGS-|εSGS|)/2 來表示亞格子反傳.圖11 為Reτ=300 時3 個測試算例的平均亞格子反傳.可以看出ANN 模型能夠準確給出真實的亞格子反傳,梯度模型雖能夠給出反傳隨著壁面坐標y+的變化趨勢,但極大地高估了亞格子反傳的峰值,且出現(xiàn)峰值的位置也存在較大偏差,這與Balarac 等[59]的結論基本一致.較大的反傳容易導致LES 計算的不穩(wěn)定,本文結果再次印證了梯度模型容易導致計算不穩(wěn)定的觀點[60].

圖11 R eτ =300 下3 個測試算例的平均亞格子反傳剖面Fig.11 Profiles of mean SGS backscatter for the three test cases at R eτ =300

由式(2)可知,亞格子應力實際上以散度形式?τi j/?xj出現(xiàn)在動量方程中,稱為亞格子力(SGS force).現(xiàn)考察模型對亞格子力的預測能力.以流向動量方程的亞格子力 ? τ1j/?xj為例,圖12 為Reτ=300 時3 個測試算例的平均亞格子力.可以看到,盡管ANN 模型在峰值處略微低估了亞格子力,但仍然能夠很好地預測出亞格子力隨壁面坐標y+的變化趨勢,相比于梯度模型有了極大提高.

圖12 R eτ =300 下3 個測試算例的平均亞格子力 ? τ1j/?xj 剖面Fig.12 Profiles of mean SGS force ? τ1j/?xj for three test cases at R eτ =300

V?lker 等[61]指出,亞格子輸運對于開展精確的LES 具有重要影響.圖13 為Reτ=300 時3 個測試算例的平均亞格子輸運.從中可以看出ANN 模型的計算結果與DNS 高度吻合.

此外,計算了3 個雷諾數(shù)下共9 個測試算例的

圖15 DNS 與ANN 模型的亞格子應力平均值剖面Fig.15 Profiles of mean SGS stress obtained from DNS and ANN model

表5 亞格子應力空間平均相關系數(shù)Table 5 Spatially-averaged correlation coefficient of SGS stress

圖16 亞格子應力空間平均相關系數(shù)Fig.16 Spatially-averaged correlation coefficient of SGS stress

5 不同濾波尺度下的后驗測試

4.1 節(jié)對2～4 倍DNS 網(wǎng)格尺度 Δ 下的fDNS數(shù)據(jù)進行了ANN 模型的先驗測試.本節(jié)基于該模型,在3 個雷諾數(shù)下分別開展ANN 模型的LES 后驗計算.本文LES 計算為隱式濾波,故LES 計算的網(wǎng)格尺度分別為DNS 網(wǎng)格尺度 Δ 的2～4 倍.控制方程為式(1)和式(2),其中方程(2)中 τij由ANN 模型在計算過程中實時給出.根據(jù)對比分析需要,本文在相應網(wǎng)格尺度下同時利用帶壁面衰減函數(shù)[62]的Smagorinsky 模型[6]、梯度模型[11,13]及ILES 方法[63-64]開展了數(shù)值模擬,數(shù)值方法與2.1 節(jié)中提到的DNS計算保持一致.計算過程中槽道的質量流量保持不變,因此摩擦雷諾數(shù)Reτ取決于亞格子模型.表6 列出了各個算例在計算穩(wěn)定后的Reτ值.圖17 為相應的相對誤差,誤差計算公式如下

圖17 各個后驗算例計算穩(wěn)定后 R eτ 值的相對誤差率Fig.17 The relative errors of R eτ for a posteriori test cases at statistically steady state

表6 各個后驗算例計算穩(wěn)定后的 R eτ 值Table 6 Values of R eτ for a posteriori test cases at statistically steady state

