章紹昆，畢慶貞，王宇晗

上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240

航空航天領域廣泛采用重量輕、結(jié)構(gòu)強度高的大型薄壁件作為飛行器外表零件，如飛機蒙皮、火箭燃料貯箱等。大型薄壁件尺寸大、厚度薄、剛性弱，材料去除量大，加工過程易發(fā)生振動和變形[1]。傳統(tǒng)的化銑方法由于精度低、污染高，已無法滿足新型飛機蒙皮等大型薄壁件的制造質(zhì)量要求[2]。鏡像銑削是一種針對大型薄壁件開發(fā)的新型加工技術[3]。鏡像銑削系統(tǒng)配備兩個鏡像對置的五軸機床，分別為銑削頭和支撐頭，如圖1所示。其中銑削頭搭載主軸系統(tǒng)，加工時完成材料去除功能；而支撐頭與銑削頭鏡像對稱，加工時從背部為薄壁件提供局部支撐，提高加工區(qū)域剛性，抑制振動減小變形[4]。同時，支撐頭上可以集成傳感器，在線測量零件變形、剩余壁厚等信息，使得加工誤差實時補償成為可能。與化銑相比，鏡像銑削降低了加工成本，提高了加工效率和精度，是大型薄壁件加工技術的發(fā)展趨勢。

圖1 鏡像銑削系統(tǒng)原理Fig.1 Principle of mirror milling system

由于銑削頭和支撐頭均為五軸機床，在加工時不可避免地存在五軸運動奇異點問題[5]。在奇異點附近機床動態(tài)性能急劇下降，一方面直接影響機床的運動精度，另一方面機床減速嚴重，造成切削力突變，兩者均影響大型薄壁件的壁厚精度和表面質(zhì)量，降低加工效率。

現(xiàn)有的五軸加工奇異點避免方法主要針對刀路規(guī)劃、后置處理和實際加工3個階段展開。在刀路規(guī)劃階段，可以通過優(yōu)化刀軸矢量來避開奇異區(qū)域。Affouard[6]、Yang[7]和Wan[8]等將各刀位點的刀軸矢量擬合為樣條曲線，通過對樣條曲線控制點進行微調(diào)，保證刀軸矢量避開五軸機床奇異區(qū)域，提高刀軸矢量的光順性。Castagenetti[9]和Lin[10-11]等定義了刀軸矢量的可行域，在可行域內(nèi)實現(xiàn)刀軸矢量的優(yōu)化，進而避開奇異區(qū)域，以獲得更好的加工質(zhì)量。王瀏寧[12]通過監(jiān)測刀軸矢量與旋轉(zhuǎn)軸的夾角，對處于奇異區(qū)域的刀位點進行優(yōu)化。Tajima和Sencer[13]通過實時路徑規(guī)劃避開奇異區(qū)域。Lartigue[14]和Lu[15]等針對側(cè)銑加工，通過調(diào)整刀路控制點來修改刀路，提高了奇異點附近旋轉(zhuǎn)軸的光順性，保證了加工精度。周金強[16]和李冬冬[17]等通過刀位點插值降低了S試件加工奇異區(qū)域的非線性誤差。在刀路規(guī)劃階段可以根據(jù)工件模型信息，有效地控制由刀軸方向改變引起的加工誤差，在避開奇異點的同時保證加工精度，因此應用較為廣泛。在后置處理階段，S?rby[18]對非正交機床進行運動學建模，進而在后置處理中對奇異點附近的旋轉(zhuǎn)軸運動量進行微調(diào)，以提高刀路在奇異區(qū)域的魯棒性。值得注意的是，這類方法在調(diào)整旋轉(zhuǎn)軸運動量時不可避免地會引入加工誤差。Munlin等[19]在后置處理中通過最短路徑規(guī)劃來降低奇異點附近的運動誤差。王丹等[20]通過線性插值來提高奇異區(qū)域的加工精度。在實際加工階段，Cripps[21]和王瑞秋[22]等詳細地分析了奇異點存在的原因及其影響，提出了將工件傾斜裝夾來避開奇異點，該方法受限于工件和刀路的實際形狀。Anotaipaiboon等[23]通過優(yōu)化機床結(jié)構(gòu)來避免加工奇異點。

