夏 鵬，王 珍，李 旭

(1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 無錫旅游商貿(mào)分院，江蘇 無錫 214045；2.云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500；3.浙江理工大學(xué) 科技與藝術(shù)學(xué)院，浙江 紹興 312369)

20世紀(jì)中葉，英國著名數(shù)學(xué)家Turing[1]首次通過生物模型解釋了自然界中動物表面產(chǎn)生圖案的原因，比如：斑馬、蝴蝶等.從數(shù)學(xué)的角度上來說，這是由于生物模型中的擴(kuò)散項或者趨化項會使平衡態(tài)失去穩(wěn)定，從而產(chǎn)生圖案.

最近，Tailleur[2]提出除了擴(kuò)散項和趨化項能導(dǎo)致圖靈斑圖的產(chǎn)生，帶有密度抑制運(yùn)動效應(yīng)的生物系統(tǒng)通過“自我捕獲”也能產(chǎn)生斑圖，而后Liu和Fu[3]等通過生物實驗建立了帶有密度抑制運(yùn)動效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)運(yùn)動函數(shù)是分段函數(shù)時，Simith-Roberge[4]等構(gòu)造出了這個模型的非常數(shù)定態(tài)解以及Hopf分支.Jin[5]等改進(jìn)了運(yùn)動函數(shù)的條件，研究了二維平面上古典解的全局存在性以及常數(shù)定態(tài)解穩(wěn)定性.Wang[6]在三維平面上研究了古典解的全局存在性.當(dāng)Logistic增長率為0時，Yoon[7]對于具體運(yùn)動函數(shù)，研究了任意維空間上古典解的全局存在性.Xia[8]等研究了模型的亞穩(wěn)性結(jié)構(gòu).而這些研究都未涉及對于具體運(yùn)動函數(shù)，該模型的斑圖是通過何種方式進(jìn)行傳播的？

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中對趨化模型斑圖的研究思路，本文在一維空間上擬采用相似的方法對一類菌群反應(yīng)擴(kuò)散模型斑圖的存在性與傳播方式進(jìn)行探究，從而獲得Ginzburg-Landau(GL) 型振幅方程，最后，通過數(shù)值仿真研究驗證了初始擾動產(chǎn)生的斑圖是通過波前方式在大區(qū)域中傳播.

1 準(zhǔn)備工作

1.1 模型介紹

下面考慮具有密度抑制運(yùn)動效應(yīng)反應(yīng)擴(kuò)散模型[10]

(1)

模型中p(x,t)和s(x,t)分別表示大腸桿菌細(xì)胞和化學(xué)信號物質(zhì)?；呓z氨酸內(nèi)酯(AHL)在位置x和時間t時刻的密度；正常數(shù)γ和d分別表示Logistic增長率和AHL的擴(kuò)散速率，而大腸桿菌的擴(kuò)散速率依賴于運(yùn)動函數(shù)eμ(1-s),μ>0.Ω=(0，l)，l是正實數(shù).設(shè)模型滿足諾依曼邊界條件

(2)

以及初始條件

p(x,0)=p0(x),s(x,0)=s0(x),

(3)

ν表示在邊界?Ω向外的單位向量.

1.2 斑圖的存在性

引理1[11]在一維空間Ω上，帶有齊次諾依曼邊界條件的-Δ算子的特征值和特征函數(shù)滿足：

(4)

通過簡單計算，系統(tǒng)(1)～(3)有2個常數(shù)解(0,0)和(1,1).在(0,0)和(1,1)處對系統(tǒng)進(jìn)行線性化，發(fā)現(xiàn)(0,0)總是不穩(wěn)定的，考慮到本模型是實際生物模型，不存在2種物質(zhì)密度同時存在為0的情況，所以對于(0,0)情況不考慮.以下只針對常數(shù)定態(tài)解為(1,1)時研究.接下來，在(1,1)處線性化，設(shè)ωi是線性化特征值，可以得到(1,1)處的線性化特征方程為

ωi+[(1+d)λi+1+γ]ωi+(γ+λi)(1+dλi)-μλi=0,i=0,1,2,….