以Reτ=180 為例,繪制不同模型在3 套網(wǎng)格下的流向平均速度剖面,如圖18 所示.可以看出,相比于Smagorinsky 模型、梯度模型及ILES 模型,基于ANN 模型得到的流向平均速度剖面更接近于DNS結果.觀察梯度模型及Smagorinsky 模型的先、后驗結果可以發(fā)現(xiàn),盡管梯度模型在先驗相關系數(shù)上優(yōu)于Smagorinsky 模型,但后驗表現(xiàn)并不如Smagorinsky 模型.也就是說,傳統(tǒng)LES 模型中存在著先后驗不一致的現(xiàn)象:亞格子應力先驗的高相關性并不意味著亞格子模型后驗計算的成功[1,44,65].對比ANN模型的先、后驗結果發(fā)現(xiàn),盡管隨著LES 網(wǎng)格尺度的增大,ANN 模型與傳統(tǒng)LES 模型一樣均出現(xiàn)一定程度的精度下降,但ANN 模型有效解決了先后驗不一致的現(xiàn)象,不僅給出了明顯優(yōu)于傳統(tǒng)LES 模型的先驗結果,在后驗計算上也有一定提升.

圖18 不同模型在3 個網(wǎng)格尺度下的流向平均速度剖面Fig.18 Profiles of mean streamwise velocity obtained using different models at three grid scales

為了進一步檢驗ANN 模型在預測脈動速度方面的能力,計算了3 組網(wǎng)格尺度下各個脈動速度分量的均方根值在垂直壁面方向的分布,并與其他模型(包括Smagorinsky 模型、梯度模型及ILES 方法)的計算結果以及濾波后的DNS (fDNS)結果進行了比較.各種方法獲得脈動速度均方根剖面如圖19所示.觀察各個模型在不同網(wǎng)格尺度下對3 個脈動速度分量預測上的表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),雖然ANN 模型的性能整體上相對其他3 個模型有所提升,但是在某些法向位置的表現(xiàn)不如其他LES 模型.特別地,隨著網(wǎng)格尺度的增大,本文的ANN 模型所預測結果與fDNS 結果的偏差會逐漸增大.這與現(xiàn)有參數(shù)化模型的后驗表現(xiàn)一致[66].引起此類現(xiàn)象的原因之一可能是平行于壁面方向與垂直壁面方向的網(wǎng)格長寬比過大[67].因此,ANN 模型在后驗,尤其是在預測速度高階量等方面的表現(xiàn)仍然值得進一步研究.

圖19 不同模型在3 個網(wǎng)格尺度下脈動速度均方根剖面Fig.19 Profiles of RMS fluctuating velocity obtained using different models at three grid scales

6 結論

本文使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡方法,考慮濾波尺度及雷諾數(shù)影響,對槽道湍流大渦模擬的亞格子應力模型開展研究,建立了可解尺度流場與亞格子應力之間的數(shù)據(jù)映射模型,并對模型開展了先、后驗測試.

先驗測試結果表明,ANN 亞格子應力模型能夠給出與DNS 高度吻合的亞格子應力,在不同濾波尺度及雷諾數(shù)上有較好的泛化能力.此外,ANN 模型在亞格子耗散等非建模量上也體現(xiàn)出良好的預測性能.該模型與基于DNS 數(shù)據(jù)直接獲得的對應物理量相關系數(shù)大都在0.9 以上,與梯度模型及Smagorinsky 模型相比有大幅提高.在模型后驗測試中,利用ANN 模型得到的流向平均速度剖面優(yōu)于Smagorinsky 模型、梯度模型及ILES 方法.從脈動速度均方根剖面上,ANN 模型在預測湍流脈動的性能方面相對其它常用參數(shù)化模型沒有明顯提升.綜上所述,較之于傳統(tǒng)LES 模型,基于ANN 方法得到的亞格子應力模型在先、后驗中預測能力均有不同程度的提升,兼具先驗高相關和后驗高精度的特點.盡管如此,ANN 模型在后驗中的精度提升程度較為有限,并且隨著LES 網(wǎng)格尺度的增大,ANN 模型同樣出現(xiàn)一定程度的精度下降.

在后續(xù)研究工作中,擬深入探究ANN 模型后驗表現(xiàn)不如先驗的原因,期望得到一個在先、后驗測試中均與DNS 結果高度吻合的ANN 模型.此外,使用更多能夠反映湍流物理機理的輸入以及提高模型的可解釋性和模型后驗計算效率也是值得研究的問題.