綜上所述，現(xiàn)有方法主要通過修改刀軸矢量來實現(xiàn)奇異區(qū)域內(nèi)的刀具路徑優(yōu)化。但對于鏡像銑削而言，為了保證壁厚實時測量的準確性和穩(wěn)定性，刀軸矢量必須垂直于工件表面[24]，而直接修改刀軸矢量的方法會使得刀軸矢量偏離工件法向，影響壁厚測量的準確性和穩(wěn)定性，無法滿足鏡像銑削的加工要求。

針對鏡像銑削過程中存在的奇異點問題，首先，利用機床旋轉(zhuǎn)軸運動學變換模型分別推導銑削頭和支撐頭旋轉(zhuǎn)軸微分運動關系，分析奇異點存在的原因，定義奇異區(qū)域范圍。然后，提出鏡像銑削加工刀路約束條件和刀路光順性度量方法，建立刀路優(yōu)化模型。將刀路映射到參數(shù)域內(nèi)并擬合為樣條曲線，對于穿過奇異區(qū)域的刀路通過優(yōu)化模型對參數(shù)域內(nèi)的刀路曲線進行微調(diào)，使得優(yōu)化后的刀路更加光順，以提高加工精度和表面質(zhì)量，減少奇異區(qū)域內(nèi)的加工時間。最后通過鏡像銑削加工實驗驗證本文所提方法有效性。

1 鏡像銑削系統(tǒng)運動學變換與奇異點分析

以圖2所示的鏡像銑削實驗平臺為研究對象。其中，銑削頭為AC雙擺頭結(jié)構(gòu)機床，其旋轉(zhuǎn)軸標記為A1軸和C1軸，行程分別為[-90°,90°]和[-360°,360°]；支撐頭為AB雙擺頭結(jié)構(gòu)機床，其旋轉(zhuǎn)軸標記為A2軸和B2軸，行程分別為[-65°,65°] 和[-65°,65°]。

圖2 鏡像銑削實驗平臺Fig.2 Experiment platform for mirror milling

從旋轉(zhuǎn)軸運動學變換模型及其微分運動關系出發(fā)，分別分析了銑削頭和支撐頭的奇異點和奇異區(qū)域范圍及其影響。

1.1 銑削頭運動學變換與奇異點分析

銑削頭為AC雙擺頭結(jié)構(gòu)機床，其運動學變換模型和微分運動關系的推導過程在文獻[25]中有詳細的敘述，為便于讀者理解，做簡要描述。銑削頭旋轉(zhuǎn)軸運動學模型的表達式為

(1)

式中：[i,j,k]T為五軸銑削刀路刀軸矢量；A1和C1為機床A1軸和C1軸的旋轉(zhuǎn)量。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸運動學模型可以得到其逆變換為

(2)

式中：atan2(y,x)為點(x,y)的方位角，定義為

atan2(y,x)=

可以看到，對于同一刀軸矢量[i,j,k]，旋轉(zhuǎn)軸在A1∈[-90°,90°]和C1∈[-180°,180°]行程范圍內(nèi)總存在兩組對應的基礎解(A1,1,C1,1)和(A1,2,C1,2)，且A1,1+A1,2=0°，C1,1-C1,2=±180°。其中，k決定了A1軸的旋轉(zhuǎn)量，而IJ平面中點(i,j)的方位角決定了C1軸的旋轉(zhuǎn)量。鑒于所用鏡像銑削系統(tǒng)C1軸行程為[-360°,360°]，相比基礎解所在區(qū)間多了一個周期，因此C1軸相應地多了2組解，共存在4組解。

對式(1)求偏微分，得到銑削頭旋轉(zhuǎn)軸微分運動關系為

(3)

當A1=0時，J(A1,C1)為非列滿秩矩陣，無論C1軸旋轉(zhuǎn)量為多少，刀軸方向始終不會改變，即機床在此處損失了一個旋轉(zhuǎn)軸的運動能力[25]。此時機床旋轉(zhuǎn)軸處于奇異狀態(tài)，對應的刀軸矢量[i,j,k]T=[0,0,1]T為銑削頭的奇異點。

當A1≠0時，從旋轉(zhuǎn)軸微分運動關系可以得

(4)

當A1軸位于奇異區(qū)域內(nèi)時，一方面，機床動力學性能難以滿足旋轉(zhuǎn)軸角度的劇烈變化，機床減速嚴重，造成切削力的波動，影響加工精度，且降低加工效率；另一方面，由于機床旋轉(zhuǎn)軸運動與刀尖點運動存在非線性關系[25]，在短距離內(nèi)旋轉(zhuǎn)軸迅速轉(zhuǎn)動，造成刀尖點運動的非線性誤差，直接影響加工精度和表面質(zhì)量。