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，ic對所有i∈[1,ic]都有γi>0成立，對所有γic+j≤0,j=1,2,….

定理1假設(shè)ic滿足上述陳述，那么有以下陳述成立

a.當(dāng)γ≥γc時，定態(tài)解(1,1)是線性穩(wěn)定的，此時不會產(chǎn)生斑圖；

b.當(dāng)0<γ<γa時，定態(tài)解(1,1)線性不穩(wěn)定，即會產(chǎn)生斑圖.

2 斑圖的振幅方程

本節(jié)將應(yīng)用弱非線性分析推導(dǎo)出描述斑圖振幅的Ginzburg-Landau 方程，考慮解對空間的依賴性，引入X作為慢變量，x作為快變量，由于斑圖解是從在常數(shù)定態(tài)解(1,1)附近分支出來的，因此做下列變換

P=p-1,S=s-1,

(10)

(11)

(12)

那么空間和時間的導(dǎo)數(shù)為

(13)

其中ε?1.γ和E=(P,S)T冪級數(shù)展開為

(14)

其中γa在(9)式已經(jīng)定義過了，Ei=(E1i,E2i)T，T表示向量的轉(zhuǎn)置.將(14)式代入(11)式將相同階數(shù)寫在一起有

Λ(γa)E1=0,…o(ε),
Λ(γa)E2=D(E1),…o(ε2),
Λ(γa)E3=H(E1,E2),…o(ε3),

(15)

其中

(16)

接下來利用(13)式的運(yùn)算法則將(14)式代入邊界條件(2)式中，得到了在x=0,l處條件為

(17)

那么結(jié)合邊界條件(17)式，齊次線性系統(tǒng)(15)的第1個式子解為

(18)

通過簡單計算(15)第1個式子的伴隨方程解的形式為

(19)

(20)

其中eij(i=1,2,j=1,2,3)分別滿足下列方程

(21)

那么(21)式是經(jīng)典Ginzburg-Landu 方程.應(yīng)用“tanh”方法，可以找到(21)式的解為

(22)

3 數(shù)值仿真

由定理1可知當(dāng)γ≥γc時，系統(tǒng)(1)不存在斑圖，當(dāng)0<γ<γa時，系統(tǒng)(1)會產(chǎn)生斑圖正如圖1和圖2所示，取γ=0.2>γc，此時沒有斑圖產(chǎn)生，當(dāng)取γ=0.1<γa時，從圖1中明顯可以觀察到有斑圖產(chǎn)生.這恰好驗證了定理1的正確性.

圖1 γ=0.1 圖2 γ=0.2

當(dāng)γ=0.1時，圖3展現(xiàn)了在大區(qū)域中，常數(shù)定態(tài)解(1,1)附近的局部擾動會通過行波的形式傳播直至充滿整個區(qū)域，其中黑色實線是斑圖演變過程，紅色虛線是振幅方程(21)的數(shù)值解.從圖中可以看到振幅方程(21)很好地捕捉到了斑圖通過行波演變的過程，它的二階振幅為(0.1175,0.3067)T.這也就說明了系統(tǒng)(1)的斑圖是通過波前來傳播的.

圖3 黑色實線是斑圖從左向右傳播的過程，紅色虛線是振幅方程(21)的數(shù)值解，這里γ=0.1

4 結(jié)語

文中從理論上分析了一類菌群反應(yīng)擴(kuò)散模型斑圖存在的條件，并且通過弱非線性分析導(dǎo)出了GL型斑圖振幅方程，這說明了該模型初始擾動產(chǎn)生的斑圖是通過波前形式傳播到整個區(qū)域.最后通過數(shù)值仿真說明了前面所得結(jié)論的正確性.