1.2 支撐頭運動學變換與奇異點分析

支撐頭的A2軸和B2軸旋轉(zhuǎn)量分別記為A2和B2。利用文獻[26]建立的支撐頭運動學變換矩陣，可以得到支撐頭旋轉(zhuǎn)軸運動學模型為

(5)

將式(5)對A2和B2求偏微分，可以得到支撐頭旋轉(zhuǎn)軸微分運動關系為

(6)

當A2=±-90°時，J(A2,B2)為非列滿秩矩陣，對應的刀軸矢量[i,j,k]T=[0,±1,0]T為支撐頭的奇異點?？紤]到支撐頭A2軸的行程為[-65°，65°]，離支撐頭奇異點較遠，因此在鏡像銑削加工中可以不必考慮支撐頭的奇異點問題。

從上述分析可以看出，在鏡像銑削系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)軸行程范圍內(nèi)，僅銑削頭存在奇異點，而支撐頭無奇異點。因此，刀具路徑優(yōu)化方法僅考慮銑削頭的奇異區(qū)域。

2 鏡像銑削奇異區(qū)域內(nèi)的刀具路徑優(yōu)化

2.1 鏡像銑削加工刀具路徑規(guī)劃約束條件

在鏡像銑削過程中，支撐頭與銑削頭鏡像同步運動，并通過集成在支撐頭軸線上的超聲波測厚傳感器實時測量當前加工位置的剩余壁厚，進而實現(xiàn)壁厚閉環(huán)控制。為了保證厚度測量的準確性，支撐頭軸線應時刻與工件表面法向一致，即

V=nS

(7)

式中：V=[i,j,k]T為當前刀位點處的刀軸矢量；nS為加工曲面S在當前刀位點處的法向。

為了保證傳感器測量的厚度為當前刀位點銑削后的剩余壁厚，還需要保證鏡像銑削刀路在當前刀位點的有效切寬可以完全覆蓋支撐頭軸線，即刀路切寬大于刀具底刃半徑:

r

(8)

式中：a為當前刀路的徑向切寬；r為刀具底刃半徑。

2.2 刀具路徑光順性指標

在奇異區(qū)域內(nèi)，銑削頭A1軸的旋轉(zhuǎn)量很小，旋轉(zhuǎn)量變化值相應較小，但C1軸旋轉(zhuǎn)量可能較大，造成C1軸在奇異區(qū)域內(nèi)運動不連續(xù)。刀具路徑優(yōu)化的目的就是使得銑削頭C1軸運動盡可能光順。從上一節(jié)的分析可以知道，刀軸矢量在IJ平面內(nèi)投影點(i,j)的方位角決定了C1軸的旋轉(zhuǎn)量，因此可以(i,j)的方位角變化量來度量刀軸矢量的光順性，如圖3所示。

圖3 刀軸矢量光順性度量示意圖Fig.3 Tool axis vector smoothness measure schematic

第l個刀位點Pl對應的刀軸矢量為Vl=[il,jl,kl]，從刀軸矢量Vl-1到Vl在IJ平面內(nèi)的投影點方位角變化量為

(9)

考慮到在[-180°,180°]范圍內(nèi)C1軸存在兩組解，當∠Vl-1OVl超過90°時，另一組方位角變化量小于90°的解為最優(yōu)解。

在刀路單位弧長內(nèi)方位角變化量越小，那么可以認為旋轉(zhuǎn)軸運動越光順，因此定義刀軸矢量光順性度量為

(10)

式中：|Pl-Pl-1|為從第l-1個刀位點到l個刀位點的刀路長度；n為刀位點個數(shù)。

為了提高奇異區(qū)域內(nèi)刀軸矢量的光順性，需要調(diào)整刀軸矢量以避開奇異區(qū)域。由于鏡像銑削刀路要求刀軸矢量與工件表面垂直，在修改刀軸矢量的同時，刀位點也必須隨之修改，由此可能引起刀路的刀尖點運動不光順。因此在度量刀軸矢量光順性的同時，還需要度量刀尖點運動的光順性。如圖4所示，對于第l個刀位點Pl處的刀尖點軌跡轉(zhuǎn)角定義為前后刀路的夾角，即

(11)

對應的，刀尖點運動光順性可以表示為

(12)

圖4 刀尖點光順性度量示意圖Fig.4 Tool tip point smoothness measure schematic

2.3 刀具路徑優(yōu)化方法

現(xiàn)有方法一般通過直接優(yōu)化加工刀路的刀軸方向來避開加工奇異點，但對于鏡像銑而言，刀軸矢量必須與工件表面垂直，因此只能通過在曲面上調(diào)整刀位點來實現(xiàn)奇異區(qū)域內(nèi)的刀路優(yōu)化。

為便于曲面上的刀路調(diào)整，將初始刀位點映射到曲面的UV參數(shù)平面內(nèi)，并擬合為三次B樣條，如圖5(a)所示。第s條刀路在參數(shù)平面內(nèi)用三次B樣條表示為T(ws)，其中ws=[ws,1,…,ws,t,…,ws,m]∈m為第s條刀路的形狀控制參數(shù)。刀路優(yōu)化時，在滿足切寬約束條件的前提下，以刀路刀軸矢量和刀尖點光順性度量值的加權(quán)和最小化為目標，通過調(diào)整刀路形狀控制參數(shù)ws即可實現(xiàn)刀路的優(yōu)化，如圖5(b)所示。

詳細的刀路優(yōu)化方法如下：

1) 在曲面上構(gòu)造t條初始刀路，將刀位點投影到UV參數(shù)平面內(nèi)并擬合為三次B樣條T(ws),s=1,2,…,t。

2) 對于第s條刀路，根據(jù)刀路是否穿過奇異區(qū)域，確定刀軸矢量和刀尖點光順性度量值的加權(quán)和:

(13)

式中：N為所有穿過奇異區(qū)域的刀路序號集合，s∈N表示該刀路穿過奇異區(qū)域，而s?N表示該刀路不穿過奇異區(qū)域；λa為刀軸矢量光順性權(quán)重；λt為刀尖點光順性權(quán)重。λa和λt的大小會影響刀路優(yōu)化結(jié)果。對于鏡像銑削刀路，一方面刀尖點軌跡光順性直接影響零件表面質(zhì)量，另一方面在奇異區(qū)域附近刀軸矢量方位角變化量φl明顯大于刀尖點軌跡轉(zhuǎn)角θl，為了保證刀尖點光順性對優(yōu)化結(jié)果的約束能力，一般設定λt>5λa。在實際應用中，可根據(jù)刀路對刀軸矢量和刀尖點的光順性要求適當調(diào)整權(quán)重。

圖5 刀具路徑優(yōu)化方法Fig.5 Toolpath optimization method

3) 在滿足鏡像銑削切寬約束的前提下，以刀路刀軸矢量和刀尖點光順性度量值的加權(quán)和為目標函數(shù)，將刀路優(yōu)化轉(zhuǎn)化為最小化問題：

s.t. 1.1r≤a≤1.9r

(14)

式(14)為約束優(yōu)化問題，可以采用微分演化算法進行求解，求得每條刀路曲線控制點修正參數(shù)。

4) 根據(jù)優(yōu)化后的刀路修正參數(shù)更新刀路曲線控制點，得到優(yōu)化刀路。

3 實驗驗證

為了驗證所提方法的有效性，在飛機蒙皮實驗件上分別采用初始等參數(shù)刀路和優(yōu)化刀路進行鏡像銑削加工實驗。

實驗所用機床為圖2所示的鏡像銑削實驗平臺。蒙皮實驗件材料為6061鋁合金，尺寸如圖6所示，毛坯壁厚為6 mm，切削區(qū)域為200 mm×200 mm型腔。實驗所用刀具直徑為20 mm，圓角半徑為3 mm，底刃半徑7 mm，2刃。實驗主軸轉(zhuǎn)速為8 000 r/min，進給率1 200 mm/min，名義徑向切寬約為11 mm。采用微量潤滑對加工區(qū)域進行冷卻。

實驗前，先采用等參數(shù)法生成19條初始刀路，如圖7中的藍色虛線所示。實驗所用鏡像銑削系統(tǒng)的插補周期為4 ms，C1軸最大轉(zhuǎn)速3 000 (°)/min， 單步旋轉(zhuǎn)量上限設定為25°，根據(jù)文獻[10]的方法，可得奇異區(qū)域邊界為ε≈0.5°，即A1<0.5°的范圍為銑削頭奇異區(qū)域，如圖8中的紅虛線所示。將初始刀路的刀軸矢量投影到IJ平面上，如圖8中的藍色虛線所示。并對初始刀路進行后置處理，得到單位刀路弧長C1軸的旋轉(zhuǎn)量，如圖9中的藍色虛線所示?？梢钥吹?，第9、10條刀路會穿過機床的奇異區(qū)域，對應的C1軸旋轉(zhuǎn)量也會發(fā)生突變，其中第9條刀路的最大單位弧長C1軸旋轉(zhuǎn)量達到了20.54 (°)/mm。因此，需要對第9、10條刀路，采用2.3節(jié)提出的優(yōu)化方法對加工刀路進行優(yōu)化?？紤]到實驗所在奇異區(qū)域刀尖點軌跡轉(zhuǎn)角較小，可適當提高刀尖點光順性權(quán)重，即λt=10，而刀軸矢量光順性權(quán)重設定為λa=1。優(yōu)化后的刀路如圖7中的橙色實線所示，其刀軸矢量在IJ平面內(nèi)的投影和最大單位刀路弧長C1軸旋轉(zhuǎn)量分別如圖8和9中的橙色實線所示。優(yōu)化后的第9條刀路刀軸矢量直接穿過奇異點，此時A1軸反向旋轉(zhuǎn)，最大單位弧長C1軸旋轉(zhuǎn)量下降到了-0.31 (°)/mm。而第10條刀路的刀軸矢量則避開了奇異區(qū)域，其最大單位弧長C1軸旋轉(zhuǎn)量從6.90 (°)/mm下降到了5.34 (°)/mm?？梢钥吹?，本文所提的優(yōu)化方法可以有效地優(yōu)化奇異區(qū)域內(nèi)的加工刀路，提高旋轉(zhuǎn)軸運動光順性。

實驗時，先后采用初始刀路和優(yōu)化刀路對實驗區(qū)域進行加工，兩次實驗的目標壁厚分別為5 mm和4 mm，加工過程中實時采集工件剩余壁厚。加工后的零件表面如圖10所示，兩次實驗的加工時間和壁厚誤差統(tǒng)計如表1所示。

圖7 實驗刀路對比Fig.7 Experimental toolpath comparison

圖8 實驗刀路刀軸矢量在IJ平面上的投影Fig.8 Projection of tool axis vector of experimental toolpath on IJ plane

圖9 刀路單位弧長C1軸旋轉(zhuǎn)量對比Fig.9 Comparison of C1-axis rotation amount per unit arc length of toolpath

圖10 加工表面對比Fig.10 Comparison of machined surfaces

從圖10(a)和表1可以看出，采用初始刀路加工得到的工件表面在奇異點附近存在明顯刀痕，零件剩余壁厚誤差為[-0.10, 0.10] mm。這是因為在奇異區(qū)域內(nèi)，初始刀路單位弧長的C1軸旋轉(zhuǎn)量大，一方面造成了較大的刀尖點運動非線性誤差，另一方面刀尖點移動速度明顯減小，切削力發(fā)生突變，造成軸向切削力與支撐力不平衡，引起工件局部變形。兩者既增加了壁厚誤差，又使得奇異區(qū)域內(nèi)的工件表面留下了刀痕。而優(yōu)化后的刀路在奇異區(qū)域內(nèi)的旋轉(zhuǎn)軸運動較為光順，壁厚誤差降低到[-0.05, 0.08] mm，且奇異區(qū)域無明顯刀痕。

表1 實驗結(jié)果對比Table 1 Comparison of experimental results

對比表1中兩次實驗的加工時間可以看到，對于穿過奇異區(qū)域的第9、10條刀路，采用本文所提方法優(yōu)化后，刀路旋轉(zhuǎn)軸運動更加光順，對應的加工時間分別減少了17.5%和6.9%，而整個實驗區(qū)域加工時間減少了1.48%，奇異區(qū)域內(nèi)的加工效率得到顯著提升。

4 結(jié) 論

1) 通過建立鏡像銑削系統(tǒng)銑削頭和支撐頭的旋轉(zhuǎn)軸運動學模型，從微分運動的角度分析了奇異點產(chǎn)生的原因及其對加工質(zhì)量的影響。分析結(jié)果表明在鏡像銑削系統(tǒng)的有效行程內(nèi)，銑削頭存在的奇異點會影響加工質(zhì)量和加工效率，支撐頭無奇異點。

2) 在刀軸矢量和切寬約束下，基于光順性指標的鏡像銑削刀具路徑優(yōu)化方法保證了奇異區(qū)域內(nèi)旋轉(zhuǎn)軸運動的連續(xù)性，提高了加工質(zhì)量和加工效率。